内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试卷（解析版）-A4

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1. 汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解．
【详解】解：由轴对称图形的定义可知：“全”字是轴对称图形，
故选：A ．
2. 点关于y轴对称点Q的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是即可得出答案．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是．
故选：A
3. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为23，，则的周长为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而求出的长，根据的周长求出的长，推出的周长为，即可得出结果．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，E，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为；
故选B．
4. 如图所示，在△中，已知点分别为边的中点，若△的面积为16，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 4B. C. 8D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键．
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点D为的中点得到，再利用E点为的中点得到，所以，然后利用点为的中点得到即可解答．
【详解】解：∵点D为的中点，
∴，
∵E点为的中点，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴．
故选：A．
5. 如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个，
当为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
6. 等腰三角形的一个外角是，则其底角是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质和三角形内角和，根据等腰三角形性质、三角形内角和与外角性质，分两种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】解：等腰三角形的一个外角是，则有一个内角是，
②当这个角为底角时，此三角形底角为；
②当这个角为顶角时，底角，
所以其底角为或，
故选D．
7. 一个多边形的内角和等于，这个多边形是（ ）
A. 十边形B. 八边形C. 七边形D. 六边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设这个多边形的边数为，根据内角和公式列出方程即可求解 ，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
由题意得，，
解得，
∴这个多边形是八边形，
故选：．
8. 如图，△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=50°，折叠△ACB使点C与AB边上的点D重合，折痕为AE，连DE，则∠AED为( )

A. 70°B. 75°C. 80°D. 85°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据翻折变换的性质求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠AEC，然后根据翻折变换的性质即可求出∠AED．
【详解】解：∵∠ABC=30°，∠ACB=50°，
∴∠BAC=100°，
由折叠的性质可知，∠CAE=∠DAE=50°，
∴∠AEC=180°-∠CAE-∠C=80°，
∴∠AED=∠AEC=80°，
故选C．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
9. 下列命题中，是真命题的有（ ）个
①等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高；②角、线段是轴对称图形；
③成轴对称的两个图形一定全等；④全等的两个图形一定是轴对称的；
⑤角对称轴是这个角的平分线；⑥一个轴对称图形的对称轴可能不止一条．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的性质逐一分析，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：①等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高所在的直线，①是假命题；
②角、线段是轴对称图形，是真命题；
③成轴对称两个图形一定全等，是真命题；
④全等的两个图形一定是轴对称的，是假命题；
⑤角的对称轴是这个角的平分线所在的直线，⑤是假命题；
⑥一个轴对称图形的对称轴可能不止一条，是真命题，
即是真命题的有②③⑥
故选：B．
【点睛】本题考查真假命题，涉及轴对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，y轴上有一点，作点P关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作点关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，…，按此规律操作下去，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出点P1，P2，P3，P4的坐标，从而发现点的坐标以4为周期，作循环往复的周期变化，即可解决问题．
【详解】解：∵点P坐标为（0，2），点A坐标为（1，1），
∴点P关于点A的对称点P1的坐标为（2，0），
点P1关于点B（1，-1）的对称点P2的坐标（0，-2），
点P2关于点C（-1，-1）的对称点P3的坐标为（-2，0），
点P3关于点D（-1，1）的对称点P4的坐标为（0，2），
即点P4与点P重合了；
∵2018=4×504+2，
∴点P2018的坐标为（0，-2），
故选C．
【点睛】该题以平面直角坐标系为载体，以探索点的坐标的变化规律为考查的核心构造而成；解题的关键是首先探索出个别点的坐标的变化规律，然后从特殊到一般去发现一般规律，进而利用规律去解决问题．
二．填空题（每题3分，共18分）
11. 如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．

【答案】3265
【解析】
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答．
【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265，
故答案为：3265．
【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．
12. 若等腰三角形的周长是，其中一边长为，则腰长为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，当等腰三角形的给定边长不固定时要分情况讨论是解题的关键．
分当腰长为和底边长为两种情况，分别运用三角形的三边关系分出腰的长即可．
【详解】解：由题意知，应分两种情况：
①当腰长为时，则另一腰也为，则底边为，
∵，
∴边长分别为，，，能构成三角形；
∴该等腰三角形的腰长为；
②当底边长为时，腰的长，
∵，
∴边长为，，，能构成三角形．
∴该等腰三角形的腰长为；
综上，该等腰三角形的腰长为或．
故答案为：或．
13. 如图所示，在中，，直线，分别与边交于两点，则______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和的应用，熟练掌握三角形内角和是解题的关键，根据三角形内角和定理可得，再根据补角的性质分别得到，，进而得到的值．
【详解】解：∵
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
14. 已知和关于轴对称，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查关于轴对称的点的特征，根据题意得：，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可知，点和点到的距离相等，是3个单位长度，且轴，据此即可获得答案．
【详解】解：根据题意，点和点是关于直线对称的对应点，
∴它们到的距离相等，是3个单位长度，且轴，
∵点的坐标为，
∴点的坐标是．
故答案为：．
16. 如图，，D是中点，点E是延长线上一点，，交延长线于F，连接，且．有下列结论：①平分；②；③；④平分，其中正确的是____________（只填写序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，三线合一判断①，证明判断②，三角形的外角，等边对等角，判断③，即可得出结果．
【详解】解：∵，D是中点，
∴，平分，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
条件不足，无法得到平分，故④错误；
故答案为：①②③．
三．解答题（共5小题，共52分）
17. 在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题：

（1）在网格图中画出关于轴的对称图形；
（2）在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握坐标关于对称轴对称的特点是解题关键．
（1）根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数确定对称点，再依次连接即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点即为所求．

18. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形．连接，求出，再根据可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出．掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
19. 已知是三角形的三边长．
（1）化简：；
（2）满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）此三角形是等腰三角形，详见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
（1）根据三角形三边关系定理可得，，再去绝对值符号即可；
（2）根据及三角形的周长是16求得a，b，c的值即可判断三角形的形状．
【小问1详解】
解：是三角形的三边长，
．
，．
．
小问2详解】
此三角形是等腰三角形．
理由如下：
，
．
．
三角形的周长是16，
．
．
此三角形是等腰三角形．
20. 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，通过已知条件和图形分析，逐步推导出各个角的度数是解题的关键．
（1）通过，得到，再由，证明是等边三角形；
（2）由（1）得到是等边三角形，，根据，得到，最后由得到是直角三角形；
【小问1详解】
证明：∵，
，
∵，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
21. 如图，在中，，D是上任意一点，过点D分别向、引垂线，垂足分别为E、F，是边上的高．
（1）当D点在什么位置时，？并证明；
（2）线段，，的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【答案】（1）当点D在的中点时，，证明见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）根据证，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）连接，根据三角形的面积公式求出即可．
【小问1详解】
解：当点在的中点上时，．
理由如下：
为中点，
，
，
，
，，
，
在和中
，
，
．
【小问2详解】
解：，理由如下：
连接，

，
，
，
．
22. （）如图，，点在上，且，求的大小；
（）如图，是的角平分线，于，于，连接交于．
①求证：垂直平分；
②若的面积为，，，求的长．
【答案】（）；（）①证明见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
（）设，由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质得，即可得，，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（）①由角平分线的性质可得，即可证明，可得，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证；②由的面积的面积，再建立方程求解即可．
【详解】（）解：设，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（）①证明：∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分；
②解：∵的面积为，，，，
∴的面积的面积，
∴，
∴，
解得，
∴长为．
23. 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答：
（1）小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示）
（2）请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题；
（3）如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据定理解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，再由三角形的三边关系计算即可得出答案；
（3）仿照（1）的作法，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴小明证明用到的判定定理是；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：如图，延长到点，使，连接，
，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．