2025-2026学年江苏省盐城市阜宁县九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年江苏省盐城市阜宁县九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x+y=2025B. 1x2−3x+2=0C. x(x2−1)=0D. 3x2−2x=5
2.如图，点A，B，C在⊙O上，若AB的度数为80∘，则∠ACB=( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 60∘
D. 80∘
3.已知x=2是关于x的一元二次方程x2−5x+m=0的一个实数根，则m的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.下列说法错误的是( )
A. 半径相等的两个半圆是等弧
B. 面积相等的两个圆是等圆
C. 长度相等的两条弧一定是等弧
D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
5.已知正六边形的外接圆的半径是2，则正六边形的周长是( )
A. 4B. 6C. 12D. 24
6.一只不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为35，则黄球的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
7.2025年，江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)火爆出圈，不仅吸引了许多球迷亲临现场观赛，也掀起了“第二现场”观赛的热潮.在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得知：“苏超”联赛常规赛采用单循环赛制(即每两队之间仅需对决一场)，本赛季常规赛共进行了78场对决.若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程为( )
A. 12x(x−1)=78B. x(x−1)=78C. 12x(x+1)=78D. x(x+1)=78
8.如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的内心I重合，若∠ACB=40∘，则∠EIA+∠FIB=( )
A. 210∘
B. 220∘
C. 230∘
D. 240∘
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.方程x2−4=0的解是______.
10.一组数据：15，15，13，17，15，18，17.这组数据的众数是 .
11.己知圆锥的侧面积是12π，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为______.
12.用配方法解方程x2+6x+3=0，方程可化为(x+3)2=m，则m= .
13.如图，AC，AB，BD是⊙O的切线，切点分别为C，E，D点，若AB=12，BD=3，则AC的长为 .
14.若a，b是一元二次方程x2+3x−9=0的两个实数根，则a−ab+b的值是 .
15.如图，直线a//b，直线m分别交a，b于点A，B.以点A为圆心，AB长为半径画弧，分别交b，a于直线m同侧的点C，D.连接BD，若∠ADB=25∘，AB=6，则CB的长等于 .
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x−4与x轴，y轴分别交于D，C两点.A，B是半径为2的⊙E上的两动点，且AB=2 2，M为弦AB的中点，点E(−2,0).当A，B两点在圆上运动时，△MCD面积的最大值是 .
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解下列方程：
(1)x2−4x+3=0；
(2)(x+5)2=x+5.
18.(本小题6分)
如图，在⊙O中，弦CD的长为16，OE⊥CD，交CD于点G，交⊙O于点E，OG：GE=3：2.求GE的长.
19.(本小题8分)
某射击队为了从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加市级比赛，对他们进行了5次测试，测试成绩统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)完成表格：
(2)根据(1)中表格里的信息，你认为推荐谁参加市级比赛更合适，请说明理由.
20.(本小题8分)
为了弘扬社会主义核心价值观，某学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看.现有A，B，C共3部电影，甲、乙两名同学分别从中任意选择1部电影观看.
(1)乙同学选择电影C的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同电影的概率.
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点G在边DC的延长线上.
(1)求证：∠BAD=∠GCB；
(2)若∠DBA=80∘，∠CDA=50∘，求∠CAD的度数.
22.(本小题10分)
已知关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0.
(1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根；
(2)若一个等腰三角形的一边长为6，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘.
(1)尺规作图：在边BC上找一点O，以点O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，使得⊙O与边AC相切于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，AB=6，BC=8.求⊙O的半径.
24.(本小题10分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“三倍根方程”.例如：一元二次方程x2−8x+12=0的两个根是x1=2，x2=6.因为6是2的3倍，所以称方程x2−8x+12=0是“三倍根方程”.
(1)请判断一元二次方程x2−2x−3=0是不是“三倍根方程”，并说明理由；
(2)若(x−5)(mx+n−3)=0(m≠0)是“三倍根方程”，试用含m的代数式表示n.
25.(本小题10分)
如图，BC为⊙O的直径，点A在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点E，交BC于点M.∠ABM的平分线BD交AE于点D，过点E作EF//BC，交AB的延长线于点F，连接BE.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BE=8，求DE的长.
26.(本小题12分)
根据以下素材，探索完成任务.
27.(本小题14分)
综合与实践
学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识.为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究(每张纸片如图①所示，圆心记为O).
【初步探究】
(1)如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为90∘的扇形EMN.
①请求出扇形EMN的面积.
②他打算用剪得的扇形EMN纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由.
【深入探究】
(2)小明继续探究，他发现存在如图③的情况：⊙O的半径仍是8，扇形EMN的圆心角∠MEN=90∘.点E在圆内，点M，N在⊙O上，⊙O与扇形EMN的公共弦MN=8 3.求图中点O与点E的距离，并计算扇形EMN的面积.
【拓展探究】
(3)若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角∠MEN为120∘的扇形EMN(点M，N在⊙O上).请直接写出所剪扇形EMN的面积S的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B、不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、整理得x3−x=0，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D.
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).
2.【答案】B
【解析】解：∵AB的度数为80∘，
∴∠AOB=80∘，
∴∠ACB=12∠AOB=40∘.
故选：B.
先根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠AOB=80∘，然后根据圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
3.【答案】D
【解析】解：∵x=2是关于x的一元二次方程x2−5x+m=0的一个实数根，
∴22−5×2+m=0，
解得：m=6.
故选：D.
把x=2代入方程得到有关m的方程求解即可求得m的值．
本题考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是能够了解方程的解能使得方程左右两边相等，难度不大．
4.【答案】C
【解析】解：A.半径相等的两个半圆是等弧，原说法正确，不符合题意；
B.面积相等的两个圆是等圆，原说法正确，不符合题意；
C.长度相等的两条弧不一定是等弧，原说法错误，符合题意；
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法正确，不符合题意；
故选：C.
根据圆的相关概念和性质逐一判断，即可得到答案．
本题考查了圆的相关概念和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵正六边形的边长等于其外接圆的半径，
∴正六边形的周长=2×6=12.
故选：C.
先根据正六边形外接圆的半径是2求出其边长，再求出其面积即可．
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的边长等于其外接圆的半径是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设黄球的个数为x个，
由题意得：33+x=35，
解得x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
即黄球的个数为2个．
故选：B.
设黄球的个数为x个，根据概率公式列出方程，解方程即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程为：x(x−1)2=78.
由题意得：，
故选：A.
若设参加该联赛的球队共有x支，则比赛场数为x(x−1)2，根据预计常规赛共比赛78场，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=40∘，
∴∠BAC+∠ABC=180∘−∠ACB=140∘，
∵△ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的内心I重合，
∴∠EIF=∠ACB=40∘，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠BAC，∠IBA=12∠ABC，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠BAC+∠ABC)=70∘，
∴∠AIB=180∘−(∠IAB+∠IBA)=110∘，
∴∠EIA+∠FIB=360∘−∠EIF−∠AIB=210∘，
故选：A.
由∠ACB=40∘，求得∠BAC+∠ABC=140∘，由折叠得∠EIF=∠ACB=40∘，因为I是△ABC的内心，所以∠IAB=12∠BAC，∠IBA=12∠ABC，则∠IAB+∠IBA=12(∠BAC+∠ABC)=70∘，求得∠AIB=110∘，所以∠EIA+∠FIB=360∘−∠EIF−∠AIB=210∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查翻折变换的性质、三角形内角和定理、三角形的内切圆与内心等知识，正确地求出∠AIB的度数是解题的关键．
9.【答案】±2
【解析】解：x2−4=0，
移项得：x2=4，
两边直接开平方得：x=±2，
故答案为：±2.
首先移项可得x2=4，再两边直接开平方即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．
10.【答案】15
【解析】解：在数据15，15，13，17，15，18，17中：
13出现1次；17出现2次；15出现3次；18出现1次．
因为15出现的次数最多，所以这组数据的众数是15，
故答案为：15.
统计这组数据中每个数出现的次数，找出出现次数最多的数，即为众数．
本题考查众数的概念，解题的关键是明确众数是一组数据中出现次数最多的数据．
11.【答案】3
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，
由题意得，12×2π×r×4=12π，
解得，r=3，
故答案为：3.
设圆锥的底面圆半径为r，根据扇形弧长公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12.【答案】6
【解析】解：由题知，
x2+6x+3=0，
x2+6x=−3，
x2+6x+9=−3+9，
(x+3)2=6，
所以m=6.
故答案为：6.
利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可．
本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法是解题的关键．
13.【答案】9
【解析】解：∵AC，AB，BD是⊙O的切线，切点分别为C，E，D点，
∴BE=BD=3，AE=AC，
∵AE=AB−BE=12−3=9，
∴AC=9.
故答案为：9.
先根据切线长定理得到BE=BD=3，AE=AC，然后计算出AE，从而得到AC的长．
本题考查了切线的性质，灵活运用切线长定理是解决问题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：由题知，
因为a，b是一元二次方程x2+3x−9=0的两个实数根，
所以a+b=−3，ab=−9，
所以a−ab+b=a+b−ab=−3−(−9)=6.
故答案为：6.
利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15.【答案】83π
【解析】解：连接AC，
∵a//b，∠ADB=25∘，
∴∠DBC=∠ADB=25∘
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=25∘，
∴∠ABC=25∘+25∘=50∘.
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=50∘，
∴∠CAB=180∘−50∘−50∘=80∘，
∴CB的长等于80⋅π⋅6180=83π.
故答案为：83π.
连接AC，根据平行线的性质求出∠CAB的度数，再结合弧长的计算公式进行计算即可．
本题主要考查了弧长的计算及平行线的性质，熟知弧长的计算公式及平行线的性质是解题的关键．
16.【答案】16
【解析】解：连接EB、EM，作MH⊥CD于点H，EF⊥CD于点F，则∠DFE=90∘，
∵M为弦AB的中点，且AB=2 2，
∴EM⊥AB，且BM=AM=12AB= 2，
∴∠EMB=90∘，
∵⊙E的半径为2，
∴EB=2，
∴EM= EB2−BM2= 22−( 2)2= 2，
直线y=x−4，当x=0时，y=−4，
当y=0时，则x−4=0，
解得x=4，
∴C(0,−4)，D(4,0)，
∵∠COD=90∘，OC=OD=4，
∴∠CDO=∠DCO=45∘，CD= OC2+OD2= 42+42=4 2，
∴∠FED=∠FDE=45∘，
∴DF=EF，
∵E(−2,0)，
∴DE=4−(−2)=6，
∵DE= EF2+DF2= 2EF=6，
∴EF=3 2，
∵MH≤EM+EF，且EM+EF= 2+3 2=4 2，
∴MH≤4 2，
∴12CD⋅MH≤12×4 2×4 2，
∴S△MCD≤16，
∴S△MCD的最大值是16，
故答案为：16.
连接EB、EM，作MH⊥CD于点H，EF⊥CD于点F，由M为弦AB的中点，且AB=2 2，得EM⊥AB，且BM=AM= 2，而EB=2，求得EM= 2，由直线y=x−4与x轴，y轴分别交于D，C两点，求得C(0,−4)，D(4,0)，则CD=4 2，可证明∠FED=∠FDE=45∘，则DF=EF，因为E(−2,0)，所以DE=6，由DE= 2EF=6，求得EF=3 2，由MH≤EM+EF，得MH≤4 2，则12CD⋅MH≤16，所以S△MCD≤16，则S△MCD的最大值是16，于是得到问题的答案．
此题重点考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理、垂线段最短、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
17.【答案】(1)x1=1，x2=3 (2)x1=−5，x2=−4
【解析】解：(1)x2−4x+3=0，
(x−1)(x−3)=0，
则x−1=0或x−3=0，
所以x1=1，x2=3；
(2)(x+5)2=x+5，
(x+5)2−(x+5)=0，
(x+5)(x+4)=0，
则x+5=0或x+4=0，
所以x1=−5，x2=−4.
(1)利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
(2)利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
18.【答案】4.
【解析】解：如图，连接OC.
设OC=OE=5m，
∵OG：GE=3：2，
∴OG=3m，GE=2m，
∵OE⊥CD，
∴CG=GD=12CD=8，
∵OC2=OG2+CG2，
∴(5m)2=(3m)2+82，
解得m=2，
∴GE=2m=4.
如图，连接OC.设OC=OE=5m，由OG：GE=3：2，可得OG=3m，GE=2m，利用垂径定理，勾股定理构建方程求解．
本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
19.【答案】9;8.8;0.56 (2)推荐乙参加市级比赛更合适，
理由如下：三人的平均成绩相等，说明实力相当；但乙的测试成绩的方差最小，说明乙发挥较为稳定，故推荐乙参加市级比赛更合适
【解析】解：(1)甲的中位数为9，
乙的平均数为8×5×20%+9×5×80%5=8.8，
丙的方差为15×[2×(8−8.8)2+2×(9−8.8)2+(10−8.8)2]=0.56；
故答案为：①9，②8.8，③0.56；
(2)推荐乙参加市级比赛更合适，
理由如下：三人的平均成绩相等，说明实力相当；但乙的测试成绩的方差最小，说明乙发挥较为稳定，故推荐乙参加市级比赛更合适．
(1)根据中位数，平均数以及方差公式计算即可；
(2)根据平均数和方差的意义判断即可．
此题主要考查了中位数、平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键．
20.【答案】13 13
【解析】(1)∵现有A，B，C共3部电影，
∴乙同学选择C电影的概率为13，
故答案为：13；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同电影的结果有3种，
∴甲、乙两位同学选择相同电影的概率为39=13.
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同电影的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180∘，
∵∠GCB+∠BCD=180∘，
∴∠BAD=∠GCB (2)50∘
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180∘，
∵∠GCB+∠BCD=180∘，
∴∠BAD=∠GCB；
(2)解：由圆周角定理得：∠DCA=∠DBA=80∘，
∴∠CAD=180∘−∠DCA−∠CDA=180∘−80∘−50∘=50∘.
(1)根据圆内接四边形的性质、邻补角的定义证明；
(2)根据圆周角定理求出∠DCA，再根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
22.【答案】(1)关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0，
这里a=1，b=−(k+3)，c=3k，
Δ=b2−4ac
=[−(k+3)]2−4×1×3k
=k2−6k+9
=(k−3)2.
∵Δ=(k−3)2≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根 (2)15
【解析】解：(1)关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0，
这里a=1，b=−(k+3)，c=3k，
Δ=b2−4ac
=[−(k+3)]2−4×1×3k
=k2−6k+9
=(k−3)2.
∵Δ=(k−3)2≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根．
(2)∵x2−(k+3)x+3k=0，
∴(x−3)(x−k)=0.
∴x=3或x=k.
当等腰三角形的腰长为6时，即k=6，此时底长为3，
这个等腰三角形的周长为：6+6+3=15；
当等腰三角形的底长为6时，即k=3，此时两腰长都为3，
由于3+3=6，不能构成三角形．
∴这个等腰三角形的周长为15.
(1)先计算根的判别式，再利用完全平方式的非负性得结论；
(2)先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质确定k，最后求出三角形的周长．
本题考查了一元二次方程和等腰三角形，掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形成立的条件等知识点是解决本题的关键．
23.【答案】(1)如图1，作∠BAC的角平分线，交边BC于点O，以O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，则⊙O与边AC相切于点D； (2)⊙O的半径为3
【解析】解：(1)如图1，作∠BAC的角平分线，交边BC于点O，以O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，则⊙O与边AC相切于点D；
(2)如图，连接OD，
由(1)可知：OD⊥AC，
在△ABC中，∵∠ACB=90∘，AB=6，BC=8.
∴AC= AB2+BC2=10，
∵AC⊥BC，
∴AB为⊙O的切线，
∵AC与⊙O相切于D，
∴AD=AB=6，
∴CD=AC−AD=10−6=4，
设⊙O的半径为r，则OB=OD=r，CO=8−r，
在Rt△OCD中，42+r2=(8−r)2，
解得r=3，
即⊙O的半径为3.
(1)作∠BAC的角平分线，交边BC于点O，以O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，则⊙O与边AC相切于点D；
(2)设OB=r，根据(1)的条件知OD⊥AC，在Rt△ODC中，由勾股定理解即可求解．
本题考查了作图-复杂作图，切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24.【答案】(1)不是，理由如下：
由x2−2x−3=0得，
(x+1)(x−3)=0，
则x+1=0或x−3=0，
所以x1=−1，x2=3.
因为3和−1之间不存在3倍关系，
所以方程x2−2x−3=0不是“三倍根方程” (2)n=−53m+3或n=−15m+3
【解析】解：(1)不是，理由如下：
由x2−2x−3=0得，
(x+1)(x−3)=0，
则x+1=0或x−3=0，
所以x1=−1，x2=3.
因为3和−1之间不存在3倍关系，
所以方程x2−2x−3=0不是“三倍根方程”；
(2)由(x−5)(mx+n−3)=0(m≠0)得，
x1=5,x2=−n−3m.
因为该方程是“三倍根方程”，
所以5=3×(−n−3m)或−n−3m=3×5.
由5=3×(−n−3m)得，n=−53m+3，
由−n−3m=3×5得，n=−15m+3，
所以n=−53m+3或n=−15m+3.
(1)根据所给“三倍根方程”的定义进行判断即可；
(2)根据所给“三倍根方程”的定义，得出关于m，n的等式，据此用含m的代数式表示n即可．
本题主要考查了列代数式、根与系数的关系、一元二次方程的解、解一元二次方程-因式分解法及根的判别式，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及理解所给“三倍根方程”的定义是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OE.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90∘，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=45∘，
∴∠BOE=2∠BAE=90∘，
∵EF//BC，
∴∠BOE+∠FEO=180∘，
∴∠FEO=180∘−∠BOE=90∘，
∵OE为⊙O的半径，∠FEO=90∘，
∴EF是⊙O的切线 (2)DE=8
【解析】(1)证明：连接OE.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90∘，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=45∘，
∴∠BOE=2∠BAE=90∘，
∵EF//BC，
∴∠BOE+∠FEO=180∘，
∴∠FEO=180∘−∠BOE=90∘，
∵OE为⊙O的半径，∠FEO=90∘，
∴EF是⊙O的切线．
(2)解：∵BD是∠ABM的平分线，
∴∠ABD=∠DBM.
∵∠EBC=∠CAE，∠BAE=∠CAE，
∴∠EBC=∠BAE，即∠EBM=∠BAD.
∵∠EBD=∠EBM+∠DBM，∠EDB=∠BAD+∠ABD.
且∠ABD=∠DBM，∠EBM=∠BAD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴DE=BE=8.
(1)连接OE，易得∠BOE=90∘，再根据平行线的性质即可得解；
(2)倒角证∠EBD=∠EDB，即可得解．
本题主要考查了切线的判定和性质、圆周角定理、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26.【答案】任务1：20%；
任务2：每个玩具应降价12元；
任务3：该商家平均每天不能获利2300元，理由如下：
设每个玩具应降价y元，则降价后每个玩具的利润为(70−y−40)元，销售量为(60+y2×10)个，
由题意得：(70−y−40)(60+y2×10)=2300，
整理得：y2−18y+100=0，
∵Δ=(−18)2−4×1×100=−76