四川省遂宁市遂宁中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 某检测箱中有 10 袋食品，其中有 2 袋符合国家卫生标准，质检员从中任取 1 袋食品进行检测，则它符合
国家卫生标准的概率为（ ）
A. B. C. D.
2. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，则甲、乙至少有一人
中靶的概率为（ ）
A. 0.02 B. 0.26 C. 0.72 D. 0.98
3. 向量 ， ，若 ，则实数 m 的值为（ ）
A B. 1 C. 2 D.
4. 如果直线 与圆 相切，则 的值（ ）
A B. C. D.
5. 坐标原点到直线 距离为 ，直线 与直线 的距离为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，设 ， ， ，则
（ ）
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A. B. C. D.
7. 若直线 经过圆 的圆心，则 的最小值为（
）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体 中， 是 中点，点 在线段 上，若直线 与平面 所
成的角为 ，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 高二（1）班计划从 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点
的个数为 15
B. 掷一枚骰子，设事件 出现的点数不小于 5 ， 出现的点数为偶数 ，则 出现的点数
为 6
C. 如果事件 与事件 互斥，那么
D. 随机事件 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.
10. 已知正方体 的棱长为 1，则（ ）
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A. 直线 与直线 所成的角为
B. 平面
C. 点 到平面 的距离为
D. 直线 与平面 所成角的余弦值为
11. 已知圆 ，点 是圆 上的点，直线 ，则（ ）
A. 直线 与圆 相交所得弦长是
B. 的最大值是
C. 圆 上恰有 个点到直线 的距离等于
D. 过点 向圆 引切线， 为切点，则 最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 与直线 的交点的坐标为________________.
13. 如图，二面角 的棱上有两个点 ，线段 与 分别在这个二面角两个面内，并且都垂
直于棱 .若二面角 的平面角为 ，且 ，则 ________________.
14. 若实数 、 满足 ，则 取值范围是______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点 ，求解满足下列条件的直线或圆的方程.
（1）经过点 ，且在 轴上的截距为 的直线的一般式方程；
（2）以点 为圆心，且与 轴相切的圆的一般方程.
16. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为 ，乙破译密码的概率为 .记事件 A：甲破译
密码，事件 B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
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（2）求恰有一人破译密码 概率；
（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：
解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，
所以随机事件“密码被破译”可以表示为 ，
所以 .
请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．
17. 如图，在长方体 中， ， 为棱 的中点， 为棱 的
中点.
（1）证明 ，并求点 到直线 的距离；
（2）求点 到平面 的距离和三棱锥 的体积.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， 平面 为棱 上的动点.
（1）当 为棱 的中点时，证明： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
19. 已知过点 且斜率为 的直线被圆 截得的弦长为 .
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（1）求过点 的圆 的切线方程；
（2）已知两个定点 ， ，其中 ， . 为圆 上任意一点， （ 为常数）
.
①求常数 的值；
②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是 19 世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用
来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若 ， ，则 ，
两点的“曼哈顿距离”为 ，若过点 作直线 与圆 交于
、 两点，且 点恰好是线段 的中点，又已知点 ， 能成立，且
恒成立，求实数 的取值范围.
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