初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.2 画轴对称的图形巩固练习

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题型1 判断轴对称图形
1．（25-26八年级上·全国·期中）下列月饼简笔画中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C
2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断/求解
4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中错误的是（ ）

A．BO=EOB．∠ABC=∠DEF
C．AB=DFD．AD⊥MN
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，（1）如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；（3）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．根据轴对称的性质作答即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF关于直线MN对称，
∴AD⊥MN,BO=EO,∠ABC=∠DEF，
根据现有条件无法得到AB=DF，
故选：C．
5．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA1共线），下列结论中错误的是（ ）
A．AP=A1PB．MN垂直平分AA1
C．∠PAC=∠PA1C1D．直线AB，A1B1的交点不一定在MN上
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A、∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴AP=A1P，该选项正确，不合题意；
B、∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴MN垂直平分AA1，该选项正确，不合题意；
C、∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴∠PAC=∠PA1C1，该选项正确，不合题意；
D、∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴直线AB，A1B1的交点一定在MN上，该选项错误，符合题意；
故选：D．
6．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，点B关于CD的对称点B'在AD上，若∠ACB'=18°，则∠B= ．
【答案】54°/54度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由题意可得∠BCB'=∠ACB−∠ACB'=72°，由折叠的性质可得∠BCD=∠B'CD=12∠BCB'=36°，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ACB'=18°，
∴∠BCB'=∠ACB−∠ACB'=72°，
由折叠的性质可得：∠BCD=∠B'CD=12∠BCB'=36°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠B=90°−∠BCD=54°，
故答案为：54°．
7．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图➀，是一个左右对称的风筝，图②是其几何示意图，已知∠BCD=84°，∠DAC=60°，则∠B的度数为（ ）

A．60°B．76°C．78°D．84°
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质得△ABC≌△ADC，得出∠BCA=∠DCA=12∠BCD=42°，∠B=∠D ，即可推出结果．
【详解】∵△ABC与△ADC关于AC对称
∴△ABC≌△ADC
∴∠BCA=∠DCA=12∠BCD=42°，∠B=∠D
∴∠B=∠D=180°−∠DAC−∠DCA=180°−60°−42°=78°
故选：C．
8．（23-24八年级上·陕西延安·期中）已知点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R，MN分别交OA，OB于点E，F．
(1)连接PE，PF，若MN=15，求△PEF的周长；
(2)若PM=PN，求证：OP平分∠AOB，
【答案】(1)15
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
（1）先根据轴对称的性质可得ME=PE，FN=PF，再根据三角形的周长公式即可得；
（2）先根据轴对称的性质可得QP=12PM，PR=12PN，从而可得Q=PR，再根据角平分线的判定定理即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接PE，PF，
∵点P与点M关于OA对称，
∴ME=PE．
同理：FN=PF．
∴△PEF的周长=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=15；
（2）证明：∵PN=PM，Q、R为MP，PN的中点，
∴ QP=12PM，PR=12PN，
∴PQ=PR．
又∵点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对称，
∴PQ⊥QA，PR⊥OB，
∴OP平分∠AOB．
题型3 镜面对称
9．（20-21八年级上·广东广州·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是： ．
【答案】M17936
【分析】本题主要考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字，也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看，关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平线的对称即可．
【详解】解：实际车牌号是M17936，
故答案为：M17936．
10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近8时整的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的．
【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称．
∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）．
对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；
对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；
对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；
对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整．
故选：D．
11．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）李明从平面镜中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是
【答案】15:01
【分析】本题主要考查了镜面对称的特点，掌握其特点：上下前后方向一致，左右方向相反是解题的关键．
根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可．
【详解】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的轴对称，
注意镜子中的2实际应为5，电子表的实际时刻是15:01．
故答案为：15:01．
题型4 画轴对称图形
12．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知A(2,3)、B(1,1)、C(4,1)是平面直角坐标系中的三点．
(1)请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1各顶点坐标；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
【答案】(1)A12,−3,B11,−1,C1(4,−1)
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握变化规律是解题的关键：关于x轴对称的坐标变化规律-横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的坐标变化规律-纵坐标不变，横坐标互为相反数．
（1）根据题意画出图象，读出点的坐标即可；
（2）根据题意画出图象即可．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1，
∴A12,−3,B11,−1,C1(4,−1)；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求
13．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，利用无刻度直尺作图．
(1)画△A'B'C'，使它与△ABC关于直线l对称；
(2)在直线l上作点P，使AP+CP的值最小；
(3)在直线l上找一点Q，使点Q到AB、BC两边的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键．
（1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得；
（2）连接AC'，与直线l的交点即为点P，再证明△ACP为直角三角形，即可得∠APC的度数；
（3）连接BB'，与直线l的交点即为点Q．
【详解】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；
；
（2）解：如图，点P即为所求．
；
（3）解：如图，点Q即为所求．
．
14．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出△AB1C1各顶点的坐标．
(2)将△ABC向右平移6个单位长度，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
(3)在（1）（2）的条件下，观察△AB1C1与△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，则在图中画出这条对称轴．
【答案】(1)图见解析，A0,4，B12,2，C11,1
(2)图见解析，A26,4，B24,2，C25,1
(3)是，图见解析
【分析】本题考查了画轴对称图形、平移作图、画对称轴、点的坐标，熟练掌握轴对称图形和平移作图的方法是解题关键．
（1）根据轴对称的性质画出点B1,C1，再顺次连接A,B1,C1即可得△AB1C1，然后根据在平面直角坐标系中的位置写出它们的坐标即可得；
（2）先根据平移的性质画出点A2,B2,C2，再顺次连接A2,B2,C2即可得△A2B2C2，然后根据在平面直角坐标系中的位置写出它们的坐标即可得；
（3）根据轴对称的性质画出对称轴即可得．
【详解】（1）解：如图，△AB1C1即为所求．
则A0,4，B12,2，C11,1．
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求，
则A26,4，B24,2，C25,1．
（3）解：由图可知，△AB1C1与△A2B2C2，它们是关于某条直线对称，
如图，直线a即为对称轴．
15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A−5，1，B−2，4，C3，3．在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，并写出点D的坐标．
【答案】图见解析，点D的坐标为−5,−1
【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．分别作出点A，B，C关于x轴对称的点D，E，F，然后顺次连接，并写出D的坐标．
【详解】解：如图，△DEF即为所求，
由作图可知，点D的坐标为−5,−1．
题型5 根据点的对称性判断坐标中的参数
16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）若点Am,4与点B2,n关于y轴对称，则m+n的值为（ ）
A．−2B．2C．−6D．6
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n的值，再求和即可；
【详解】解：由题意得：2=−m，n=4，
解得m=−2，n=4；
∴m+n=−2+4=2，
故选：B．
17．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知点P2a−1,3a+1关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是（ ）
A．−13∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=12180°−40°=70°，
∵∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∴∠BAD=100°−70°=30°；
∴∠BDA=180°−30°−40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°−40°=60°，
∴∠BDA=180°−60°−40°=80°；
∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
37．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，交AD于点G．
(1)求证：E是线段DF的中点；
(2)求证：AD⊥CF；
(3)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)△ACF为等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）先证明∠CBF=90°，∠ABC=45°，进一步证明∠BDE=∠BFD，再结合等腰三角形的性质可得结论；
（2）先证明△ACD≌△CBF，可得∠CAD=∠BCF，结合∠ACF+∠BCF=90°，可得∠ACF+∠CAD=90°，进一步可得结论；
（3）先证明AD=AF，结合△ACD≌△CBF，可得AD=CF，可得AF=CF，从而可得结论．
【详解】（1）证明： ∵∠ACB=90°,BF∥AC，
∴∠CBF=90°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∵DE⊥AB，即∠BED=90°，
∴∠BDE=180°−∠ABC−∠BED=45°，
∴∠BFD=180°−∠CBF−∠BDE=45°，
∴∠BDE=∠BFD，
∴BD=BF，
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，即E是线段DF的中点．
（2）证明：由（1）可得∠CBF=90°,BD=BF．
∵∠ACB=90°，D为BC的中点，
∴∠CBF=∠ACB,CD=BD，
∴CD=BF，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF+∠CAD=90°，
∴∠AGC=180°−∠ACF+∠CAD=90°，即AD⊥CF．
（3）解： △ACF为等腰三角形．
理由：如图，连接AF，
∵E是线段DF的中点，DE⊥AB，
∴AD=AF，
由（2），得△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
∴AF=CF，
∴△ACF为等腰三角形．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
题型10 等边三角形性质与判定综合
38．（24-25七年级下·重庆·期末）已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别为AB、BC边上一点，AE、CD相交于点F，BD=CE．
(1)如图1，求∠AFD的度数；
(2)如图2，连接BF并延长，与AC相交于点G，点M为BF延长线上一点，MF=BF，点N为CD延长线上一点，∠MAN=120∘，∠ACF=2∠CBG，求证：CN=2AG；
(3)在（2）的条件下（可使用备用图），若△ABM的面积为2，AF+GC=DF+1，直接写出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和．
【答案】(1)60°
(2)见详解
(3)4
【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，证明△CBD≌△ACESAS，由全等三角形的性质得出∠BCD=∠CAE，根据角和关系得出∠BCD+∠ACF=60°，等量代换可得出∠CAE+∠ACF=60°，再根据三角形外角的定义和性质得出∠AFD=∠CAE+∠ACD．
（2）延长AE到F，使FH=AF，先证明△AFM≌△HFBSAS，由全等三角形的性质得出∠FAM=∠H，再证明△ANC≌△BHAAAS，由全等三角形的性质得出CN=AH=2AF，通过三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理得出∠AFG=180°−∠CAE−∠AGF=60°+α=∠AGF，根据等角对等边得出AF=AG，即可得出CN=2AG．
（3）过点N作NH⊥AB交AB于点H，过点A作AH1⊥BC交BC于点H1，过点C作CH2⊥AB交AB于点H2，设NH=ℎ，AH1=ℎ1和CH2=ℎ2，根据等边三角形得AH1=CH2，即ℎ1=ℎ2，由△AFM≌△HFB得S△ABM=S△HAB，即有S△ABM=S△HAB=2，则有S△ANC=S△BHA=2，进一步证得∠ABG=∠BFD，则DF=DB，由（2）AF=AG，有AC=DF+1，即可求得AD=1，结合S△ANC=S△AND+S△ADC=12ℎ+ℎ2AD=2，解得ℎ+ℎ2=4即可．
【详解】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
在△CBD和△ACE中，
BD=CE∠B=∠ACEBC=CA，
∴△CBD≌△ACESAS
∴∠BCD=∠CAE，
又∵∠BCD+∠ACF=60°，
∴∠CAE+∠ACF=60°，
∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°；
（2）证明：延长AE到H，使FH=AF，连接BH，如图，
又∵MF=BF，∠BFH=∠MFA，
∴△AFM≌△HFBSAS，
∴∠FAM=∠H，
又∵∠NAM=∠FAM+∠NAF=120°，∠AFD=60°，
∴∠NAF+∠ANC=120°，
∴∠FAM=∠ANC，
∴∠H=∠ANC，
∵∠ACF=2∠CBG，
∴设∠CBG=α，则∠ACN=2α，
∴∠BCD=60°−2α，
由（1）知∠BCD=∠CAE，
∴∠CAE=∠BCD=60°−2α，
∴∠BAH=∠BAC−∠CAE=60°−60°−2α=2α=∠ACN
又∵AB=AC，
∴△ANC≌△BHAAAS，
∴CN=AH=2AF，
∵∠CBG=α，∠BCD=60°−2α，
∴∠CFG=∠CBG+∠BCD=60°−α，
∴∠AGF=∠CFG+∠ACN=60°+α，
∵∠CAE=∠BCD=60°−2α，
∴∠AFG=180°−∠CAE−∠AGF=60°+α=∠AGF，
∴AF=AG，
∴CN=AH=2AF=2AG
（3）解：过点N作NH⊥AB交AB于点H，过点A作AH1⊥BC交BC于点H1，过点C作CH2⊥AB交AB于点H2，如图，
设NH=ℎ，AH1=ℎ1和CH2=ℎ2，
∵△ABC为等边三角形，
∴AH1=CH2，即ℎ1=ℎ2，
由△AFM≌△HFB，
∴S△ABM=S△HAB，
∵△ABM的面积为2，
∴S△ABM=S△HAB=2，
∵△ANC≌△BHA，
∴S△ANC=S△BHA=2，
∵∠CBG=α，
∴∠ABG=60°−α，
∵∠AFD=60°，∠AFG=60°+α，
∴∠BFD=∠CFG=180°−∠DFA−∠AFG=60°−α，
∴∠ABG=∠BFD，
则DF=DB，
由（2）AF=AG，
∵AF+GC=DF+1，
∴AG+GC=DF+1，即AC=DF+1，
∵AC=AB，
∴AB=DB+1=AD+DB，
∴AD=1，
∵S△ANC=S△AND+S△ADC=12ℎ+ℎ2AD=2，
∴ℎ+ℎ2=4，
∴ℎ+ℎ1=4，
则点A到BC的距离与点N到AB的距离之和4．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉倍长中线和半角求解的常见做法．
39．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
(1)求证：△BCE≌△ACD；
(2)求证：CF=CH；
(3)判断△CFH的形状并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答的关键．
（1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH；
（3）由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可得△CFH是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC,CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACDSAS；
（2）证明：∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
∠CBF=∠CAHBC=AC∠BCF=∠ACH，
∴△BCF≌△ACHASA，
∴CF=CH；
（3）解：△CFH是等边三角形．
理由如下：
由（2）知CF=CH，∠ACH=60°，
∴ △CFH是等边三角形．
40．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，AB=10，AD是边BC上的高，点E在边AD上，连接BE，在其下方作BF，使BE=BF，∠BEF=60°，连接DF，CF，EF．
(1)当△BDE是等腰三角形时，∠ABF= °；
(2)求证：△ABE≌△CBF；
(3)求DF的最小值；
(4)当△CDF是等腰三角形时，直接写出∠BDF的度数．
【答案】(1)75；
(2)见解析
(3)52
(4)∠BDF的大小为150°或105°或60°
【分析】（1）根据等边三角形性质得到∠ABC=∠EBF=60°，根据∠BDE=90°，△BDE是等腰三角形，得∠EBD=45°，得∠ABF=∠ABC+∠EBF−∠EBD=75°．
（2）根据等边三角形性质得AB=BC，BE=BF，∠ABE=∠CBF，得△ABE≌△CBF．
（3）根据等边三角形性质得到BC=10，∠BAC=60°，根据AD⊥BC，得CD=5，∠BAD=30°，根据全等三角形性质得∠BCF=30°，得当DF⊥CF时，DF最小，值为52．
（4）根据△CDF是等腰三角形，其中∠BCF=30°，若FD=FC，则∠CDF=∠DCF=30°，得∠BDF=150°；若CD=CF，则∠CDF=75°，得∠BDF=105°；若DC=DF，则∠CFD=∠DCF=30°，得∠BDF=60°．
【详解】（1）解：由题意可知BE=BF，∠BEF=60°，
∴△BEF为等边三角形，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°．
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=90°．
∵△BDE是等腰三角形，
∴DB=DE．
∴∠EBD=∠BED=12180°−∠BDE=45°．
∴∠ABF=∠ABC+∠EBF−∠EBD=60°+60°−45°=75°．
故答案为：75；
（2）证明：∵BE=BF，∠BEF=60∘，
∴△BEF是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，BE=BF，∠CBF+∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠CBF．
在△ABE和△CBF中AB=CB∠ABE=∠CBFBE=BF，
∴△ABE≌△CBFSAS；
（3）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=10，∠BAC=60°．
∵AD⊥BC，
∴CD=12BC=5，∠BAD=12∠BAC=30°．
由（2）知△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=30°．
∴当DF⊥CF时，DF最小，
最小值为DF=12CD=52；
（4）解：∠BDF的大小为150°或105°或60°；
理由如下：
当△CDF是等腰三角形时，
分三种情况讨论：
FD=FC时，
∵∠BCF=30°，
∴∠CDF=∠DCF=30°，
∴∠BDF=180°−∠CDF=150°，
CD=CF时，
则∠CDF=12180°−∠DCF=75°，
∴∠BDF=180°−∠CDF=105°，
DC=DF时，
则∠CFD=∠DCF=30°．
∴∠BDF=∠DCF+∠CFD=60°．
综上，∠BDF的大小为150°或105°或60°．
【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含30度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键．
41．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图1，在等边△ABC中，E为边AC上一点，D为BC上一点，且AE=CD，连接AD与BE相交于点F．
(1)AD与BE的数量关系是，AD与BE构成的锐角夹角∠BFD的度数是；并说明理由．
(2)深入探究，将图1中的AD延长至点G，使FG=BF，连接BG，CG，如图2所示．求证：GA平分∠BGC（第一问的结论，本问可直接使用）
【答案】(1)AD=BE，60°
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，角平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证△ACD≌△BAE(SAS)．得AD=BE，∠CAD=∠ABE，再由三角形的外角性质得∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠BAC=60°即可；
（2）证△BFG是等边三角形，得BF=BG，∠FBG=∠BGF=60°，再证△ABF≌△CBG(SAS)，得∠AFB=∠CGB=120°，即可解决问题．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
在△ACD和△BAE中，
CA=AB∠C=∠BAECD=AE，
∴△ACD≌△BAE(SAS)，
∴AD=BE，∠CAD=∠ABE，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
故答案为：AD=BE，60°；
（2）证明：由（1）可知，∠BFD=60°，
∴∠AFB=120°，
∵FG=BF，
∴△BFG是等边三角形，
∴BF=BG，∠FBG=∠BGF=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠FBG，
∴∠ABC−∠FBD=∠FBG−∠FBD，
即∠ABF=∠CBG，
∴△ABF≌△CBG(SAS)，
∴∠AFB=∠CGB=120°，
∴∠CGF=∠CGB−∠FGB=120°−60°=60°，
∴∠BGF=∠CGF，
∴ GA平分∠BGC．
42．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合）．连接AD，作∠DAE=∠BAC，且AD=AE，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE
(2)延长BC至点F，当CE平分∠ACF时，
①求证：△ABC是等边三角形；
②若∠BAD=35°，则∠DEC=______________°（直接写出，无需证明）
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②25
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
（1）先证∠BAD=∠CAE，再由SAS证△ABD≌△ACE即可；
（2）①根据△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，根据角平分线的性质得∠ACE=∠FCE，再根据等腰三角形的性质可证△ABC是等边三角形，②由△ABC是等边三角形，得∠BAC=∠DAE=60°，再由△DAE是等边三角形，得∠AED=60°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEDA=EA，
∴△ABD≌△ACESAS；
（2）解：由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE=∠FCE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠ACE=∠FCE，
∵∠ACB+∠ACE+∠FCE=180°，
∴∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形；
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°,∠B=∠ACE=60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴在△ACE中，∠CAE=∠BAD=35°，
∠DEC=180°−35°−60°−60°=25°；
故答案为：25．
题型11 规律探索问题
43．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，记斜边AC的中点为P1，连接BP1，过点P1作P1Q1⊥AB，垂足为Q1；记AP1的中点为P2，连接Q1P2，过点P2作P2Q2⊥AB，垂足为Q2……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则P10Q9的长为 ．
【答案】129
【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解.
根据已知分别求出P1B，P2Q1，P3Q2，发现变化规律即可.
【详解】在Rt△ABC中，点P1为AC中点，AC=2，
∴P1B=12AC=P1A=1，
在Rt△AP1Q1中，点P2为AP1中点，AP1=1，
∴P2Q1=12AP1=P2A=12，
同理P3Q2=14=122
…，
∴Pn+1Qn=12n
当n=9时，P10Q9=129
故答案为: 129.
44．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A12,0，A21,1，A30,0，则依图中所示规律，A2025的坐标为（ ）
A．−1012,0B．1014,0C．2,−507D．1,506
【答案】B
【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，观察图形可以看出每4个为一组，由于2025÷4=506⋯1，A2025在x轴正半轴上，纵坐标是0，再根据横坐标变化找到规律即可解．
【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上，
∵△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，
∴A54,0，A96,0，A138,0…，
∵2025÷4=506⋯1，
∴点A2025在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是2025+3÷2=1014，
∴A2025的坐标为1014,0．
故选：B．
45．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2013B2013A2014的边长为 ．
【答案】22012
【详解】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1=∠MON=30°，根据等腰三角形的判定定理得到A1B1=OA1=1，总结规律，根据规律即可解答．
【分析】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A1=∠B1A1A2−∠MON=30°，
∴∠OB1A1=∠MON=30°，
∴A1B1=OA1=1，
同理可得，A2B2=OA2=2，A3B3=OA3=4=22，
…，
∴AnBn=2n−1，
∴△A2013B2013A2014的边长=22012，
故答案为：22012
题型12 含30°角的直角三角形的应用
46．（25-26八年级上·全国·期中）如图．在△ABC中，∠C=30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA=OB，OD=1，OE=2，则BE的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接OC，作OF⊥BC于点F，根据含30°的直角三角形的性质求出CE，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可．
【详解】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，
DE=OD+OE=3，
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，
∴CE=2DE=6，∠OEF=60°，
∵AD=DC，ED⊥AC，
∴OA=OC，
∵OA=OB，
∴OB=OC，
∵OF⊥BC，
∴CF=FB，
在Rt△OFE中，∠OEF=60°，
∴∠EOF=30°，
∴EF=12OE=1，
∴CF=CE−EF=5，
∴BC=10，
∴BE=10−6=4，
故答案为：4．
47．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，点P为AB上的一动点，AC=3，则PD的最小值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了角平分线的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点D作DH⊥AB交AB于点H，根据角平分线的性质，可得DC=DH，在Rt△ADH，∠DHA=90°，∠A=30°，结合30度所对的直角边等于斜边的一半，可知AD=2DH，又AC=AD+CD=3DC，从而得到DH的长度，由DP≥DH，可知PD的最小值为DH，从而求得答案．
【详解】解：过点D作DH⊥AB交AB于点H，如图所示：
∵ BD平分∠ABC，∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
∵ Rt△ADH，∠DHA=90°，∠A=30°，
∴DH=12AD，即AD=2DH，
∴AC=AD+CD=3DC，
∵AC=3，
∴DC=1，
∴DH=1，
∵DP≥DH，
∴当点P与H重合时，DP的最小值为DH，且最小值为1，
故答案为：1．
48．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D在BC上，AC⊥AD,AD=3，则BC的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角的性质．
根据等边对等角得到∠B=∠C=30°，根据30度角的性质得到CD=6，根据等角对等边得到BD=AD=3，进而可求BC的长．
【详解】∵AB=AC,∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=12×180°−120°=30°
∵AC⊥AD,
∴∠DAC=90°
∴CD=2AD=2×3=6，
∵∠BAD=∠BAC−∠DAC=120°−90°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=3，
∴BC=CD+BD=6+3=9．
故选：C．
49．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF=DF，EF=1，则BE长为
【答案】5
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键；
利用含30°角的直角三角形的性质，可得EF=12AF，求得DF=AF=2，利用含30°角的直角三角形的性质，可得DF=12BF，求得BF=4，所以BE=BF+EF=5．
【详解】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEF=∠AEC=90°，
又∠C=60°，
∴∠CBE=90°−∠C=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°−∠C=30°，
∴EF=12AF=1，AF=2，
由题知，DF=AF=2，
又∠BDF=90°，∠DBF=30°，
∴DF=12BF=2，BF=4，
∴BE=BF+EF=5．
故答案为：5．
50．（19-20八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在等边△ABC中，点D、 E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BP=2PQ，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据全等三角形的判定SAS可证得结论；
（2）先根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠CAD．再根据三角形的外角性质求得∠BPQ=60°，则∠PBQ=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△ABE和△CAD中，
AE=CD∠BAC=∠ACBAB=AC，
∴△ABE≌△CAD(SAS)；
（2）解：BP=2PQ．
理由如下：由（1）知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为 △ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．
题型13 多结论问题
51．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，以下结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP；⑤AB=2AO，其中正确个数是 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质求出OB=OC=OP，即可解题；②可求得∠APC+∠DCP=150°，∠OPC+∠OCP=120°，从而推出∠POC=60°，结合OP=OC得证；③在AC上截取AE=PA，先证明△APE是等边三角形，接着证△OPA≌△CPESAS，推出AO=CE，即可解题；④过点C作CH⊥AB于H，先证明CH=CD，结合S△ABC=12AB·CH，S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=12CH·AP+OA可推导出答案；⑤由AB=AC=AO+AP，通过△AHC≌△ADC，可证AO