数学八年级上册（2024）14.3 角的平分线第2课时课后练习题

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A．17°B．20°C．30°D．40°
【答案】A
【详解】解：∵点O到AB的距离与点O到BC的距离相等，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBC=12∠ABC=12×34°=17°，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，∠A=100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD=PE=PF，则∠BPC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】D
【详解】解：∵点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，PD=PE=PF，
∴BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC,∠PCB=12∠ACB，
∵∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−100°=80°，
∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB=40°，
∴∠BPC=180°−∠PBC+∠PCB=140°；
故选D．
3．如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直尺的另一边在∠AOB的内部交于点P，作射线OP，若∠AOB=50°，则∠AOP的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
【答案】D
【详解】解：过点P作PM⊥OA、PN⊥OB，如图所示：
∵两把一样的直尺，
∴PM=PN，
∴由角平分线的判定定理可得OP是∠AOB的角平分线，
∵ ∠AOB=50°，
∴ ∠AOP=12∠AOB=25°，
故选：D．
4．已知在平面直角坐标系中，点Q的坐标为m,n，且有m=n，则点Q在（ ）
A．第一、三象限角平分线上B．第二、四象限角平分线上
C．坐标轴上D．坐标原点
【答案】A
【详解】解：∵点Q的坐标为m,n，且m=n，
∴点Q的横坐标和纵坐标同号，且点Q到x轴和y轴的距离相等，
∴点Q在第一、三象限角平分线上，
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（ ）
A．点O平分ADB．AD平分∠CABC．AD平分∠CDBD．AD⊥BC
【答案】B
【详解】解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，
∴ED=GD，GD=DF，
∴ED=DF，
∴点D在∠CAB平分线上，
∴AD平分∠CAB，
故选：B．
6．下列所作OP平分∠AOB的方案，说法正确的是（ ）
A．只有甲对B．只有乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都不对
【答案】C
【详解】解：由甲的作法可知，点P到∠AOB的距离相等，
∴点P在∠AOB的角平分线上，
即OP平分∠AOB，故甲对；
由乙的作法可知，OE=OF，EP=FP，OP=OP，
△OEP≌△OFPSSS，
∴∠EOP=∠FOP，
∴即OP平分∠AOB，故乙对；
综上，甲、乙都对，
故选：C．
7．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠BOC=3∠A，则∠A= ．
【答案】36°
【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=180°−12∠ABC+∠ACB，
∴3∠A=180°−12180°−∠A，
解得：∠A=36°，
故答案为：36°．
8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，点E是CD上一点，连接BE，当点E到BC的距离等于DE时，∠BCD=26°，则∠DBE = °．
【答案】32
【详解】解：∵CD是AB边上的高线，∠BCD=26°，
∴∠CBD=90°−∠BCD=64°，
如图：过E作EF⊥BC，垂足为F，
∵点E到BC的距离等于DE，
∴DE=EF，
∵CD是AB边上的高线，EF⊥BC，
∴BE是∠CBD的角平分线，即∠DBE=12∠CBD=32°．
故答案为：32．
9.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF．
(1)求证：△DCF≌△DBE；
(2)若∠C=50°，求∠DAE的度数．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△DCF≌Rt△DBEHL；
（2）解：∵∠E=90°，∠C=50°，
∴∠EAC=90°−50°=40°，
∵△DCF≌△DBE，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠EAC，
∴∠DAE=12∠EAC=20°．
10．如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G，且EF=EG．
(1)求证：CE是∠ACD的平分线：
(2)求证：AC=AF+CG．
【详解】（1）过点E作EH⊥AC于点H
∵点E在∠BAC的平分线上，EF⊥AB,EH⊥AC
∴EF=EH，
∵EF=EG，
∴EH=EG．
又∵EG⊥CD,EH⊥AC
∴ CE是∠ACD的平分线．
（2）∵EF⊥AB,EH⊥AC，
∴∠AFE=∠AHE=90°
在Rt△AEF和Rt△AEH中
AE=AEEF=EH
∴Rt△AEF≌Rt△AEHHL，
∴AF=AH
同理可得CH=CG，
∴AF+CG=AH+CH=AC．
11．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°,∠A=40°,BC=DC，点M,N分别为AB,AD边上的点，且∠MCN=70°，则下列结论：①点C在∠A的平分线上；②点A在∠BCD的平分线上；③MN