天津市第十九中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷（有答案和解析）

这是一份天津市第十九中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷（有答案和解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，画图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2. 点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可．
【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，
∴点关于轴对称的点的坐标为．
故选：B．
3. 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A. 17B. 15C. 13D. 13或17
【答案】A
【解析】
【详解】当等腰三角形的腰长为3时，3+3=6＜7，不能构成三角形，
当等腰三角形的腰长为7，底为3时，则周长为：7+7+3=17.
故选：A.
4. 如图，已知，以下条件中，不能推出的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得：，根据全等三角形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：∵
∴，
又∵，
∴，A选项正确，不符合题意；
又∵，
∴，B选项正确，不符合题意；
又∵，
∴，C选项正确，不符合题意；
通过、不能证明，D选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
5. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了外角的性质，解决此题的关键是正确的计算；先根据三角板得到相关角的度数，再利用外角的性质即可得到答案；
【详解】解：由图和题意可知：，
∴，
故选：C．
6. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边上高的交点D. 三条垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形特殊点(重心、内心、垂心、外心)的性质，解题的关键是理解 “游戏公平” 意味着凳子到 A、B、C 三点的距离相等，进而判断哪种特殊点到三角形三个顶点的距离相等．
先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项．
【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心)
重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
B、选项为三条角平分线的交点(内心)
内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
C、选项为三边上高的交点(垂心)
垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
D、选项为三条垂直平分线的交点(外心)
外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，中，，平分，过点D作于E，测得，，则的周长是（ ）

A. 15B. 12C. 9D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由中，，，平分，根据角平分线的性质定理得到，即可求出的周长．
【详解】解：∵在中，，
∴
∵，平分，
∴，
∵，，
∴的周长，
故选B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，此题比较简单，注意角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
8. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案
【详解】解：∵，
∴，
由作图知，平分，
∴，
又
∴
故选：B
9. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
10. 如图，中，，，，垂足为Q，延长MN至G，取，若的周长为12，，则周长是（ ）
A. 8＋2mB. 8＋mC. 6＋2mD. 6＋m
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，判定△PMN是等边三角形，∠QMN=∠G=30°，QN=NC=，得到QM=QG，计算周长即可．
【详解】∵，，
∴△PMN是等边三角形，
∵，
∴QN=PQ=，∠QMN=30°，∠QNM=60°，
∵，
∴∠GQN=∠G=30°，QN=NC=，
∴∠QMN=∠G=30°，
∴QM=QG，
∵的周长为12，，
∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，
∴周长是QM+QG+MN+NG=6+2m，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和三线合一性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三线合一性质是解题的关键．
11. 如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理求出，根据对顶角相等得出，根据三角形内角和定理可得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和定理求出的度数．
12. 如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明△AEC≌△BED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等边三角形，③正确；根据∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形，得到∠CAB＝∠CAD＝30°∠CAE＝∠EAD＝15°得到①②正确；∆ ABC，∆CAD为等腰三角形，顶角都为30°，得到∠ACB＝∠ABC=75°，∠ACD＝∠ADC=75°，得出∠BCD的度数为150°④正确
【详解】解：∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形
∴AE=BE, DE=CE
∵∠AEB＝∠DEC＝90°
∴∠AEC＝∠DEB
∴△AEC≌△BED
∴AC=BD
∵AD＝AC＝AB
∴AD＝BD＝AB
∴②∆ ABD是等边三角形正确
∴∠ABD＝∠BAD＝∠ADB=60°
∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形
∴∠EAB＝∠ABE=45°
∴∠CAB＝30°，∠CAE＝∠EAD＝15°
∴AE为∠CAD的角平分线
∵∆ ABD为等腰三角形
∴①AE垂直平分CD正确
∴∠CAD＝30°
∴②AC平分∠BAD正确
∵∆ ABC为等腰三角形，顶角∠BAC＝30°
∴∠ACB＝∠ABC=75°
同理∠ACD＝∠ADC=75°
∴④∠BCD的度数为150°正确.
故选D
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
13. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使，再过点D画出的垂线，使E与C、A在一条直线上，若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段______即可．

【答案】##
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】解：利用，即两角及这两角夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明，
故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握利用ASA证明三角形全等是解题的关键．
14. 如图，中，，，是边上的高，则的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是要明确等腰三角形的性质．
根据，判断出，然后根据三角形的内角和定理，求出的度数；最后用减去的度数，求出的度数是多少即可．
【详解】解：，
，
，
是边上的高，
，
．
故答案为：．
15. 如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若，，则的周长是___________．
【答案】15
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，全等三角形对应边相等，是解题的关键．通过证明得出，即可解答．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：15．
16. 如图，在中，，，是边上的高，若，则的长度为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
先根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，根据所对的直角边等于斜边的一半可得；同理可得，最后根据即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为6．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有_____个．
【答案】6
【解析】
【分析】当AB=AP，AB=BP，AP=BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【详解】（1）分别以点A、B为圆心，AB为半径画⊙A和⊙B，两圆和两坐标轴交点为所求的P点（与点A、B重合的除外）；
（2）作线段AB的垂直平分线与两坐标轴的交点为所求的P点（和（1）中重复的只算一次）．
如下图，符合条件点P共有6个．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．
三、画图题：本题共1小题，共3分．
18. 在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1）
（2）是格点三角形．
①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形．
【答案】（1）6 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用割补法求解面积即可．
（2）①根据三角形全等的判定，②画出图形即可．利用旋转和对称画出图形即可．
【小问1详解】
解：如图1中，，
故答案为：6．
【小问2详解】
①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作出关于轴的对称图形；
（2）在轴上找一点，连接、，使得周长最小．（保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析； （2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题和一次函数的应用，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，即为所求；
连接交轴于点，连接，根据两点之间线段最短可知，此时最短，所以的周长最小．
【小问1详解】
解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、，
连接点、、，得到，
即为所求；
【小问2详解】
解：如下图所示，连接交轴于点，连接，
此时的周长最小，
理由如下：
点、关于轴对称，
轴是的垂直平分线，
，
，
根据两点之间线段最短，可知当点、、在同一条直线上时，最短．
20. 已知：如图，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据全等的性质得出，进而利用证明即可．
【详解】证明：，，
，
，
在与中，
，
．
【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题的关键是利用证明解答．
21. “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由，得出为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得，再次利用外角的性质及等量代换得，即可证明．
【详解】解：，
为等腰三角形，
，
由外角的性质得：，
，
再由外角的性质得：，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．
22. 如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论．
【详解】证明： D是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，，
平分．
23. 阅读下列材料，并完成任务．
如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=AD，BC=CD.对角线AC，BD相交于点O，过点O作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分别为M，N.求证:四边形AMON是筝形.

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据题意证明ΔABC≌ΔADC得出∠BAC=∠DAC，进而得出90°-∠BAC=90°-∠DAC，求出∠AOM=∠AON，结合AM⊥OM，AN⊥ON，即可得出答案.
【详解】证明:在△ABC和△ADC中
∴ΔABC≌ΔADC
∴∠BAC=∠DAC
又∵OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分别为M，N
∴OM=ON；∠AMO=∠ANO=90°
∴90°-∠BAC=90°-∠DAC
∴∠AOM=∠AON，即OA平分∠MON
又∵AM⊥OM，AN⊥ON
∴AM=AN
∴四边形AMON是筝形
【点睛】本题考查的是新定义，认真审题、理清题目意思是解决本题的关键.
24. 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．
（1）当时，试判断的形状，并说明理由；
（2）探究：当为多少度时，是等腰三角形？
【答案】（1）是直角三角形，理由见解析
（2）、、
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
（1）先证明，，，再证明即可证明，利用全等三角形的性质与等边三角形的性质证明，从而可得答案；
（2）先表示，，
，，再分三种情况讨论：①当，②当，③当，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
证明：∵和等边三角形，
∴，
，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
解：∵，，
，，
①当，∴，
∴，
∴；
②当，∴，
∴，
∴；
③当，∴，
∴，
∴．
所以，当α为、、时，是等腰三角形．
25. 如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
（1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）试求何时是直角三角形？
（3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）不变，
（2）或
（3）不变，．
【解析】
【分析】（）根据是等边三角形得，，由题意得，从而证明，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数；
（）设时间为，则，，分别就当时；当时，利用直角三角形的性质定理求得的值；
（）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数；
本题考查了等边三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键．
【小问1详解】
不变，理由：
∵是等边三角形，
∴，，
由题意得：，
在和中，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
设时间为，则，，
当时，
∵，
∴，
∴，得，解得：；
当时，
∵，
∴ ，
∴，得，解得：,
当第或秒或第一秒时，为直角三角形；
【小问3详解】
不变，理由：
∵是等边三角形，
∴，，
∴ ，
由题意得，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴ ．筝形的定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图形的判定方法.也就是说，如图，若四边形ABCD是一个筝形，则AB=AD，BC=CD；若AB=AD，BC=CD，则四边形ABCD是筝形.