天津市和平区双菱中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷（有答案和解析）

这是一份天津市和平区双菱中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷（有答案和解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在美术字中，有些汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答．
【详解】A、C、D选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形；
B选项，沿着如图所示的虚线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形．
故选：B．
2. 如图，木工师傅做门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不易变形，这种做法的依据是（ ）
A. 三角形稳定性B. 长方形是轴对称图形
C. 两点之间线段最短D. 两点确定一条直线
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：用木条EF固定矩形门框ABCD，得到三角形形状，主要利用了三角形的稳定性．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构．
3. 在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题已知条件一边和一角，可以添加一边，利用可证三角形全等，一角或，利用证明全等．
【详解】A．，，根据可判定，故A可以判定，不符合题意．
B．已知，可证，再加上，根据可判定，故B可以判定，不符合题意．
C．，，无法根据判定，故C不可以判定，符合题意．
D．， ，根据可判定，故D可以判定，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，主要有、、、、，要特别注意是不能作为判定全等三角形全等的定理．
4. 如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
详解】解：作于H，如图，
∵的平分线交于点，，，
∴，
∵Q为上一动点，
∴的最小值为的长，即的最小值为2．
故选：B．
5. 如图，中，与的平分线交于点，过点作，分别交，于点，，若，，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，先根据角平分线的定义和平行线判断出、，也就得到三角形的周长就等于与的长度之和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵分别是与的平分线，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长，
又∵，，
∴的周长，
故选：．
6. 如图，在一张长方形纸板上找一点P，使点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法错误的有（ ）个．
（1） （2）（3）（4）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质得到点P为的平分线与的垂直平分线的交点，然后对各选项进行判断．
【详解】解：∵点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等，
∴点P为的平分线与的垂直平分线的交点．
∴没有符合题意的作图，
故选：D．
7. 在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．
解：∵∠A=65°，∠B=75°，
∴∠C=180°﹣（65°+75°）=40°，
∴∠CDE+∠CED=180°﹣∠C=140°，
∴∠2=360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°﹣300°=60°．
故选B．
点评：本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．
8. 如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解．
【详解】解：∵在三角形中，是中线，
∴，
∴．
∵于E，于F，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9. 为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最短路径问题（利用轴对称求线段和最小），解题的关键是掌握“两点之间，线段最短”及轴对称的性质．
根据最短路径问题的求解方法，利用轴对称将其中一点对称到直线另一侧，再连接两点与直线的交点即为所求，据此分析各选项．
【详解】要使读书亭到、两小区的距离之和最小，根据“轴对称＋两点之间线段最短”的原理：
选项D中，作出点关于直线的对称点，则，
此时．
因为、、三点共线，根据“两点之间，线段最短”，
此时最小，即最小．
而其他选项的作图方法均不符合最短路径的求解，
故选：D．
10. 如图所示，在中，，，于点E，于点D，，，则长是（ ）
A. 7B. 8C. 15D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，根据条件证明，再利用全等三角形的性质算出的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故选B．
11. 如图，的外角的平分线 与内角的平分线交于点E，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过点E作交延长线于点F，于点M，交延长线于点N，设，根据角平分线的性质定理，可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作交延长线于点F，于点M，交延长线于点N，
设，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
12. 如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交于点．过点作交的延长线于点H，交BC的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ②③④B. ①②③④C. ①②③D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
②证明得出，，即可判断②；
③再利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解；
④根据，，由三角形三条高所在直线交于一点可知可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，根据直角三角形斜边大于直角边，，从而得出④错误．
【详解】解：①∵的角平分线和的外角平分线相交于点，
在中
，故①正确；
，
，
为的角平分线，
，
在和中
，
，；故②正确；
③，即：，，
则由三角形三条高所在直线交于一点可知，
，，
，
，
，
，
与都是等腰直角三角形，
，，
，
，
不成立，故③错误，
④，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述①②④正确．
故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（共6小题）
13. 在平面直角坐标系中，点 关于轴对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点 关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
14. 两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形．如果第三根木棒长为偶数，则第三根木棒长为___________．
【答案】##4厘米
【解析】
【分析】设第三根木棒长度为 ，根据三角形的三边关系可得，可得到的取值范围，即可求解．
【详解】解：设第三根木棒长度为 ，根据题意得：
，即，
∵第三根木棒的长为偶数，
∴，
即第三根木棒长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
15. 如图，在中，是边的垂直平分线． 若，，则的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键，根据垂直平分线的性质，可知，进而可求出的周长．
【详解】解：∵DE是BC边的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
16. 在如图所示的3×3正方形网格中， __________度．
【答案】
【解析】
【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解．
【详解】解：如图，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
根据网格的特点可知，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键．
17. 如图，是三边都不相等的三角形，点P是内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点．点P，O同时在三角形的内部时：
（1）若，则________；
（2）若，则________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质，是解题的关键．
（1），根据推出，代入数据求出结果即可；
（2）连接，根据得到，根据，再根据，得出答案即可．
【详解】解：（1）由题意得：
，
故答案为：；
（2）连接，如图所示，
由题意得：，
，
，
，
由（1）知，，
则，
∴．
故答案为：．
18. 如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是____．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
根据等腰直角三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；利用证出，由此即可判断②正确；根据，结合，得到，推出是等腰三角形，再根据，即可得到，即可判断③正确；由，即可判断④错误．
【详解】解：，，
是等腰直角三角形，
，结论①正确；
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，结论②正确；
平分，
，
是等腰三角形，
，
，结论③正确；
，
，结论④错误；
综上，结论正确的是①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题（共6小题）
19. 如图，直线交的边、于，交延长线于，若，，，，垂足为G，求的度数．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识．根据三角形内角和定理可求出中的值，利用直角三角形的性质求得的值，再结合三角形外角的定义和性质，由，求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴在中，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20. 如图，点E在上，与交于点F，，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角的和差，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
根据角的和差得出，根据三角形的内角和定理得出，然后利用证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵，
∴，
和中，，，
根据三角形内角和为，可得，
在和中，
，
∴．
21. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接．
【探究发现】
（1）图中与的数量关系是 ，位置关系是 ．
【初步应用】
（2）若，，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）的取值范围为．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、平行线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质．
（1）根据题意可证≌，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）由（1）可知，≌，得，，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】（1）是边上的中线，
，
又， ，
在和中，
，
≌，
，，
，
故答案为：，；
（2）由（1）可知≌，
，，
在中，，
，
即，
，
的取值范围为．
22. 如图，在等边中，，、相交于点．
（1）求证；
（2）过点作，垂足为．若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）7
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质可得，，由可得出，最后利用全等三角形判定定理即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的外角的性质得出，利用含角直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系即可求出的长．
【小问1详解】
证明：等边，
，，
，
，即，
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：由（1）得，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为7．
23. 在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点．
（1）如图，当时，______（度），______（度）；
（2）如图，若，证明：；
（3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）证明见解析； （3）的形状可以是等腰三角形，的度数为为或．
【解析】
【分析】（）根据三角形内角和定理得到，然后利用，，即可得解；
（）首先推导出进一步推导出，利用外角的性质得到，利用证明即可；
（）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论；
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∵，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问3详解】
解：的形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下:
∵，，
∴，
分三种情况讨论：
当时，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴点与点重合，不合题意；
当时，，
∴，
∵，
∴，
综上所述，的形状可以是等腰三角形，的度数为为或．
24. （1）问题背景：

如图1：在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以46海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为，请直接写出此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）此时两舰艇之间的距离为232海里
【解析】
【分析】（1）证，得，再证，得，即可得出结论；
（2）延长至G，使，证，得，再证，得，即可得出结论；
（3）连接，延长相交于点C，由题意可知，①，再证②，然后证③，利用（2）结论求解即可．
【详解】解：（1）结论：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，连接，延长相交于点C．

由题意可知，①，
∵，
∴②，
又∵③，
∴由①②③可知，符合（2）中的条件，
∴结论成立，
∴（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离为232海里．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、方向角以及学生建模能力等知识，本题综合性强，利用问题背景提供的方法解决新问题是解题的关键，属于中考常考题型．