北京市第三十五中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份北京市第三十五中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．圆B．平行四边形C．直角三角形D．等边三角形
2．抛物线的顶点坐标是( )
A．B．C．D．
3．以下事件为随机事件的是（ ）
A．通常情况下加热到时，水沸腾
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．平面内任意画一个三角形，其内角和是
D．半径为4的圆的周长是
4．由抛物线平移而得到抛物线，下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
5．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，是正方形的外接圆，若的半径为2，则正方形的边长为（ ）
A．1B．2C．D．4
7．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（ ）
A．8minB．13minC．20minD．25min
8．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．下列四个结论中：
①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值；
②若时，随的增大而减小，则必有；
③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或；
④若方程有一根为，且，则必有．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①②④
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是 ．
10．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是 ．
11．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a 的值为
12．如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为 ．
13．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为 °．
14．圆心角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径画圆，将绕点逆时针旋转得到，使得与轴相切，则的度数是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为 .
三、解答题
17．解方程：．
18．已知：如图，A为上的一点．
求作：过点A且与相切的一条直线．
作法：①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴（ ）（填推理的依据）．
∵OA是的半径，
∴直线PA与相切（ ）（填推理的依据）．
19．已知二次函数，它的图象过点，并且与x轴负半轴交于点B．
（1）求二次函数的解析式和点B坐标；
（2）当时，结合函数图象，直接写出函数值y的取值范围；
（3）若直线经过A，B两点，直接写出关于x的不等式的解集．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根之差为3，求m的值．
21．如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
22．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证:∠BCO＝∠D；
（2）若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
23．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
24．如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，求的长．
25．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．
（1）①请直接写出水流的最高处的坐标_________；
②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围．
26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若对于，，有，直接写出t的值为________；
（2）若对于，，都有，求t的取值范围．
27．在中，，．点是边=上一动点（不与点重合），连接，作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．
（1）依题意补全图形，求证：；
（2）对于任意的点，点的位置是否改变，若不变，请指出点的位置，并证明；若改变，请说明理由．
28．在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．

（1）如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；
（2）如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．
答案
1．【正确答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．直角三角形既不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，不符合题意；
D．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选A．
2．【正确答案】B
【分析】根据抛物线的顶点式解析式直接得出顶点坐标.
【详解】∵抛物线的解析式为，
∴其顶点坐标为.
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件的定义（可能发生也可能不发生的事件），逐一判断各选项的事件类型．
【详解】A. 通常加热到时水沸腾，是必然事件；
B. 篮球队员在罚球线上投篮未投中，是随机事件；
C. 三角形内角和，是不可能事件；
D. 半径为4的圆的周长应为，不是，是不可能事件．
故选B．
4．【正确答案】D
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行判断即可．
【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即可得到：；
故选D．
5．【正确答案】A
【分析】由题意2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，从而可得x满足的方程．
【详解】解：由题意可得：
2019年用水总量为亿立方米，
2020年用水总量为亿立方米，
所以．
故选A．
6．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，先确定，再结合正方形的性质根据勾股定理求出解即可．
【详解】连接，
根据正方形和圆的对称性可知过圆心，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
根据勾股定理，得，
解得．
故选C．
7．【正确答案】B
【分析】先利用条件求出解析式，再变式求出最值即可解答.
【详解】解：已知满足函数关系s＝at2＋bt＋c（a≠0），
根据图象可知经过（0,43），（20,55），（30,31），
将已知点代入解析式得s＝－0.1＋2.6t＋43,
根据函数性质得t＝－＝13时，s最大，
故选B.
8．【正确答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，包括最值、单调性、不等式解集及根的范围，灵活运用反例或结合性质找到，的范围，从而判断选项是否错误是解题关键．
结合条件，利用二次函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：①：若经过点，则有，
又∵，
∴有，
解得，
，故函数必有最大值，①正确；
②：可取反例，当时，，，
则此时当时，随的增大而减小，
∴②错误；
③：若经过点，则有，
∵，
∴有，
解得，
，
令，
解得或，
，结合图象可知，
∴不等式的解集为或，
∴③选项正确；
④：由，即，
∴可知二次函数经过定点，
方程的其中一根为，
∵，
∴，，
∴，，
解得，，
∴④错误，
综上所述，①③正确，
故选A．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点关于原点过对称的点的坐标是．
10．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.
【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．
11．【正确答案】/0.25．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a的等式，求出a的值．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
12．【正确答案】/70度
【分析】本题考查了圆周角的性质的应用，熟练掌握三角形外角的性质应用是解答本题的关键．根据外角性质及圆周角定理，由同弧所对圆周角相等即可求出．
【详解】解：，，
.
13．【正确答案】50
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD．
【详解】解：连接OC、OD，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，OD⊥DP，
∵OP=OP，OC=OD，
∴△POC≌△POD(HL)，
∴∠CPO=∠DPO，
∵∠CPA=40°，
∴∠CPD=80°，
∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，
∵∠CAD=∠COD=50°.
14．【正确答案】12π
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】∵
=12π.
15．【正确答案】或
【分析】分析可知：A在以O为圆心，为半径的圆上运动，分情况讨论，当A转到时，，作轴与点B，利用勾股定理可知，进一步可求出旋转角度为；当A转到时，，作轴与点C，利用勾股定理可知，进一步可求出旋转角度为．
【详解】解：∵，将绕点逆时针旋转得到
∴A在以O为圆心，为半径的圆上运动，
当A转到时，，作轴于点B，
∵半径为1，与轴相切，
∴，
由勾股定理可得：，
∴为等腰直角三角形，
∴，，即旋转角度为；
当A转到时，，作轴于点C，
∵半径为1，与轴相切，
∴，
由勾股定理可得：，
∴为等腰直角三角形，
∴，，即旋转角度为.
16．【正确答案】
【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点轨迹为以中点为圆心，长为直径的圆，求得圆心到直线的距离，即可求得答案．
【详解】∵，
∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆，
∵，，
∴点M的坐标为：，半径为1，
过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：
此时取得最小值，
∵直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴最小值为.
17．【正确答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程是解题的关键．
直接运用公式法求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴．
18．【正确答案】（1）见详解；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理
【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；
（2）证明：连接BA，
由作法可知，
∴点A在以OP为直径的圆上，
∴（直径所对的圆周角是直角），
∵OA是的半径，
∴直线PA与相切（切线的判定定理），
故直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．
19．【正确答案】（1）；
（2）
（3）或
【分析】（1）把代入，从而可得答案；
（2）先画函数的简易图象，由图象可得函数的最大值为，再结合与时的函数值可得答案；
（3）先画出直线，再根据二次函数的图象在直线的下方可得不等式的解集．
【详解】（1）解：∵二次函数，它的图象过点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
当时，，
解得：，
∴；
（2）解：如图，画函数图象如下：
∵，且，
∴当时，函数最大值为，
当时，函数值，当时，函数值，
∴当时，的取值范围为：．
（3）解：如图，直线为，，
∴的解集为：或．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）1或
【分析】（1）利用根的判别式得，进而可求证结论．
（2）由题意：，两边平方得：，进而可得：，将一元二次方程根与系数的关系 ， 代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
该方程总有两个实数根．
（2）由题意得： ， ，，
则：，即：，即：，
，即：，
解得：或．
21．【正确答案】（1）详见详解
（2）
【分析】本题考查了等边三角形判定与的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，可得出，然后根据证明即可；
（2）证明是等边三角形，得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据角的和差求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
由旋转得，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数是．
22．【正确答案】（1）见详解；
（2）⊙O的半径为 cm
【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；
（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得直径与半径．
【详解】（1）证明：∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=×6=3，
∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEA，
∴△BCE∽△DAE，
∴AE：CE=DE：BE，
∴AE：3=3：8，
解得：AE=，
∴AB=AE+BE==，
∴⊙O的半径为(cm)．
23．【正确答案】不公平，理由见详解．
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：
表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．
∴
∵
∴这个游戏不公平．
24．【正确答案】（1）见详解；
（2）；
【分析】（1）根据等边对等角可得，则可证明，然后根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得出，在中，根据勾股定理可求出 ，然后根据等面积法求出，最后在中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图；连接，则
于点
是的半径，且
∴是的切线
（2）解：如图，连接；
∵是的直径，，的半径为5，
∴
∴在中，根据勾股定理得
∴在中，
∴的长是．
25．【正确答案】（1）①；②
（2）
【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
（1）根据题意得：点的横坐标为1，纵坐标为，即可求解；
②依据题意，设抛物线的解析式为，由点坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）设抛物线的解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，求出的取值范围，进而求出的取值范围即可．
【详解】（1）①，，
∴点的横坐标为1，纵坐标为，
故点坐标为．
②由题意，点坐标为，点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式为．
（2）∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变，
∴可设抛物线的解析式为，
∵水流最大竖直高度大于，
，
当时，，解得，
（负值舍去），
∵水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，
，
，
，
．
当时，，
．
，
，
26．【正确答案】（1）
（2）或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．
（1）根据二次函数对称性求解即可；
（2）把点，代入后根据计算即可．
【详解】（1）∵，
∴点，关于直线对称，
∴，
∵，，
∴.
（2）代数法1：
解：∵对称轴为
∴
∴抛物线解析式为
∵点，在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵，，
∴，
∴或 ，
解得：或，
代数法2：
解：设抛物线解析式为，
∵点，在抛物线上，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵，
∴或．
数形结合法：
①当时，，位于对称轴两侧，
关于的对称点为，
∵时，y随x增大而增大，且都有，
∴恒成立，
∴恒成立，
∵，，
∴，
∴，
∴，
②当时，
∵，
∴当时，必有，
不合题意，舍去．
③当时，，都位于对称轴右侧，
∵时，y随x增大而增大，且都有，
∴恒成立，
∵，，
∴，
∴，
综上所述：或．
27．【正确答案】（1）补见详解，见详解
（2）点的位置不改变，点是的中点同，理由见详解
【分析】（1）依照题意画出图形，由证明，利用全等三角形的性质求解；
（2）设直线与的交点为，过点作，交的延长线于，
利用旋转和（1）的来得到，结合平行线的性质易得，然后根据全等三角形的性质求解．
【详解】（1）解：画图如下
∵将线段绕点逆时针旋转至线段，
，
．
在和中
，
．
，
．
（2）解：点的位置不改变，点是的中点．
理由如下：如下图，设直线与的交点为，过点作，交的延长线于，
．
，
．
，
，
，
，
，
,
，
．
，
．
在和中
，
，
∴点是的中点．
【点晴】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解答关键．
28．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据旋平点的定义，找到点，即可；
（2）由点Q在x轴上，当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值，由长求出弦心距长，在求出长，分两种情况求出点坐标即可．
【详解】（1）解：设，，且，
∵点、在线段上，且，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵点与点关于点对称，
∴，，
∴，
∴的取值范围为：；
（2）
解：∵点Q在x轴上，
∴当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值，
如图，作弦心距，
，
半径3，
，
，
，
当点P在x轴负半轴时，，
，
，
；
当点P在x轴正半轴时，
，
，
，
，
．第二次
第一次
3
4
5
6
3
33
34
35
36
4
43
44
45
46
5
53
54
55
56
6
63
64
65
66