章节综合训练二《方程（组）与不等式（组）》-【+答案】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

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姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．ax＞ayB．3x＜3yC．﹣2x＜﹣2yD．a2x＞a2y
【答案】C
【详解】试题分析：A、当a＞0时，ax＞ay，此选项没有标明a的取值范围，故此选项错误；
B、两边同时乘以3可得3x＞3y，故此选项错误；
C、两边同时乘以-2可得-2x＜-2y，故此选项正确；
D、当a≠0时，a2x＞a2y，故此选项错误；
故选C．
考点：不等式的性质．
2．对方程7（3﹣x）﹣5（x﹣3）=8去括号正确的是（ ）
A．21﹣x﹣5x+15=8B．21﹣7x﹣5x﹣15=8
C．21﹣7x﹣5x+15=8D．21﹣x﹣5x﹣15=8
【答案】C
【分析】根据去括号的计算法则进行计算并作出正确的选择．
【详解】由原方程去括号，得
21−7x−5x+15=8.
故选:C.
【点睛】考查解一元一次方程，熟练掌握去括号法则是解题的关键，是易错点.
3．新型冠状病毒肺炎在全球蔓延，口罩成了人们生活中的必备物资，某口罩厂现安排A、B两组工人共150人加工口罩，A组工人每人每小时可加工口罩70个，B组工人每人每小时可加工口罩50个，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9300个，试问：A、B两组工人各多少人？设A组工人有x人，B组工人有y人，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据A组人数B组人数150人，A组每小时加工口罩数B组每小时加工口罩数9300，列出方程组即可．
【详解】根据题意，得
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，根据等量关系列出方程是解题的关键．
4．若关于x的方程有增根，则a的值是（ ）．
A．3B．—3C．9D．—9
【答案】A
【分析】原方程两边同乘以(x−3)，化成整式方程，根据有增根，将增根代入化简后的整式方程，即可求出a的值．
【详解】解：原方程两边同乘以(x−3)得
2(x−3)+a=x，
∵方程有增根，
∴增根为x=3，
将x=3代入得，a=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据增根为使得分母为0的x的值，可以求出方程中的参数，掌握这一方法是解决此类题的关键．
5．如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（ ）
A．B．2023C．D．2024
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键．
由题意知，，则，根据，然后代入计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是，
∴，则，
∴．
故选：D．
6．港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x千米/小时，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．
【详解】解：设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，依题意得：
故选D．
【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1；
∴，
又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项不符合题意；
C. 中，，，故该选项符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；
故选：C．
8．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有实数根的所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．3B．5C．9D．10
【答案】A
【分析】先解不等式①②，根据不等式组有且只有4个整数解，求得的取值范围，根据一元二次方程有实数根以及一元二次方程的定义，求得的范围，再写出所有正数解，进而求和即可
【详解】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有且只有4个整数解，
，
解得，
x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
且，
解得且，
且，符合条件的所有正数为：，其和为：3．
故选A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集，一元二次方程的定义，根的判别式，根据不等式组求得的范围是解题的关键．
9．若不等式组的解 为，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
若不等式组解为，
，且，
解得：，，
，
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于和的方程，题目比较好，综合性比较强．
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x＋n＝0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）
A．②B．①③C．②③④D．②④
【答案】D
【分析】①先用十字相乘法解一元二次方程，然后再验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，再利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可确定两根之间的关系．
【详解】解：①x2＋2x﹣8＝（x＋4）（x－2）＝0，∴x1＝－4，x2＝2，x1＝－2x2，不是倍根方程，错误；
②由题意得：2x12＝2，∴x1＝±1，∴x1＝1，x2＝2，x1＝－1，x2＝－2，则a＝x1＋x2＝±3，正确；
③ ∵x1＝3，x2＝，当x1＝2x2时，3m＝2n，当x2＝2x1时，n＝6m，错误；
④由题意得：n＝，∴mx2－3x＋＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， 整理得：2x12－5x1x2＋2x22＝0，∴（x1－2x2）（2x1－x2）＝0，∴x1＝2x2， 或x2＝2x1，正确；
综上，正确的是 ②④．
故答案为D．
【点睛】本题考查了运用十字相乘法解一元二次方程、根与系数的关系、反比例函数的性质以及“倍根方程”的概念，理解“倍根方程”的概念是解答本题的关键．
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．某次知识竞赛共有15道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要不低于90分，设她答对了道题，则根据题意可列不等式为 ．
【答案】10x−5（15−x）≥90
【分析】设她答对了x道题，则答错或不答的有（15−x）道，由题意得不等关系：答对题数×10−答错×5≥90，然后列出不等式即可．
【详解】解：设她答对了x道题，则答错或不答的有（15−x）道，
由题意得：10x−5（15−x）≥90，
故答案为：10x−5（15−x）≥90．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
12．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程为 ．
【答案】
【分析】将原方程可变为，因为设，进而得到，再化成整式方程即可．本题考查换元法解分式方程，理解“换元”的意义是正确解答的关键．
【详解】解：依题意，，
∴，
设，
则原方程可变为，
两边都乘以得，．
故答案为：．
13．在一块长35米，宽26米的矩形绿地上有宽度相同的两条小路，如图所示，其中绿地的面积为，若设小路的宽为，则可列出方程为 .
【答案】35×26-35x-26x+x2=850．
【分析】本题可先用x表示矩形的面积和小路的面积，用矩形的面积减去小路的面积即为绿地的面积，这样就可以得到方程.
【详解】解：矩形面积=35×26，
小路面积为=35x+26x-x2，
则绿地面积=35×26-35x-26x+x2=850．
故答案为：35×26-35x-26x+x2=850．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要结合图形和题意进行分析．解题要注意两条小路中有重复的地方，在计算时要加上多减去的部分．
14．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】设x﹣1＝m，y+1＝n，方程组变形后求出解得到m与n的值，进而求出x与y的值即可；
【详解】解：设x﹣1＝m，y+1＝n，则方程组可化为，
∵关于x，y的方程组的解为
∴解得：，
即，
所以，
故答案为：.
【点睛】此题考查了解解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
15．甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校千米的地，再下坡到距学校千米的地，甲、乙两人行驶的路程千米与时间小时之间的函数关系如图所示，若甲、乙两人同时从地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则在返回途中二人相遇时离地的距离是 千米．
【答案】5
【分析】先求出甲的速度和乙上坡和下坡的速度，返回上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设小时乙追上甲，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：乙上坡的速度是：（千米小时），下坡的速度是：（千米小时）．
甲的速度是：（千米小时），
∵A地距离学校6千米，B地距离学校16千米，
∴AB两地距离10千米，
返回时，上坡，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设小时乙追上甲．
则有：，
小时，
此时离地距离千米．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据图像解决行程问题，能够根据图像获取需要的数据，根据题意列出方程求解是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．（1）分解因式：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）分式方程的解为
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可；
（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行运算即可得到答案．
【详解】解：（1）；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验是原分式方程的解，
是分式方程的解．
【点睛】本题考查了应用提公因式和平方差公式进行因式分解，解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，是解题的关键．
17．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】3＜x≤4，数轴见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x≤4，
则不等式组的解集为3＜x≤4，
在数轴表示如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2021年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩．
(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率：
(2)市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
【答案】(1)
(2)售价应降价3元．
【分析】本题主要考查一元二次方程与销售的实际应用.解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系的量列出方程，然后求解方程得到符合题意的解即可.
（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程，然后求解方程即可；
（2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据题意列出关于y的一元二次方程，然后求解方程即可.
【详解】（1）解：设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
∵尽快减少库存，
∴，
答：售价应降价3元．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【答案】(1)每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元
(2)1800元
【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
（2）根据当时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
【详解】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，由题意得：
解得：
每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元．
（2）
．
当时，w最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键．
20．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)请用上述方法解方程：．
(2)已知实数满足，求的值．
【答案】(1)，，，；
(2)
【分析】本题考查换元法解一元二次方程：
（1）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用直接开平方法解方程即可；
（2）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设，
则原方程化为：，
解得：，，
当时，，
，
当时，，
，
原方程的解为：，，，；
（2）解：设，
则原方程化为：，
解得：，
，
，
．
21．（1）小明爸爸上周买进某种股票1000股，每股27.3元，下表为本周每天该股票的涨跌情况：
①星期三收盘时，每股是多少元？
②本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
③若小明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？
（2）国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：
①稿费不高于800元的不纳税：
②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税；
③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税；
若王老师获得稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少钱？
【答案】（1）①28.3；②本周内最高价是每股29.8元，最低价是每股25.8元；③周五的收盘价时卖出，不会获利，会亏本；（2）王老师的稿费是3800元．
【分析】（1）①根据每天的涨跌情况，计算出周三的结果即可；②计算出每一天的每股的价格，进行比较得出答案；③计算出周五收盘时，每股的单价，即可得到是否获利．
（2）根据纳税标准要求，估算出稿费的范围，进而用方程求解即可．
【详解】解：（1）①27.3+1+1.5﹣1.5＝28.3元，
答：星期三收盘时，每股是28.3元，
故答案为：28.3；
②27.3+1+1.5＝29. 8元，27.3+1+1.5﹣1.5﹣2.5＝25.8元，
答：本周内最高价是每股29.8元，最低价是每股25.8元，
故答案为：最高29.8,最低25.8；
③27.3+1+1.5﹣1.5﹣2.5+0.5＝26.3元，
∵26.3＜27.3，
∴周五的收盘价时卖出，不会获利，会亏本，
故答案为：不会；
（2）∵（4000﹣800）×14%＝448元＞420元，
∴王老师获得稿费少于4000元，
设稿费为x元，由题意得，（x﹣800）×14%＝420，
解得：x＝3800，
答：王老师的稿费是3800元，
故答案为：3800．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加减运算应用，一元一次方程的实际应用，明确正数和负数在题目中的实际意义是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
(2)若对于，2．3，…，2020，2021时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，…，和，和，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）设方程两根为α，β，由一元二次方程根与系数的关系求得α＋β＝2，α•β＝−a2−a，可得（α−2）（β−2）＜0；
（2）由（1）中根与系数的关系将整理为，然后将a＝1，2，3，…，2020，2021代入求解．
【详解】（1）证明：设方程的两根是，，则，，
∴
∵，
∴，
即这个方程的一根大于2，一根小于2．
（2）解：∵，
∵对于，2，3，…，2020，2021时，相应得到的一元=次方程的两根分别为和，和，和，…，和，和，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
23．如图，在中，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．

求：
(1)几秒后，的面积等于?
(2)的面积能否等于?说明理由．
(3)若的面积为y，运动时间为t，请写出y与t的函数解析式及t的取值范围．
【答案】(1)1秒后，的面积等于
(2)不能，理由见解析
(3)
【分析】（1）依题意得：，即得，求得其解进而解答即可；
（2）令，根据一元二次方程根的判别式解答即可．
（3）根据三角形面积公式可得：据此列式解答，再由得出的范围；
【详解】（1）．
当运动时间为时，．
依题意得：．
，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：1秒后，的面积等于．
（2）不能，理由如下：
依题意得：．
整理得：．
．
该方程没有实数根，
的面积不能等于．
（3），
其中且，解得，
所以．
．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，三角形的面积公式的运用，解答时根据三角形的面积建立方程是关键．
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+1
+1.5
﹣1.5
﹣2.5
+0.5