第二模块方程（组）与不等式（组）2026年（中考数学）一轮复习考点专练（河北） [有答案]

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基础练
1．[2025沧州部分学校一模]已知x+2y=5,2x+y=4是关于x，y的二元一次方程组，则5(x+y)=（ ）
A．15B．12C．9D．3
2．[2024石家庄裕华质检]如图，已知相同物体的质量相等，图①中的天平保持平衡状态，则图②中的天平（ ）
A．能平衡B．不能平衡，右边比左边低
C．不能平衡，左边比右边低D．无法确定
3．数学文化[2025江苏连云港] 《九章算术》中有一个问题:“今有凫起南海,七日至北海；雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢？”（凫:野鸭.所提问题即野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞,经过多少天能够相遇?）如果设经过x天能够相遇,根据题意,得（ ）
A．17x+19x=1B．17x−19x=1
C．7x+9x=1D．9x−7x=1
4．[2025邢台一模]草船借箭是一个流传很广的故事.按照这个故事所说的,我们假定诸葛亮一共派出大、小草船共20艘,回来清点发现小船平均每艘上借的箭有4 800支,大船平均每艘上借的箭有6 200支,已知一共借箭112 800支,设派出大船x艘,则下列说法正确的是（ ）
A．依题意得4800x+6200(20−x)=112800
B．依题意得4800(20−x)+6200x=112800
C．派出大船8艘
D．派出小船14艘
5．数学文化 [2025山东] 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是:有3个头6只手的哪吒若干,有1个头8只手的夜叉若干,两方交战,共有36个头,108只手.问哪吒、夜叉各有多少?设哪吒有x个,夜叉有y个,则根据条件可列方程组为（ ）
A．x+3y=368x+6y=108B．x+3y=366x+8y=108
C．3x+y=368x+6y=108D．3x+y=366x+8y=108
6．[2025石家庄新华质检]某份资料计划印制1 000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机每小时印制150份，B印刷机每小时印制200份．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．只有甲列的方程组正确B．只有乙列的方程组正确
C．甲和乙列的方程组都正确D．甲和乙列的方程组都不正确
7．[2025石家庄裕华质检]如图,在一个圆形转盘上,标有五个有理数.
（1） 求竖列三个数的和.
（2） 若横排三个数的和与竖列三个数的和相等.
① 求a的值；
② 求a,5,−1,−3这四个数的平均数.
8．[2024石家庄正定模拟]对于任意实数a、b，定义关于“⊗ ”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10．
（1） 求4⊗(−3)的值；
（2） 若x⊗(−y)=2，且2y⊗x=−1，求x+y的值．
提升练
9．[2024唐山一模]一个条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队……还需要几天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图，设两队合作还需x天完成任务，并列方程为112×2+(18+112)x=1.根据上面信息，下面结论不正确的是（ ）
A．乙队单独完成需要8天
B．D处代表的代数式为(18+112)x
C．A处代表的实际意义：甲队做2天的工作量
D．甲队先做2天，然后甲、乙两队合作5天完成了整项工程
10．[2025秦皇岛开学考试]某社区活动中心计划出资600元（全部花完）购进跳棋、象棋、围棋,其进货情况如下表,则在每一种棋都要购买的条件下,x的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．[2025沧州献县模拟]下图给出的是某月的月历,任意用“U”形框框住7个数（如阴影部分所示）,请你运用所学的数学知识来研究,发现这7个数的和不可能是（ ）
A．105B．77C．98D．56
12．[2025沧州部分学校一模]宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，我国古代的“洛书”就是一个幻方，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“”位置上的数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
13．[2024衡水模拟]课间游戏时同学们设计了一个飞镖游戏，规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内的部分，B区为大圆内小圆外的部分(A区、B区均不含边界，若掷到边界或大圆以外，则重新投掷).现在将投掷有效的位置用一个点标注，统计出小红和小华的有效成绩情况如下：小红得了65分，小华得了71分.
（1） 掷中A区、B区一次各得多少分？
（2） 按照这样的计分方法，小明得了多少分？
第2讲 分式方程
基础练
1．[2024张家口联考]若分式xx−1与m1−x的值相等，则m的值不可能是（ ）
A．−3B．0C．−1D．−2
2．[2025邢台信都一模]某同学在解关于x的一元一次方程2a+x=3时，误将+x看作÷x，得到方程的解为x=2，则原方程的解为（ ）
A．x=−3B．x=12C．x=2D．x=3
3．[2025石家庄长安质检]将两把不同刻度的直尺A和直尺B分别按图1和图2的方式紧贴在一起,根据图中数据,下列正确的是（ ）
图1图2
A．2432=9x+10
B．2432=9x−10
C．x=24
D．图1中，直尺A中的刻度18正对直尺B中的刻度22
4．[2024邯郸广平模拟]对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a,b}表示a、b中较大的数,如max{2,4}=4.按照这个规定,方程max{x,−x}=2x+1x的根为（ ）
A．1−2B．2−2
C．1−2或1+2D．1+2或−1
5．[2024唐山迁安模拟]嘉淇准备完成题目：解方程+1x+2=0．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x=−1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的分母可能是（ ）
A．x−1B．−x−1C．x+1D．x2−1
6．[2025江西]小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同,且每百千米的耗油费比耗电费多50元,求纯电汽车每百千米的耗电费.设纯电汽车每百千米的耗电费为x元,可列分式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2025沧州南皮一模]课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程：
（1） 分别写出作业题1、作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
（2） 从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程．
8．[2024保定竞秀一模改编]甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍.设这个人步行的速度为x千米/小时.
（1） 这个人步行时间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 小时（用含x的代数式表示）；
（2） 求这个人步行的速度.
提升练
9．原创题 若关于x的方程x−ax−1−3x=1的解为整数，则整数a可取的值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．[2025邯郸邯山模拟]某家文创店以相同的单价分三批采购同一款书签，采购第二批书签花费200元，比第一批少30份；采购第三批书签花费600元，比第一批多50份.若列出方程200x−30=600x+50,则下列正确的是（ ）
A．其中x表示第二批书签的数量B．其中x表示第三批书签的数量
C．第二批书签的数量为40份D．第三批书签的数量为70份
11．[2024邯郸广平模拟]某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元，指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天；方案③：甲、乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ）
A．方案①B．方案②
C．方案③D．方案①和方案③
12．[2025沧州献县模拟]某足球特色学校在商场购进A、B两种品牌的足球,已知购买A品牌足球花费了2 500元,购买B品牌足球花费了2 000元,且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍,购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元.
（1） 分别求A、B品牌的足球的单价；
（2） 由于喜欢足球的人数增加,学校再次购进与第一次购买数量相同的A、B两种品牌足球,同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整,A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%,B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售,则此次购买足球比第一次费用高还是低?
第3讲 一元二次方程
基础练
1．[2024石家庄一模]若已知x=2±4−4×3×(−1)2×3是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c的值为（ ）
A．−2B．4C．2D．0
2．[2024保定竞秀模拟]观察下列表格，一元二次方程x2−3x−4.6=0的一个近似根为（ ）
A．−1.124B．−1.118C．−1.088D．−1.073
3．[2025保定竞秀开学考试]小明解方程12x2−2x−1=0的过程如下所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
12x2−2x−1=0.
解：x2−4x−2=0，…………①
x2−4x=2，…………②
(x−2)2=2，…………③
x1=2+2，x2=2−2.…………④
A．①B．②C．③D．④
4．[2025石家庄新华质检]下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+mx=0B．x2−mx=0
C．x2+mx+3=0D．x2+mx−3=0
5．[2025保定竞秀开学考试]将进货价格为35元/个的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨x元时，获得的利润为1 870元，则下列方程正确的是（ ）
A．(x+5)(200−5x)=1870B．(x+40)(200−10x)=1870
C．(x−35)(200−5x)=1870D．(x+5)(200−10x)=1870
6．[2025邯郸一模]一元二次方程x2−☐x+2=0的两根为m,n,且mn(m+n)=46,其中“☐”表示一个数,则“☐”为_ _ _ _ .
7．[2025山东]若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
8．[2025沧州学业考试]已知等腰三角形的底和腰的长是方程x2−3x+2=0的两个根,则该三角形的周长是_ _ _ _ .
9．[2025邢台结课考试]习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程4(x−5)=(x−5)2.
解：方程两边同时除以(x−5)得4=x−5，…………①
4+5=x，…………②
x=9.…………③
淇淇：解方程4(x−5)=(x−5)2.
解：移项得4(x−5)−(x−5)2=0，…………①
分解因式得(x−5)(4−x−5)=0，…………②
即x−5=0或4−x−5=0，…………③
所以x1=5,x2=1.…………④
（1） 分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的；
（2） 请给出这道题的正确解答过程．
10．[2025沧州学业考试]已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根.
（1） 求m的取值范围；
（2） 设x1,x2是方程的两个根且x12+x22+x1x2−6=0,求m的值.
提升练
11．[2025邢台一模]小明在解关于x的一元二次方程2mx2−nx+2=0(m≠0)时,把一次项的符号抄成“+”,得到其中一个根是−2,则关于x的方程2mx2−nx+2=0(m≠0)的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根D．有一个根是−2
12．[2025保定竞秀开学考试]定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2=4和(x−2)(x+3)=0有且仅有一个相同的实数根2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的参数同时满足a+b+c=0和4a+2b+c=0，且该方程与(x+2)(x−n)=0互为“同伴方程”，则n=_ _ _ _ ．
13．[2025邢台信都一模]x1和x2是关于x的一元二次方程x2+4x+c=0(c>0)的两个实数根，数轴上x1和x2所对应的点分别为M，N，若点M到原点的距离恰好是点N到原点的距离的2倍，则c=_ _ _ _ _ _ ．
14．[2025唐山路南模拟]“端午临中夏，时清日复长．”临近端午节，一家商店接到一批3 200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300．两组同时开工，甲组原计划加工10天，乙组原计划加工8天就能完成订单．
（1） 求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子.
（2） 两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子.
第4讲 一元一次不等式（组）
基础练
1．[2024邢台任泽模拟]若m>n，则2m☐2n,“☐”中应填（ ）
A．< B．=C．>D．无法确定
2．[2025保定模拟]下列数中,能使不等式2x≤4−x成立的x的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．[2025内蒙古]一元一次不等式组x−1≥0,x1,x−22≤3的解集为 （ ）
A．x>−2B．x≤8
C．x−54,∴m=23.
提升练
11．C
12．1或2
13．329
[解析]由题意得x1+x2=−4，x1x2=c(c>0)，
∴x14x+2,
移项,得2x−x−4x>2+1,
合并同类项,得−3x>3,
系数化为1,得x3x−5,解得x−6，解得a3,∴−2x+72x+1
x−x+12=2x+1
第一步:去分母
2x−(x+1)>2(2x+1)
x−(x+1)=2(2x+1)
第二步:去括号
2x−x−1>4x+2
x−x−1=4x+2
第三步:移项
2x−x−4x>2+1
x−x−4x=2+1
第四步:合并同类项
−3x>3
−4x=3
第五步:系数化为1
x>−1
x=−34
接力游戏
解方程:1−x−22x+4=−xx+2.
甲同学:去分母，得2x+4−x−2=−2x.
乙同学:移项，得2x−x+2x=2−4.
丙同学:合并同类项，得3x=−2.
丁同学：系数化为1，得x=−23.