章节综合训练四《三角形》-【+答案】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

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一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．如图，为的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（ ）．
A．3B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，先证明，，，可得，再证明，从而可得答案．
【详解】解：∵为的中位线，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的的应用，小孔到的距离为，由得，即得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：小孔到的距离为，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
故选：．
3．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键．
4．如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据含直角三角形性质求得，由菱形的性质得出即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，且平分，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
∴，
即，
故选：B．
5．如图，在中，，D为边的中点，点 E，F分别在边上，，则四边形的面积为（ ）
A．18B．C．9D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，连接，由，得，因为为边的中点，所以，则，再证明，则，推导出，即可得解，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线构造全等三角形是解决此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，
为边的中点，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形的面积为9，
故选：C．
6．如图，正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，的面积为，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查了正方形，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
根据正方形的性质可得的值，根据题意可证，可得，结合几何图形面积可求出的值，在直角中可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，面积为，
∴，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：5 ．
7．如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，若， 则的长是（ ）
A．B．8C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．若图中有等边三角形，常用辅助线作法是做出一边上的高．把所求线段放在一个直角三角形中当斜边也是常用辅助线作法．，，可得为等边三角形．作于点，可得为的中点，可求得的长，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得为的一半．作于点，则 为直角三角形的斜边，利用平行线分线段成比例定理可得的长，利用勾股定理可得的长，进而根据勾股定理可得的长．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接．
，
．
，
．
，，
为等边三角形，
．
，
．
．
．
．
，
．
．
．
故选：D．
8．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，先证明，再根据相似三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
添加条件，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意；
添加条件不能证明，故B符合题意；
添加条件，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故C不符合题意；
添加条件，结合条件，可以根据两组对应边成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意；
故选：B．
9．如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；过点作于，过点作于，则，，可推出，，则，判定③正确；由可得，进而得到，得到，又因为不是中点，故，可判定④错误；由，得，则，可判定⑤错误．
【详解】解：为等边三角形，
，，
四边形是正方形
，，
，
又，
，
，
，，
，
在中，，
，
又，
，故①正确；
，，
，
，故②正确；
过点作于，过点作于，
由题意可得，，
，，
，故③正确；
，
，
，
又与同高，
，
又，不是中点，
，
，故④错误；
，，
，
，
，
又，，
，故⑤错误，
综上所述：正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．
10．如图，在矩形中，对角线，相交于点 O， ， ，点 F 在线段 上从点 A 至点 O 运动，连接，以 为边作等边三角形，点 E 和点 A 分别位于两侧，下列结论：① ；② ；③ ；④点 E 运动的路程是；其中正确结论的序号为（ ）
A．①④B．①②③C．②③D．①②③④
【答案】D
【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论①正确； ②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确； ③通过等量代换即可得出结论③正确； ④如图，延长至，使，连接，通过，，可分析得出点F在线段上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到，从而得出结论④正确．
【详解】解：①∵矩形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴， 故结论①正确；
②如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，， 故结论②正确；
③∵，
∴，即， 故结论③正确；
④如图，延长至，使，连接，
∵，，
∴点F在线段上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到，
∵矩形，，，
∴，
∴，
∴点E运动的路程是， 故结论④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹，锐角三角函数的应用等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键．
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴（米），
∴（米）．
故答案为：．
12．如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为 ．
【答案】
【分析】过点B作交的延长线于G，证明；延长交的延长线于H，证明，过点B作于F，证明，利用勾股定理，三角形相似，面积计算的分割法，解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
，
过点B作交的延长线于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴， ，
延长交的延长线于H，
由折叠知，，，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，，
∴， ， ，
过点B作于F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，分割法计算图形的面积，熟练掌握勾股定理，折叠的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
13．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点均在坐标轴上，且，．若反比例函数经过边的中点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系、勾股定理以及菱形的性质，掌握菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．根据直角三角形的边角关系以及勾股定理可求出点、点的坐标，再根据线段中点坐标的计算公式求出点坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值．
【详解】解：在中，，，
设，则，由勾股定理得，
，
即，
解得（取正值），
，
四边形是菱形，且顶点都在坐标轴上，
，，，
点是的中点，，，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
14．如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则 ．
【答案】
【分析】先求解，，如图，过作于，过作于，过作于，求解，，，证明，求解，，进一步求解，证明，再利用相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
如图，过作于，过作于，过作于，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
15．如图，点O在线段上，，，以O为圆心，为半径作，点P在上运动，连接，以为腰作等腰，连接，则长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，以O为顶点，为边向上方作等腰直角，连接、，证明，即可得到答案．
【详解】解：如图，以O为顶点，为边向上方作等腰直角，连接、，
，
则，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C在以点D为圆心，为半径的圆上，
作射线交于、，
则，，
∴长的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．如图，在中 ，，于点， 于点 ，、相交于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键．
先通过题干的垂直得到，再通过即可得证．
【详解】证明∵
∴
∵
∴．
17．如图， QUOTE 中，，是边上的高，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．如图，把一个含有角的直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，其中点的对应点为点，连接．
(1)是_____三角形，的度数是_____
(2)若，求的面积．
【答案】(1)等腰，
(2)的面积．
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．
（1）由旋转，得到，即可得到是等腰三角形，再利用三角形的外角性质可求得的度数；
（2）求得中边上的高，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵旋转，
∴，，
∴是等腰三角形，；
故答案为：等腰，；
（2）解：作于点，
∵，，
∴，
∴的面积．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在中， QUOTE ．
(1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可．
（2）由（1）得为的平分线，利用角平分线的性质可得，再利用三角函数得到，再根据三角形全等的判断及性质即可求解．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）解：∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图（角平分线），角平分线的定义，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质．
20．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．（参考数据：，）
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？
【答案】(1)的长度约为米
(2)经过点到达点较近，见解析
【分析】（1）过作于，如图，则可得四边形是矩形，根据点在点的北偏东，即，得到是等腰直角三角形，有勾股定理即可求解；
（2）由（1）知是等腰直角三角形，米，米，米，则经过点到达点路程为米，米，米，经过点到达点路程为米，由此即可求解．
【详解】（1）解：过作于，如图：
由已知可得四边形是矩形，
∴米，
∵点在点的北偏东，即，
∴是等腰直角三角形，，
∴（米）；
（2）解：由（1）知是等腰直角三角形，米，
∴米，
∵点在点的北偏东，即，
∴，
∵米，
∴米，米，
∵米，
∴经过点到达点路程为米，
∵米，
∴米，
∴米，
∴经过点到达点路程为米，
∵，
∴经过点到达点较近．
【点睛】本题主要考查方位角与勾股定理的运用，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，理解方位角的含义，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
21．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)点是线段上一点，满足交于点．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得，证明，推出，即可解答；
（2）①通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，②把数值代入①中比例线段列方程即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，．
(1)如图（），若，分别是边，的中点，连接，则______
(2)当时，请回答下列问题：
①如图（），求的值；
②如图（），若平分时，求的值；
③如图（），若时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②；③
【分析】（1）连接、相交于点，由菱形的性质得，，，，进而得，由勾股定理得，从而，再根据三角形的中位线判定及性质即可得解．
（2）①过点作于点，直角三角形的性质及勾股定理，从而，利用勾股定理即可得解；
②将延长交延长线于点，由角平分线的定义得，又根据菱形性质得，进而得，，，再证明，根据相似三角形的性质即可得解；
③延长与延长线交于点，过作于点，由①可得：设，则，．证利用相似三角形的性质得，进而得，，于是，利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：如图，连接、相交于点，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，分别是边，的中点，
∴，
故答案为：；
（2）解：①过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴由勾股定理可得：，；
②将延长交延长线于点，
∵，
∴，
∵平分
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
③延长与延长线交于点，过作于点，
由①可得：
∵，
∴
设，
∴，
∴
∴．
∵四边项是菱形，
∴，
∴
∴
∴即
∴
∴
解得，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形函数解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，度直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握三角形函数解直角三角形，勾股定理，菱形的性质是解题的关键．
23．【问题提出】
（1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：；
【迁移应用】
（2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值；
【拓展提高】
（3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值．
【答案】（）见解析；（）；（）
【分析】（）根据矩形的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的性质得到，求得；
（）根据补角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，于是得到结论；
（）过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形，得到∴，，，同（）可得，在上取一点使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，， 求得，根据相似三角形的性质得到，设 ，则，，得到 ，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴的值为；
（）如图所示，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形，
∴，，，
同（）可得，
∵，
∴设，，
在上取一点使得，连接，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同角的补角相等，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．