贵州省贵阳市南明区北京师范大学贵阳附属学校2024—2025学年上学期九年级期中数学测试卷（解析版）-A4

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一．选择题（以下每小题均有ABCD四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答每小题3分，共36分）
1. 方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A. 1和3B. 1和C. 3和D. 3和4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据进行判定即可求解．
【详解】解：根据题意，移项整理得，，
∴一次项系数和常数项分别为3和．
故选：C ．
2. 如图，若点D是线段的黄金分割点，，则的长是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例是是解题的关键．
【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点，，
∴，
故选：C．
3. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可．
【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性=；
第二个袋子摸到红球的可能性=；
第三个袋子摸到红球的可能性=；
第四个袋子摸到红球的可能性=．
故选：D．
【点睛】】本题主要考查了可能性大小计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中．
4. 下列说法不正确的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 一个角是直角的平行四边形是正方形
D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
C、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键．
5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键．
按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1)，整理化简即得答案．
【详解】
移项得，
配方得，，即．
故选：B．
6. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例，据此列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选C．
7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式可得到且，求解即可．
【详解】解：由题意得，且
解得且
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式，即当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
8. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，由矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，推出，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，即垂直平分，
，
，
，
，
故选D．
9. 已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ）
A. 8B. －8C. 4D. －4
【答案】A
【解析】
【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解．
【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根，
∴4+2b-c =0，
∴2b-c =-4．
∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解．
10. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. 6C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据小孔成像性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：
，
解得：，
即蜡烛火焰高度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
11. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ）
A. 线段的长B. 线段的长
C. 线段的长D. 线段的长
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解．
【详解】
或
解得或8
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴．
∴方程的正数解是线段的长．
故选：C．
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知y关于x的函数图象与x轴有且只有三个公共点，坐标分别为．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点P只有两个．其中正确的结论有（ ）．
A. ①②④B. ③④C. ①②③D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，平移的性质，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键．
通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后，可判断④．
【详解】解：①、由图象可知，当时，或，故①错误；
②、由图象可知，当时，有，故②正确；
③、将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，
将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，故③正确；
④、令，，
∴，
∴点在直线的函数图象上，如图所示：
由图象可得，它们有三个交点，故④错误；
∴正确的有②③，
故选：D．
二．填空题（共4小题，每小题4分共16分）
13. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴与的位似比为，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 在用模拟试验估计40名同学中有两个同学是同一天生日的概率中，将小球每次搅匀的目的是_____．
【答案】使每个球出现的机会均等
【解析】
【分析】根据概率的等可能性判断即可．
【详解】解：每次模拟试验后将小球每次搅匀是为了使每个球出现的机会均等，
故答案为：使每个球出现的机会均等．
【点睛】本题考查了概率的等可能性，确保等可能性是解题的关键．
15. 2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），即可列出关于一元二次方程．
【详解】解：设参加比赛的队伍共有支，根据题意得：
．
故答案为： ．
16. 如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，取的中点O，连接，证明是等边三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性质求得，则，证明得到，则点Q在射线上运动，由已知得到，过Q作于M，于N，，则，，利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质得到， ，在中，利用勾股定理结合平方根解方程求解x值即可解答．
【详解】解：连接，取的中点O，连接，则，
在矩形中，，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，则，
连接并延长交于E，
由旋转性质得，，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴由得，
解得，则，
∵，
∴，
过Q作于M，于N，则四边形是矩形，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，则，
∴，
由得，
解得，则，
∴，
在中，由得，
整理，得，即，
∴，又，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程，等知识，是综合性强的填空压轴题，得到点Q的运动路线是解答的关键．
三．解答题（本大题共9小题，共98分）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）先化简，再求值：，其中
【答案】（1），；
（2），；
（3），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）首先根据分式的混合运算法则化简，然后代数求解即可．
【小问1详解】
或
解得，；
【小问2详解】
，，
解得，；
【小问3详解】
∵
∴原式．
18. 为了进一步加深学生对环保知识的了解，某中学组织七､八年级学生参与了环保知识竞赛活动，校团委从两个年级中分别随机抽取20名学生，并对他们的得分情况进行整理､描述和分析．分数用m表示，共分为三个等级：优秀，良好，不合格．下面给出了部分信息：①七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，分数不低于85分的数据为85，88，88，89，89，96，96，96，100；②八年级学生成绩中良好等级包含的所有数据为72，77，81，83，84，85，87．根据信息，解答下列问题．
（1）____________，____________．
（2）根据以上样本数据，估计该学校哪个年级学生的环保知识竞赛成绩更好．请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）学校计划从七年级成绩优秀的4名学生（分别记为甲，乙，丙，丁）中随机选取甲，乙两人进社区宣传环保知识，请用列表法或画树状图法求恰好选中甲､乙的概率．
【答案】（1）96，86
（2）八年级，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，统计表、列表法树状图求概率，扇形统计图等，熟练掌握中位数，众数的意义和求法，列表法树状图求概率是解答本题的关键．
（1）根据七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，将七年级成绩分数在优秀范围内的数据排列，利用众数的概念可直接得出的值；根据八年级学生成绩良好等级中所包含的所有数据为，，，，，，，得到良好等级占比为，不及格等级占比为，得到不及格等级的人数有4人， 推出八年级成绩的中位数为和的平均数是；
（2）从众数及优秀率的角度分析即可；
（3）列表或画树状图后，让所求情况数比上总情况数即为概率．
小问1详解】
∵七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，优秀范围内的数据为，，，，，
∴出现次数最多的数据为，
∴众数为，即；
∵八年级学生成绩良好等级中所有数据为，，，，，，，
∴八年级学生成绩良好等级占比为，
∴八年级学生成绩不及格等级占比为，
∴，
∴八年级学生成绩不及格等级的人数有（人），
∴个八年级学生成绩从小到大排列，第个和第个数据是和，
∴八年级成绩的中位数；
【小问2详解】
八年级．
理由：两个年级学生的环保知识竞赛成绩的平均数相同，
而八年级学生环保知识竞赛成绩的众数及优秀率均高于七年级
∴八年级学生的环保知识竞赛成绩更好；
【小问3详解】
树状图如下：

由图可得，共有12种等可能得情况，恰好选中甲､乙的情况有种，
故恰好选中甲､乙的概率为．
19. 如图，三个顶点坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的倍，得到，画出；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1）画图见解析；
（2）的面积为．
【解析】
【分析】本题主要考查了画位似图形，求位似图形对应点的坐标，解题的关键在于熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
（）利用位似图形的性质，得出各对应点位置进而得出答案；
（）直接求三角形面积即可．
【小问1详解】
解：如图，将放大为原来的倍，
∴，，对应点坐标为，，，
∴即为所求；
【小问2详解】
解：如图，
∴的面积为．
20. 药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒元，如果按照每盒元的价格进行销售，每月可以售出盒．经过市场调查发现，每盒口罩售价每涨价元，其月销售量就将减少盒．
（1）若使该口罩的月销量不低于盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？
（2）在（）的条件下，药店要保证每月销售此种口罩盈利元，则每盒口罩可涨价多少元？
【答案】（1）每盒口罩的售价应不高于元；
（2）每盒口罩可涨价元．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的从题中找出数量关系，列出方程，不等式是解题的关键．
（）设每盒口罩的售价为元，根据月销量不低于盒列出不等式即可；
（）设每盒口罩可涨价元，根据“总利润每盒利润数量”列出方程，解方程并检验即可．
【小问1详解】
解：设每盒口罩的售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每盒口罩的售价应不高于元；
【小问2详解】
解：设每盒口罩可涨价元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
∵每盒口罩的售价应不高于元，
∴，
答：每盒口罩可涨价元．
21. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接．
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论；
（2）过点D作，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，，进而得到即可．
【小问1详解】
证明: 在中，平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图， 过点 D作 ，
∵四边形是菱形，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键．
22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花画时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长宽．
（2）花圃的面积能否为，若能，求出此时花圃的长与宽，若不能，说明理由．
【答案】（1）花圃的长为米，宽为米
（2）花圃的面积不能为，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
（1）设花圃的宽为米，由上用其他材料造了宽为米的两个门，故长边为，令面积为，解得即可．
（2）根据（1）的方法，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设花圃的宽为米，
根据题意可得：
解得：，，
当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
答：花圃的长为米，宽为米．
【小问2详解】
解：设花圃的宽为米，
根据题意可得：
即
∵
∴原方程无实数根，即花圃的面积不能为．
23. 如图，在四边形中，，连接，过点A作，垂足为交于点，．
（1）求证：；
（2）若，请判断线段的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余结合，等量代换即可证明；
（2）如图所示，过点B作，求出，然后证明，得到，然后等量代换得到，即可推出；
（3）首先证明出，得到，，勾股定理求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴；
【小问2详解】
，证明如下：
如图所示，过点B作
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴；
【小问3详解】
∵，，
∴
∴，
∵
∵，
∴
∴，即
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边等性质，解题的关键是掌握以上知识点．
24. 清清和洁洁两个公司共同承包甲、乙两个工地清除垃圾的任务，在规定时间内，清清和洁洁两个公司分别可以清运20万立方米和30万立方米，甲、乙两个工地需要清运的垃圾分别是40万立方米和10万立方米．经过测算，清清和洁洁两个公司在两个工地完成清运1立方米垃圾需要的费用如下：
设清清公司在甲工地清运垃圾x万立方米（），完成这两个工地的垃圾清运所需的总费用为y万元．
（1）求y与x的函数关系式，
（2）y是否能等于1890万元，说明理由；
（3）若在实际清除过程中，清清公司在甲公司上投入新机械化设备，使清理1立方米的费用减少a元，但仍高于清清公司在乙工地清理1立方米垃圾的费用，求如何分配任务，使清理垃圾的总费用最小．
【答案】（1）
（2）y不可以等于1890万元，理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）设清清公司在甲工地清运垃圾x万立方米，则洁洁公司在甲工地清运垃圾(40-x)万立方米，清清公司在乙工地清运垃圾(20-x)万立方米，洁洁公司在乙工地清运垃圾[10−(20−x)]万立方米，根据题意可得y=3x+1860；
（2）解方程3x+1860=1890，求得x的值，即可判断；
（3）由题意得：y=(3−a)x+1860，根据0