北京市第六十六中学2025-2026学年九年级上册期中数学试卷（含解析）

这是一份北京市第六十六中学2025-2026学年九年级上册期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了本试卷共 三道大题，共6页等内容，欢迎下载使用。
试卷说明：
1．本试卷共 三道大题，共6页．
2．卷面满分100分，考试时间120分钟．
3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效．
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解．
【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是
故选：C．
2. 在平面直角坐标系内，点P（-3，2）关于原点的对称点Q的坐标为（ ）
A. （2，－3）B. （3，2）C. （3，－2）D. （－3，－2）
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的横纵坐标分别与原坐标互为相反数，问题可解.
【详解】解：P（-3，2）关于原点对称的点的坐标为P′（3，-2）．
故选C．
考点：关于原点对称的点的坐标．
3. 关于的一元二次方程用配方法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先移项得，再配方，即可作答．
【详解】解：，
移项得，
配方，
∴，
故选：A．
4. 有下列说法：过圆心线段是直径；圆的对称轴一定经过圆心；直径是圆中最长的弦；平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本概念，垂径定理的推论，根据直径，对称轴，弦的关系，垂径定理的应用逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意；
圆的对称轴一定经过圆心，原说法正确，符合题意；
直径是圆中最长的弦，原说法正确，符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
∴正确的是，
故选：．
5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（ ）
A. 29°B. 31°C. 59°D. 62°
【答案】B
【解析】
【详解】∵AB是O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=59°，
∴∠A=90°−∠ABD=31°，
∴∠C=∠A=31°
故选B.
6. 如图，在 中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可．
【详解】解：∵将△ABC绕点逆时针旋转得到△DEC，
∴ 故A不符合题意；
∴
∴ 故B不符合题意；
∴
∴
∴ 故C不符合题意；
∵
∴ 故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键．
7. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格数据可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，进而根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】∵时，；时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵时，随的增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴当时，的值最小，最小值为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴和时，函数值相等，
∴，
∴的取值范围是，
故选：．
8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）

A 正比例函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系， 二次函数关系D. 正比例函数关系，二次函数关系
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．
【详解】解：根据题意得，，
即，是一次函数；
⊙A的面积为，即，是二次函数
故选C
【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是______（填“相交”、“相切”或“相离”）．
【答案】相切
【解析】
【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心与直线的距离为，则圆心与直线的距离等于的半径，所以与相切，于是得到问题的答案．
【详解】解：的直径为，，
的半径为，
圆心与直线的距离为，
圆心与直线的距离等于的半径，
与相切，
故答案为：相切．
10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.
【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键.
11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则a 的值为__
【答案】##025．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a的等式，求出a的值．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
12. 如图，，，分别与相切于点，，三点．若，则的周长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．根据的周长为：，结合，，，代换计算即可．
【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，，
，，，
的周长为：，
故答案为：5．
13. 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=____°．
【答案】90
【解析】
【分析】利用旋转的性质可得∠CAF=60°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】根据旋转的性质可知∠CAF=60°，
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和的性质，得：
∠AFB=∠C+∠CAF
=30°+60°
=90°．
故答案为：90．
【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形外角的性质，抓住对应点与旋转中心形成的角是旋转角是解题的关键．
14. 已知抛物线（，为常数），，，是抛物线上三点，则由小到大依次排列为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，理解二次函数图像的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．求出该抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数图像的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当，随的增大而增大，
∵关于直线的对称点是，且，
∴．
故答案为：．
15. 如图，是的弦，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，若长为，则的最大值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，圆周角定理，度所对的直角边是斜边的一半，由三角形中位线的性质得，即可得当是的直径时，取最大值，利用直角三角形的性质求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点是上的一个动点，
∴当是的直径时，的值最大，
当是的直径时 ，，
∵，
∴，
∴的最大值是，
故答案为：．
16. 如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨，有，两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于吨的运输车可沿途中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向和工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从__________原料库（填“”或“”）装运；若公司计划从原料库安排一辆装有吨的运输车向，，三个工地运送当日所需的水泥，，，则总的“吨千米数”最小为____________．
【答案】 ①. ②. 24
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，勾股定理，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
先利用勾股定理和点的坐标求出各线段的长度，根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可．
【详解】解：（1）根据点的坐标得，，，，，，
由勾股定理得，,，，
若从原料库装运，应先沿着运往工地，再沿着运往工地，
总的“吨千米数”至少为；
若从原料库装运，应先沿着运往工地，再沿着运往工地，
总的“吨千米数”至少为；
∵，
∴，
∴应选从原料库装运；
（2）方案一，若先送达到工地，则总的“吨千米数”为，
将，，代入上式得，
原式；
方案二，若先送达到工地，则总的“吨千米数”为，
将，，代入上式得，
原式；
方案三，若先送达到工地，则总的“吨千米数”为，
将，，代入上式得，
原式；
方案一和方案三比较，方案一的值较小，选择方案一，
方案一和方案二比较，
∵，，
∴方案二的值最小，选择方案二，
所以，最小值为．
三、解答题（共68分，第17题7分，第18-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）运用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）运用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，
．
18. 已知实数是的根，求的值．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵实数是的根，
∴，即，
∴
．
19. 已知：圆和圆外一点，求作：过点的圆的切线．
作法：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，；
②作的角平分线，交于点；
③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点；
④作直线，．
所以直线，为切线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
，平分，
（ ① ）（填推理的依据）．
为的直径，，在上，
（ ② ）（填推理的依据）．
半径，半径．
直线，为的切线（ ③ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见解析；
（2）等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，；②作的角平分线，交于点；③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点；④作直线，，则直线，为的切线；
（2）连接，，根据等腰三角形的性质得到，再得到，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，；
②作的角平分线，交于点；
③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点；
④作直线，，
∴直线，为的切线，如图：
【小问2详解】
证明：连接，，
，平分，
（等腰三角形三线合一），
为的直径，，在上，
（直径所对的圆周角是直角），
半径，半径，
直线，为的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
故答案为：等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∵，
∴，
∵该方程的两个实数根的差为，
∴，
解得．
21. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．
【答案】13.
【解析】
【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【详解】如图，连接OC，
∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．
∴CM=MD．
∵CD=10，
∴CM=5．
设OC=x，则OM=25-x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+（25-x）2=x2．
解得 x=13．
∴⊙O的半径为13．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
22. 下表是二次函数的部分，的对应值：
（1）的值为___________，在直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）当时，的取值范围是______________；
（3）当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于二次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1），图象见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、画二次函数的图象、二次函数的图象性质、一次函数的图象性质：
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，代入即可求m的值；描点连线即可得图象；
（2）根据二次函数图象的性质即可求得答案；
（3）只需要时二次函数值大于或等于一次函数的函数值即可．
【小问1详解】
解：将代入，得，
解得，
∴，
当时，，
故答案为：2；
描点并连线可得二次函数的图象：
；
小问2详解】
解：∵二次函数图象开口向上，对称轴，
∴当时，二次函数有最小值，
∴y的取值范围是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：当时，二次函数的函数值，且随着x的增大y增大，
对于一次函数，当时，随着x的增大y也增大，，
故要满足题意，则，解得．
23. 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
【答案】道路的宽为2米
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设道路的宽为，利用平移得到草坪为一个长为，宽为的一个矩形，利用矩形的面积公式列出方程，进行求解即可．
【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：，
解得：（舍去），；
答：道路的宽为2米．
24. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为5，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线；
（2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，即可求得．
【小问1详解】
证明：如图，连接，则，
，
，
，
，
，
于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，
是的直径，，的半径为5，
，，
，
，，
，
，
，
的长是．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键．
25. 足球比赛中引入技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点的水平距离x（m）与离地高度y（m）的数据如下表：
以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 m；足球落地时， m；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【答案】（1）5，30
（2）
（3）守门员不能成功防守，说明见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
（1）利用对称性进行求解即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，
∴抛物线关于直线对称，
∵抛物线的开口向下：
∴当时，最大，为，
当时，，
时，；
故答案为：5，30；
【小问2详解】
抛物线关于对称，设，
把代入上述解析式，
，解得，
．
【小问3详解】
解：守门员不能成功防守，理由如下：
当时，，
∴守门员不能成功防守．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）已知点，在此抛物线上．
①当时，直接写出的取值范围；
②当时，比较，，的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）①或；②
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
（1）把代入，即可得到答案；
（2）由（1）得到，当时，，当时，，则，画出函数图象．
①当时，即，根据图象求解即可；
②根据二次函数的性质得到当时，，则当时，，由得到，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴把点代入得到，
，
解得，；
【小问2详解】
由（1）得到抛物线为，
当时，，
当时，，
∴
当时，解得或，
即抛物线与x轴交于点和，如图，
①当时，即，根据图象可知此时或；
②∵抛物线开口向下，
∴当时，，
∴当时，，即，
∵
∴，
∴
∴
∴．
27. 如图，，点A，点B在射线上．将线段绕点O逆时针旋转得到线段，连接，过点A作的垂线，垂足为H，交射线于点D．
（1）依题意补全图形，若，求的大小（用含的式子表示）；
（2）过点B作的平行线交射线于点E，用等式表示线段，与的数量关系，并证明．
【答案】（1）画图见解析，
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的添加辅助线．
（1）依题意补全图形，由三角形内角和，对顶角相等，可得出，可得；
（2）作平分，交于F，作，交延长线于G．作于J．先证，则，再证，则．由，可得．
【小问1详解】
解：依题意补全图形如下
，，，
．
，
．
，，
．
．
【小问2详解】
解：，
证明如下：作平分，交于F，作，交延长线于G．作于J．
．
，
．
，
．
．
线段绕点O逆时针旋转得到线段，
．
．
．
，
．
在和中
．
．
，，，
，．
，，
．
，
．
，
．
在和中
．
．
，
．
28. 在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．

（1）如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；
（2）如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋平点的定义，找到点，即可；
（2）由点Q在x轴上，当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值，由长求出弦心距长，在求出长，分两种情况求出点坐标即可．
【小问1详解】
解：设，，且，
∵点、在线段上，且，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵点与点关于点对称，
∴，，
∴，
∴的取值范围为：；
【小问2详解】
解：∵点Q在x轴上，
∴当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值，
如图，作弦心距，
，
半径3，
，
，
，
当点P在x轴负半轴时，，
，
，
；
当点P在x轴正半轴时，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查新定义圆和对称的知识，解题的关键是理解旋平点的定义，根据定义，进行解题．
…
…
…
…
0
1
2
3
…
…
2
…
x/m
…
9
12
15
18
21
…
y/m
…
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…