第31讲 概率（2考点+13题型）-【含答案】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc180489092" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc180489093" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc180489094" 03考点突破·考法探究
考点一 概率的相关概念
考点二 概率的计算方法
\l "_Tc180489098" 04题型精研·考向洞悉
命题点一:概率的相关概念
►题型01 事件的分类
►题型02 判断事件发生可能性的大小
►题型03理解概率的意义
►题型04 判断几个事件概率的大小关系
命题点二：概率的计算方法
►题型01 根据概率公式计算概率
►题型02 根据概率作判断
►题型03 已知概率求数量
►题型04列举法求概率
►题型05 画树状图法/列表法求概率
►题型06几何概率
►题型07 由频率估计概率
►题型08 概率的应用
►题型09 概率与统计综合
\l "_Tc180489121" 05分层训练·巩固提升
\l "_Tc180489122" 基础巩固
\l "_Tc180489123" 能力提升
考点一 概率的相关概念
1. 概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
概率公式： P(随机事件)=.
2.确定事件与随机事件
考点二 概率的计算方法
1. 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法. 当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便.
2. 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确.
命题点一:概率的相关概念
►题型01 事件的分类
1．（2025·上海宝山·模拟预测）下列事件为必然事件的是（ ）
A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心
B．班级里有同年同月同日出生的同学
C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
D．长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】解：A. 某著名射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故选项不符合题意；
B. 班级里有同年同月同日出生的同学，是随机事件，故选项不符合题意；
C. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故选项不符合题意；
D. ，长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形，是必然事件，故选项符合题意；
故选：．
2．（2025·湖北黄石·一模）下列说法错误的是（ ）
A．掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件
B．“在平面上任意画一个六边形，其内角和为”这一事件是必然事件
C．在单词（数学）中任意选择一个字母为m的概率为
D．天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨
【答案】D
【分析】本题考查了事件的分类，多边形内角和，概率等知识，掌握随机事件，必然事件的概念是解题的关键．
必然事件：在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件：介于必然事件和不可能事件之间，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解．
【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件，正确，不符合题意；
B、“在平面上任意画一个六边形，其内角和为”这一事件是必然事件，正确，不符合题意；
C、在单词（数学）中任意选择一个字母为m的概率为，正确，不符合题意；
D、天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨，故原选项错误，符合题意；
故选：D ．
3．（2024·辽宁抚顺·二模）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其外角和是
B．打开电视，正在播放跳水比赛
C．经过有交通信号的路口时遇见绿灯
D．若，则
【答案】A
【分析】本题考查了必然事件，掌握三角形的外角和定理、不等式的性质是解题的关键；
根据必然事件的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：、任意画一个三角形，其外角和是，是必然事件，该选项符合题意；
、打开电视，正在播放跳水比赛，是随机事件，该选项不合题意；
、经过有交通信号的路口时遇见绿灯，是随机事件，该选项不合题意；
、若，当时，则；当，则；当，则，
∴该选项事件是随机事件，不合题意；
故选：．
4．（2024·湖北·模拟预测）有两个事件，事件（1）：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；事件（2）：通常温度降到以下，纯净的水结冰．下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
【答案】D
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
依据定义判断即可．
【详解】解：事件（1）是随机事件；事件（2）是必然事件；
故选：D．
►题型02 判断事件发生可能性的大小
5．（2024·湖南·模拟预测）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大D．摸出三种小球的可能性相同
【答案】A
【分析】本题考查的是可能性的大小，根据题意求出摸出各种小球的概率是解题的关键．
分别求出摸出三种小球的概率，再比较大小即可．
【详解】解：有5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球，
小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是；
摸出标有“天眼”的概率是；
摸出标有“高铁”的概率是，
，
摸出标有“北斗”小球的可能性最大．
故选：A．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）小武在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于4是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（ ）
A．只有说法①正确B．只有说法①错误
C．说法①②都正确D．说法①②都错误
【答案】D
【分析】本题考查的是可能性的大小及随机事件，根据可能性大小的定义解答即可，熟知随机事件与必然事件的定义是解题的关键．
【详解】解：∵四个小球分别标号为1，2，3，4， 摸出的小球标号都小于4是不可能事件，故①错误；
∵每个标号只有一个小球，
∴摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，可能性一样，故②错误，
故选：D．
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近
B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪
C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖
D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件
【答案】A
【分析】本题考查随机事件、概率的意义，掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提．
根据随机事件和概率的意义依次判断即可．
【详解】解：A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近，说法正确；
B. 天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半可能下雪，原说法错误；
C. 彩票中奖的机会是，买张不一定会中奖，原说法错误；
D. “从一个只有红球的袋子里摸出白球”是不可能事件，原说法错误；
故选：A．
8．（2024·贵州黔东南·二模）盒子里有10张卡片（除卡片正面上的图片不一样，其他都一样），其中有6张卡片上印有黄果树瀑布，3张卡片上印有梵净山，1张卡片上印有西江千户苗寨．小星从中随机摸出一张卡片，准备去卡片上的地方游玩，则下列说法正确的是（ ）
A．一定会去梵净山B．去黄果树瀑布的可能性最大
C．不可能去西江千户苗寨D．去三个地方的可能性一样
【答案】B
【分析】本题考查的是可能性的大小，根据概率公式求解即可得出答案．熟记概率公式是解题的关键．
【详解】解：．根据题意有的可能去梵净山，原说法错误，故该选项不符合题意；
．去黄果树瀑布的可能性是，去梵净山的可能性是，去西江千户苗寨的可能性是，所以去黄果树瀑布的可能性最大，说法正确，故该选项符合题意；
．有的可能性去西江千户苗寨，原说法错误，故该选项不符合题意；
．由B可知去三个地方的可能性不一样，原说法错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
►题型03理解概率的意义
9．（2024·贵州·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（ ）
A．一定是小星获胜
B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜
C．一定是小红获胜
D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜
【答案】B
【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可．
【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确．
故选：B．
10．（2024·贵州黔南·一模）若天气预报显示“明天降水概率为”，则下列说法正确的是（ ）
A．明天将有的时间下雨B．明天将有的地区下雨
C．明天下雨的可能性较小D．明天下雨的可能性较大
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义及应用，根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
【详解】解：明天的降水概率为表示明天下雨的可能性较大．
故选：D．
11．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可．
【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；
小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误
故选；A．
12．（2024·湖南常德·一模）“明天下雨的概率为”，下列对这句话的理解正确的是（ ）
A．明天一定下雨B．明天一定不下雨
C．明天80%的地方下雨D．明天下雨的可能性很大
【答案】D
【分析】本题考查概率的意义，解题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．据此可得答案．
【详解】解：“明天下雨的概率为”，说明明天下雨的可能性比较大．
∴选项D符合题意．
故选：D．
►题型04 判断几个事件概率的大小关系
13．（2023·江苏常州·一模）在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A．个红球，个白球B．个红球，个白球
C．个红球，个白球D．个红球，个白球
【答案】D
【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解．
【详解】解：选项，个红球，个白球，摸到红球的概率为；
选项，个红球，个白球，到红球的概率为；
选项，个红球，个白球，到红球的概率为；
选项，个红球，个白球，到红球的概率为；
∵，
∴摸到红球可能性最大的是“个红球，个白球”，
故选：．
【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法，比较概率大小的方法是解题的关键．
14．（2023·福建泉州·一模）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到黑球是不可能事件B．摸到白球是必然事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【答案】A
【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用来表示不可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为，但概率为的事件不一定为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解．
【详解】解：选项，装有个红球和个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意；
选项，装有个红球和个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意；
选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合题意；
选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键．
15．（2021·湖北武汉·模拟预测）一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于B．两个小球的标号之和大于
C．两个小球的标号之和等于D．两个小球的标号之和大于
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A．两个小球的标号之和等于是不可能事件，不合题意；
B．两个小球的标号之和大于是必然事件，不合题意；
C．两个小球的标号之和等于是随机事件，符合题意；
D．两个小球的标号之和大于是不可能事件，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件，理解概念并运用概念解决实际问题．
16．（2021·湖北武汉·中考真题）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握三种事件的区别与联系成为解答本题的关键．
命题点二：概率的计算方法
►题型01 根据概率公式计算概率
17．（2024·广东深圳·模拟预测）将，，0，，这5个数分别写在5张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，取到无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式，无理数，有理数的概念，找出无理数，再由概率公式求解即可．
【详解】解：，，0，，这5个数中，，0，是有理数，， 为无理数，
任取一张，取到无理数的概率是，
故选：C．
18．（2024·广东·模拟预测）数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了概率的知识．根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案．
【详解】解：随机抽取一个小组，共有种等可能结果，抽到第4个小组的有种结果，
∴概率为，
故选：C．
19．（2024·广东惠州·模拟预测）在单词 (概率)中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查用概率公式求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．总共有11个字母，求出字母i的个数，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：该单词总共有11个字母，字母i出现两次，则选中字母“i”的概率为，
故选：B．
20．（2024·广东深圳·模拟预测）卯兔追冬去，辰龙报春来．中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有两张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题时要注意是放回实验还是不放回实验，以及概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图，得到共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有两张印有汉字“龘”的结果有2个，再由概率公式求解，即可解题．
【详解】解：解：把“龘”“龙”“行”分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有两张印有汉字“龘”的结果有2个，
抽取完两张卡片后，恰有两张印有汉字“龘”的概率为．
故选：D．
►题型02 根据概率作判断
21．（2022·北京昌平·模拟预测）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（ ）
A．AB．BC．CD．无法确定
【答案】A
【分析】根据图形发现B、C中只有一个地雷，所以知道A必为雷，则可得到答案．
【详解】解：由图形及题意可知：B、C中只有一个有地雷，
所以A必定有地雷，
所以A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率为1．
故选：A．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
22．（2023·浙江绍兴·三模）有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可．
【详解】解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组：
①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边就是重球；
②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球．
综上所述，至少需要天平的次数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二分法的应用，理解二分法是解答关键．
23．（2021·山东烟台·模拟预测）在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，则添加的球是（ ）
A．红球B．白球C．黑球D．任意颜色
【答案】C
【分析】首先根据概率求法，即可判定出添加的球使所有小球个数相同，即可得出答案．
【详解】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，
∴这三种颜色的球的个数相等，
∴添加的球是黑球，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，解答此类问题的关键是掌握概率求法．
24．（2020·内蒙古呼伦贝尔·一模）一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要（ ）位．
A．3位B．2位C．9位D．10位
【答案】A
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据小于所在的范围解答即可．
【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为，取两位数时一次就拨对密码的概率为，取三位数时一次就拨对密码的概率为，故密码的位数至少需要3位．
故答案为：3．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
►题型03 已知概率求数量
25．（2024·广东深圳·模拟预测）某生物学家想通过随机抽取的方式来估计50只小白鼠中雄鼠的个数，这些小白鼠被抓取后能够清晰地判断性别．将小白鼠随机放置在实验箱后，从中随机抽出一只小白鼠，记下它的性别后再放回实验箱中，不断重复这一过程，通过大量重复的试验后，发现抽到雌鼠的频率稳定在0.4，则实验箱中雄鼠的个数约为（ ）
A．25B．30C．20D．35
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．利用频率估计概率可估计实验箱中雄鼠的概率，然后求出实验箱中雄鼠的个数．
【详解】解：由题意可得，发现抽到雌鼠的频率稳定在0.4，则实验箱中雄鼠的个数约为：．
故选：B．
26．（2023·广东佛山·二模）一个布袋里装有2个红球，3个白球和个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从布袋里任意摸出1个球是红球的概率为，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用概率公式求出布袋里球的总数，即可求出黄球的个数．
【详解】∵布袋里装有2个红球，这些球除颜色外其余都相同，若从布袋里任意摸出1个球是红球的概率为，
∴布袋里一共有8个球，
∴黄球的个数为：，
故选C．
【点睛】本题主要考查等可能情形下的概率计算，能够根据概率公式准确地求出布袋里球的总数是解题的关键．
27．（2023·广东佛山·一模）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．18张B．12张C．6张D．10张
【答案】B
【分析】先由频率估计出概率，然后设木箱中蓝色卡片x张，根据概率公式列出方程，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设木箱中蓝色卡片有x张，
∵经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，
∴摸到蓝色卡片的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴估计木箱中蓝色卡片有12张，
故选B．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．
28．（2023·广东佛山·一模）一个盒子里装有仅颜色不同的10张红色和若干张蓝色卡片，随机从盒子里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，则估计盒子中蓝色卡片有（ ）
A．50张B．40张C．36张D．30张
【答案】B
【分析】根据频率估计概率，然后根据概率公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设盒子中蓝色卡片张，根据题意可得，
，
解得：，
经检验，时原方程的解，
则估计盒子中蓝色卡片有张；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．
►题型04列举法求概率
29．（2025·广东揭阳·一模）生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如）表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如）表示，当和结合在一起时无法表达性状，仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（）和矮茎豌豆（）杂交，高茎豌豆的和分离，矮茎豌豆和也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中和的比例为．现在有高茎黄色豌豆（ ）和高茎黄色豌豆（ ）杂交，其中后代中为的性状为绿色，且、和、遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解答本题的关键．
先列表求出所有等可能的结果，再找出高茎豌豆可能的结果种数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表格如下：
共有种等可能的结果，其中后代出现高茎绿色豌豆的有种，
所以理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为，
故选：B．
30．（2025·广东·模拟预测）某社区开展“垃圾分类、倡文明”志愿服务活动．小刚、小强计划利用寒假从甲，乙，丙，丁四个志愿服务队中，随机选择一个参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一个服务队的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法与树状图法：画出树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一个服务队的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：列表如图：
共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个服务队的结果数为4种，小刚、小强恰好选到同一队的概率是，
故选C．
31．（2024·广东汕头·二模）小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了列举法求概率，由题意可得出所有等可能的结果以及小明、小刚两人恰好相邻的结果，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将小明、小红、小刚3位同学分别记为，，，
3人随机站成一排，所有等可能的结果有：，，，，，，共6种，
其中小明、小刚两人恰好相邻的结果有：，，，，共4种，
小明、小刚两人恰好相邻的概率为．
故选：C．
32．（2024·广东汕头·二模）学习电学知识后，李红同学用四个开关A、B、C、D， 一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，即、、、、、，
∴小灯泡发光的概率为，
故选：B．
►题型05 画树状图法/列表法求概率
33．（2024·广东·模拟预测）文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画图解题的关键．画出树状图，用符合情况的情况数除以等可能发生的情况数即可．
【详解】解：画树状图如下：
一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含纸和笔的可能性有2种，
故恰好抽中纸和笔的盲盒的概率是，
故选：A．
34．（2024·广东汕尾·模拟预测）将分别标有“善”、“行”、“日”、“照”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“日照”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率．根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“日照”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字组成“日照”的概率为，
故选：A．
35．（2024·广东·模拟预测）第届深圳国际导热散热材料及设备展览会将于年月日在深圳国际会展中心举办，若小张随机从三个入口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有种等结果，其中小张从口进入，口离开的结果只有种，
∴小张从口进入，口离开的概率是，
故选：．
36．（23-24九年级下·河南南阳·期中）通常情况下无色酚酞试液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞试液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是．盐酸（呈酸性），．白醋（呈酸性），．氢氧化钠溶液（呈碱性），．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，画出树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两瓶溶液均变红色的结果有种，
∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为，
故选：．
►题型06几何概率
37．（2024·广东深圳·二模）小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：B．
38．（2024·广东汕尾·二模）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，每位顾客均能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了几何概率，阴影部分的圆心角占的比值即为概率，由此可得到答案；
【详解】解：指针指向阴影部分的概率是，
该顾客获奖的概率为．
故选：．
39．（2023·山东东营·一模）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用阴影部分的面积比上总面积，即可得解．
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积占到总面积的，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
40．（2023·山西忻州·模拟预测）如图，是一个等腰直角三角形纸板，，在此三角形内部作一个正方形，使在边上，点，分别在，边上．将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用阴影的面积除以的面积即可．
【详解】解：如图，
是一个等腰直角三角形，，设，
的面积为，，
四边形为正方形，是一个等腰直角三角形
∴，
，
阴影区域的面积为，
飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
►题型07 由频率估计概率
41．（2024·广东东莞·模拟预测）广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据：
则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（ ）(结果精确到0.01)
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求出．
【详解】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在左右，即估计它能发芽的概率为，
故选：C．
42．（2023·广西南宁·二模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．6B．8C．12D．15
【答案】C
【分析】设红球的个数为x个，根据摸出红球的频率稳定在0.6左右列出关于x的方程，求解即可解答．
【详解】解：设红球的个数为x个，
根据题意，得：，
解得：，
即袋子中红球的个数最有可能是12，
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率、简单的概率计算，熟知经过多次实验所得的频率可以近似认为是事件发生的概率是解题关键．
43．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为（ ）
A．6B．8C．10D．15
【答案】C
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为0.4，再根据概率公式列出方程，求出答案即可．
【详解】解：设红色小球x个，根据题意，得
，
解得．
故选：C．
44．（2024·湖北·模拟预测）某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．经过多次试行，发现转动n次转盘时，其中指针有m次落在“铅笔”区域，则估计“饮料”区域所在扇形的圆心角度数是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性“定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值“就是这个事件的概率”用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落在“饮料”区域的概率，用乘概率即可得出答案．
【详解】解： 转动n次转盘时，其中指针有m次落在“铅笔”区域，
则指针落在 “饮料”区域的次数为次，
“饮料”区域所在扇形的圆心角度数是，
故选：B．
►题型08 概率的应用
45．（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键．
根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可．
【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴他遇到绿灯的概率是：．
故选：C．
46．（2021·贵州黔西·模拟预测）小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（ ）
A．对小明有利B．对小刚有利C．是公平的D．无法判断
【答案】C
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此来求解．
【详解】解：解：设(x，y)表示小明抛掷骰子点数是x，小刚抛掷骰子点数是y，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是：
(1， 1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
即有36种基本事件，
其中点数之和为奇数的基本事件有： (1，2)， (1，4)， (1，6)，(2，1)， (2，3)， (2，5)， (3，2)， (3，4)， (3，6)，(4，1)， (4，3)， (4，5)，(5，2)， (5，4)， (5，6)，(6，1)， (6，3)， (6，5)，
即有18种，
所以小刚得(1分)的概率是，
则小明得(1分)的概率是，
则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平．
故选：C．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率＝所求情况数与总情况数之比．
47．（2021·浙江绍兴·一模）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12B．6C．5D．2
【答案】B
【分析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．
【详解】解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．
48．（2024·贵州·模拟预测）某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键．
根据题意可得黑球有个，根据概率公式可得摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，使得游戏公平，则概率相等，由此列式求解即可．
【详解】解：口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，
∴黑球有个，
∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，
∵使游戏对小星、小红双方公平，
∴，
解得，，
故选：B ．
►题型09 概率与统计综合
49．（2022·广东佛山·三模）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷．
(1)如图，小南先踩中一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块中埋藏着颗地雷（包含数字的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字（包含数字的黑框区域记为B，A与B外围区域记为）．二人约定：在区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．
(2)如图，在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷（空白区域无地雷）．则选择，，三个区域踩到雷的概率分别是______．
【答案】(1)这个游戏不公平，说明见解析
(2)，，
【分析】（1）求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可；
（2）分别求出D，E，F三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：这个游戏不公平，理由如下：
在区域的（个）方块中随机埋藏着（颗）地雷，
区域中有（个）方块中没有地雷，
小南胜的概率为，小语胜的概率为，
，
这个游戏不公平；
（2）解：围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，
选择区域踩到雷的概率为；
在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷空白区域无地雷，
区域中有：（颗），
选择区域踩到雷的概率为；
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了游戏公平性以及概率公式等知识，概率相等游戏就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
50．（2022·广东佛山·一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策．为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题：
(1)若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为多少？
(2)根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了解”的小明和小刚中选一个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】(1)约为400人
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）用总人数乘以“比较了解”所占的百分比即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求解，比较概率大小，即可判断游戏规则是否公平．
【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数是：（人），
这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为：（人），
答：这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为400人．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况，
两个球颜色相同的概率为，
两个球颜色不相同的概率为，
，
游戏规则不公平．
【点睛】本题考查 列表法或树状图法求概率，条形统计图，解题的关键是利用树状图法求出概率，比较概率，判断是否公平．
51．（2025·广东深圳·一模）小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
甲、乙两种吉他得分统计表
(1)________，________；
(2)从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
(3)你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．
【答案】(1)，
(2)甲
(3)建议购买甲品牌，理由见解析
【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由中位数和众数的定义求解即可；
（2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可得解；
（3）根据平均数的定义解答即可．
【详解】（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
52．（2025·广东揭阳·一模）植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性．1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：

完成下面问题：
(1)________，________；
(2)在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为________；
(3)补全条形统计图；
(4)八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数．
【答案】(1)4；20
(2)
(3)见解析
(4)人
【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、样本估计总体，解题的关键是从频数分布表和扇形统计图中获取关键信息．
（1）根据E组频数及所占百分数求出班级的总人数，进而可求出a、b ；
（2）先求出本次调查中A组的占比，再与相乘，即可作答．
（3）根据（1）中求出的a、b补全即可，
（4）先求出本次调查中八年级中分数在80分到90分的占比，再与相乘，即可作答．
【详解】（1）解：班级总人数为：，
，，
故答案为：4；20；
（2）解：依题意，，
∴A组对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：补全条形统计图如下：
（4）解：依题意，（人），
∴估计八年级中分数在80分到90分的人数为人．
基础巩固
单选题
1．（2024·广东深圳·中考真题）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案．
【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，
则抽到的节气在夏季的概率为，
故选：D．
2．（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．已知一种彩票的中奖概率是，则买10000张这样的彩票一定会中奖
B．数据2，3，7，8，3，4，3，8的众数是8
C．调查深圳市人民对政府服务的满意程度适合用抽样调查
D．“甲、乙、丙三个队参加端午节赛龙舟比赛，甲队获得冠军”是必然事件
【答案】C
【分析】本题考查概率的意义、众数、抽样调查等知识，利用考点知识逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、某种彩票的中奖概率为，每买10000张彩票，不一定有一张中奖，故说法错误，不符合题意；
B、数据2，3，7，8，3，4，3，8，其中3出现的次数最多，故众数是3，故说法错误，不符合题意；
C、调查深圳市人民对政府服务的满意程度适合用抽样调查，说法正确，符合题意；
D、“甲、乙、丙三个队参加端午节赛龙舟比赛，甲队获得冠军”是偶然事件，故说法错误，不符合题意；
故选：C．
3．（2024·广东河源·一模）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意可知一共12个棋子，黑色棋子3个，用概率公式求解即可．
【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，共12个棋子，
∴任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是．
故选：D．
4．（2024·广东广州·二模）从下列一组数，，，，0，中随机抽取一个数，这个数是无理数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了无理数、简单事件的概率，判断无理数的个数，再用概率公式计算即可.
【详解】，，，，0，中, ，是无理数，共有6个数据，两个无理数，
∴随机抽取一个数，这个数是无理数的概率为，
故选：D
5．（2024·广东·三模）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组从“北斗”“天眼”“高铁”“人工智能”4个内容中，随机选择一个进行介绍．科技活动小组恰好选中“高铁”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查判断事件发生可能性的大小，掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式计算科技活动小组恰好选中“高铁”的概率，即可得出答案．
【详解】解：∵共有4个内容，
∴科技活动小组恰好选中“高铁”的概率为，
故选：B．
二、填空题
6．（2025·广东深圳·一模）一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有 个．
【答案】8
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，分式方程的应用，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中白球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中白球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中白球约有8个，
故答案为：8．
7．（2025·广东深圳·一模）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了画树状图法求概率, 画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
8．（2024·广东肇庆·一模）在一个透明的盒子里装有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸出红球的概率是0.2，则值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【详解】解：∵摸到红球的概率为
∴
解得．经检验，是原方程的解．
故答案为：8．
9．（2024·广东揭阳·模拟预测）某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为
【答案】
【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比几何概率．利用击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比，进而求出答案．
【详解】解：整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个，
落在黑色区域即获得笔记本的概率为，
故答案为：．
三、解答题
10．（2025·广东深圳·一模）深圳市某学校为了贯彻落实党的相关精神，引导全体师生了解和掌握社会主义核心价值观的基本内容和实践要求，更加深入地理解社会主义核心价值观的内涵，增强对国家、社会和公民个人层面价值观念的认同感，特意举办了社会主义核心价值观知识竞赛．以下是社会主义核心价值观的具体内容
国家层面：富强、民主、文明、和谐；
社会层面：自由、平等、公正、法治；
个人层面：爱国、敬业、诚信、友善．
(1)初赛时，小军同学从会主义核心价值观十二个方面的知识中随机抽取了其中一个方面的知识，恰好抽中“富强”的概率为________．
(2)复赛时，抽签只分为三大类：国家层面（A）、社会层面（B）、个人层面（C）．小军同学抽签后，把签放回去，重新洗均匀，小刚同学再抽签，利用画树状图或列表的方法求两人抽到相同的签的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式．
（1）直接根据概率公式计算；
（2）利用树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两人抽到相同的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：恰好抽中“富强”的概率为：，
故答案为：；
（2）解：树状图如图
由图可知共有9种等可能的情况，两个人抽到相同签情况共有3种，
．
答：两个人抽到相同签的概率为．
11．（2024·广东·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程以提升课后服务质量，为了解学生对这四门课程的选修情况（要求必须选修—门且只能选修一门），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_____名学生参与了本次问卷调查；“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度？
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小毅分别从“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】(1)50，；
(2)见详解；
(3)
【分析】（1）用“街舞”的人数除以占比得到总人数；用“厨艺”的人数除以总人数再乘以即可求解；
（2）先求出选择陶艺的人数，然后即可补全条形统计图．
（3）用列表法求得概率即可求解．
【详解】（1）解：（人），
共有50名学生参与了本次问卷调查．
，
“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是．
（2）选择陶艺的人数有：（人），
补全条形统计图如下：
（3）列表如下：
一共有16中可能，小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况有4种，
∴小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况的概率有：
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
能力提升
一、单选题
1．（2024·广东深圳·模拟预测）对于“深圳人”来说，没有花展的三月就不能称作春天．“绿美湾区，诗意繁花”，2024粤港澳大湾区花展将于3月23日至4月1日在主会场笔架山（体育）公园、莲花山公园、分会场香蜜湖·四季花谷举行．若小明周末想去其中一个公园参观花展，则他去莲花山公园的概率是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了概率公式，根据题意确定所有等可能结果数和满足题意结果数成为解题的关键.
根据题意可知小明有三种选择，其中去莲花山公园的可能只有一种，然后运用概率公式即可即可.
【详解】解：由题意可得：小明有三种选择，其中去莲花山公园的可能只有一种，则他去莲花山公园的概率是.
故选B.
2．（2024·山东济南·二模）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，需招募两名宣传员．现从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求概率，正确的画出树状图或表格是解题的关键．先列出表格得到所有等可能的结果数，再找到恰好是一男一女的结果数，最后根据概率的计算公式计算即可．
【详解】解：两名男生用表示，两名女生用表示，所有结果列表格如下：
由表格可知，一共有12种结果，其中恰好是一男一女的结果有8种，
∴两人恰好是一男一女的概率为，
故选：C．
3．（2025·广东佛山·一模）甲、乙、丙同时在的范围内随机取整数的值，每个数被取到的可能性相等，设甲取到的值为，乙取到的值为，丙取到的值为，则满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，由题意可得共有种结果，再求出的情况，最后再由概率公式计算即可得解．
【详解】解：∵在的范围内取整数可以为，，，，，
∴甲、乙、丙同时在的范围内随机取整数的值，每个数被取到的可能性相等，设甲取到的值为，乙取到的值为，丙取到的值为，共有种结果，
其中的情况有：，，，，，，，，，，共10种，
∴满足的概率为，
故选：B．
4．（2023·广东深圳·模拟预测）一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先画树状图展示所有25种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的占13种，然后根据概率的概念计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的有13种，
则两次取出的小球标号之和为偶数的概率是．
故选：B．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2024·广东广州·一模）如图，电路图上有个开关，电源、小灯泡和线路都能正常工作，若随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的有种，
∴小灯泡发光的概率为，
故选：．
6．（2023·河北邢台·一模）如图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，随机移走标号为①～⑤的小正方体中的一个，左视图不发生改变的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，以及概率的定义，可得答案．
【详解】解：去掉的小正方体，左视图改变；
去掉的小正方体中的一个，左视图不变，
所以左视图不发生改变的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，概率的定义，解题的关键是掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
二、填空题
7．（2024·广东深圳·三模）在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一；女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是
【答案】
【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键．
先列表求出所有等可能结果数和两人选择每个项目一样的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
共有4种等可能的结果，其中小明、小花所选的必考项目不同的结果有：（200米，800米），（1000米，200米），（1000米，800米），共3种，
∴小明、小花所选的必考项目不同的概率为．
故答案为：．
8．（2024·广东广州·三模）明明与慧慧玩一种比数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，明明的卡片上分别标有数字1，3，6，慧慧的卡片上分别标有数字2，4，5，两人各从自己的卡片中随机抽一张，则慧慧所抽数字大于明明的概率是 ．
【答案】
【分析】画树状图法计算概率即可．
本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握计算是解题的关键．
【详解】根据题意，画图如下：
一共有9种等可能性，其中慧慧所抽数字大于明明的有5种，
故慧慧所抽数字大于明明的概率是．
故答案为：．
9．（2023·广东佛山·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点的坐标记为，若点为，则在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求概率、一次函数的图像，正确找出当直线经过第二象限时，点的所有符合条件的坐标是解题关键．
【详解】解：由题意得：点的坐标共有种：，，，，，，
点为，
直线经过第二象限，点的坐标有，，，，共四种情况；
在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为，
故答案为：．
10．（2024·广东深圳·模拟预测）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标，那么点P落在直线上的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数的性质，注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由表格求得所有等可能的结果与点P落在直线上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图如下：
故所有等可能结果为
；
；
；
；
；
，
共36种等可能结果．
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故有，，，，满足在直线上，共5种情况，
∴点P落在直线上的概率为．
故答案为：．
三、解答题
11．（2024·广东·模拟预测）我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)杨老师采用的调查方式是 ( 填“全面调查”或“抽样调查”)；
(2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数；
(3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率．
【答案】(1)抽样调查
(2)补全的条形统计图见解析；件
(3)
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，涉及抽样调查，用样本估计总体，列举法求概率等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查；
（2）由B班的作品数量除以所占的百分比即可求出所调查的4个班征集到的作品总数，将作品总数减去其他三个班的作品数量即可得到班作品数量，即可补全条形统计图．的件数为：（件；继而可补全条形统计图；求出所抽取的4个班级作品数量的平均数，乘以全级30个班级，可估计全校共征集作品的数量．
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．
（2）解：所调查的4个班征集到的作品数为：（件，
班有（件，
补全条形图如图所示，
所抽取的4个班级作品数量的平均数为（件），
∴估计全校共征集作品数量为（件）；
（3）解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，恰好选取的两名学生是一男一女的有4种情况，
恰好选取的两名学生是一男一女的概率为．
12．（2022·福建泉州·一模）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
【答案】(1)12
(2)
(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
【详解】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为（份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．
故答案为：12；
（2）树状图如下：

根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“”组合的概率为；
（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为：（元），
∵，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．
13．（2023·四川资阳·中考真题）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图；
(2)求A所在扇形的圆心角度数；
(3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
【答案】(1)500，补全图形见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键．
（1）用的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图；
（2）用乘以的人数所占比例即可解答；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
【详解】（1）解：本次调查共抽取了（名）．
选项B的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）解：A所在扇形的圆心角度数为；
（3）解：列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为．
14．（2024·广东·模拟预测）某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；20名学生成绩的中位数是 ．
(2)若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数．
(3)已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率
【答案】(1)4，35，；
(2)名；
(3)．
【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）用20分别减去B、C、D等级的人数得到a的值，再计算B等级人数所占的百分比得到b的值，然后根据中位数的定义求出20名学生成绩的中位数；
（2）用2000乘以样本中A、B等级人数所占的百分比即可；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解；
【详解】（1）解：，
，
即，
将这20名学生的成绩从小到大的顺序排列，排在第10、11的成绩是：92、93，
∴20名学生成绩的中位数为：，
故答案为：4，35，；
（2）解：(名)，
∴估计该校2000名学生中，达到优秀等级的人数为1100名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8种，
∴恰好抽到一男一女的概率．
考点要求
新课标要求
考查频次
命题预测
概率的相关概念
能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率.知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率.
10年7考
概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为7分左右，预计2025年广东中考还将出现. 该专题考题的类型也比较的固定，单独考察时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算;综合考察时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考察概率的树状图或者列表分析. 因为整体难度较小
概率的计算方法
10年连续考查
定义
事件发生的概率
确定事件
必然
事件
在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。
P(必然事件)=1
不可能事件
在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。
P(不可能事件)=0
不确定事件（随机事件）
在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
0＜P(随机事件)＜1
公式法
P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
列举法
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
【注意事项】
1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等.
3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
画树状图法
当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法.
画树状图法求概率的步骤：
1) 明确试验由几个步骤组成；
2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
列表法
当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法.
列表法求概率的步骤：
1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式，计算出事件的概率．
用频率估计概率的方法
通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，甲）
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（乙，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
（丁，丁）
实验种子数量n/颗
100
200
500
1000
2000
5000
发芽种子数量m/颗
93
188
473
954
1906
4748
种子发芽的频率 (精确到)
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
甲（分）
81
82
83
88
90
90
90
92
95
乙（分）
74
75
85
88
89
90
91
97
97
品牌
平均数
中位数
众数
甲
87.9
90
乙
87.3
97
组别
成绩m/分
频数
A
2
B
a
C
14
D
b
E
10
厨艺
绘画
陶艺
街舞
厨艺
(厨艺， 厨艺)
(绘画， 厨艺)
(陶艺， 厨艺)
(街舞， 厨艺)
绘画
(厨艺， 绘画)
(绘画， 绘画)
(陶艺， 绘画)
(街舞， 绘画)
陶艺
(厨艺， 陶艺)
(绘画， 陶艺)
(陶艺， 陶艺)
(街舞， 陶艺)
街舞
(厨艺， 街舞)
(绘画， 街舞)
(陶艺， 街舞)
(街舞， 街舞)
200米
800米
200米
（200米，200米）
（200米，800米）
1000米
（1000米，200米）
（1000米，800米）
种类
数量（份）
A
1800
2300
900
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
等级
成绩/分
频数
A
a
B
7
C
4
D
5