第24讲 圆的相关概念及性质（2考点+15题型）-【含答案】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc180489092" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc180489093" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc180489094" 03考点突破·考法探究
考点一 圆的相关概念
考点二 圆的性质
\l "_Tc180489098" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 圆的相关概念
►题型01 理解圆的相关概念
►题型02 圆的周长与面积相关计算
►题型03 \l "_Tc157234092" 求一点到圆上一点的距离最值
命题点二 圆的性质
►题型01 利用垂径定理求解
►题型02 利用垂径定理的推论求解
►题型03 垂径定理的实际应用
►题型04 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
►题型05利用弧、弦、圆心角关系求角度
►题型06 利用弧、弦、圆心角关系求线段长
►题型07 利用圆周角定理求解
►题型08 直径所对的圆周角为90°问题
►题型09 90°所对的圆周角为直径
►题型10 已知圆内接四边形求角度
►题型11 垂直定理的综合问题
►题型12 圆的基础性质的综合问题
\l "_Tc180489121" 05分层训练·巩固提升
\l "_Tc180489122" 基础巩固
\l "_Tc180489123" 能力提升
考点一 圆的相关概念
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
2. 垂径定理及推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理模型（知二得三）
如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④⑤
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
【易错点】求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧．
3. 弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.
【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化．
4. 圆周角定理
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径.
【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°
【解题思路】
1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化.
2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角．
4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.
2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
命题点一 圆的相关概念
►题型01 理解圆的相关概念
1．（2024·黑龙江大庆·二模）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的弦必相等
【答案】D
【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆是轴对称图形以及垂径定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．根据圆的相关性质逐一判断即可．
【详解】解：A．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故该选项错误；
B．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故该选项错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故该选项错误；
D．同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项正确；
故选：D．
2．（2023·广东阳江·三模）有下列四个命题：
①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；
④三角形的内心到三角形各顶点的距离相等．
其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】本题考查了圆的相关定义，根据圆周角定理，确定圆方法，内心和外心的性质：“根据三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，三角形的内心到三角形各边的距离都相等”，逐个进行判断即可．
【详解】解：①根据圆心角定理可得出，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，故此选项正确；
②根据经过三个不在一条直线的点一定可以作圆，故此选项错误；
③根据三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项错误；
④三角形的内心到三角形各边的距离都相等，故此选项错误；
故正确的有①，共1个．
故选：D．
3．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦的垂直平分线必经过圆心
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．长度相等的弧是等弧
【答案】A
【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．由等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意；
B. 不在同一条直线上的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意；
C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项不正确，不符合题意；
D. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4．（2023·上海普陀·二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
【答案】D
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
C、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．
►题型02 圆的周长与面积相关计算
5．（2023·福建泉州·二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，

∴设小圆的半径为，大圆的半径，
∵像素，，
∴，
在中，，即，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．
6．（2019·广东佛山·一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多D．无法确定
【答案】C
【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L的关系即可．
【详解】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d1,d2,d3,
∴d1+d2+d3=D
根据圆周长公式，得图（1）中，需要2D；
图（2）中，需要D +d1+d2+d3=D +( d1+d2+d3)= 2D
故选：C．
【点睛】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取，所有的直径之和是大圆的直径．
7．（2019·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
【详解】解：6个月牙形的面积之和，
故选A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
8．（2023·河北衡水·二模）设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图1、图2、图3三种可能的设计：

其中合理的设计方案有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】分别计算出3个图形的周长进行判断即可．
【详解】解：图1的周长为：，所以这个设计是合理的；
图2的周长为：，所以这个设计是合理的；
图3的周长为：，所以这个设计是合理的；
∴合理的设计方案有3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的周长计算，正确掌握计算方法是解答本题的关键．
►题型03 \l "_Tc157234092" 求一点到圆上一点的距离最值
9．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦，
，
圆的半径为5，，
，
，
过的最长的弦是圆的直径是10，
经过点的弦的长，
过点的弦的长度最短为8．
故选：B．
10．（2024·山东淄博·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A．12B．24C．14D．28
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．
连接，根据直角三角形的性质得出，说明要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值，过点M作轴于点Q，根据勾股定理求出，得出答案即可．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
点A、点B关于原点O对称，
，
，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值，
过点M作轴于点Q，
则，
，
又，
，
．
故选：D．
11．（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，，
当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．
12．（2023·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，点为坐标平面内任意满足的点，点为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B
【分析】作点关于轴的对称点为，连接，则，当取最大值时，的值最大，点在以点A为圆心，1为半径长的圆上，过点A时最长，此时，则．
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点为，连接，
∵为的中点，点为线段的中点，
∴，
∴当取最大值时，的值最大，
点在以点A为圆心，1为半径长的圆上，
连接并延长交于点C，当点P在点C处时，最大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
∴，
即的最大值为3，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两点间的距离公式，中位线定理的应用，解题的关键是作出辅助线，根据中位线定理，将求的最大值转换为求的最大值．
命题点二 圆的性质
►题型01 利用垂径定理求解
13．（2025·广东广州·一模）如图，都是的半径，交于点．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：都是的半径，，
，
，
，
，
，
，
故选：B ．
14．（2024·广东广州·二模）如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作于H，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长．
【详解】解：过O作于H，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的半径长是5．
故选：A．
15．（2024·陕西西安·二模）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接由垂径定理得设，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可，
【详解】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接，如图所示∶
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∴
在中，由勾股定理得∶
，
即∶’，
解得∶
即截面的半径长是．
故选∶C．
►题型02 利用垂径定理的推论求解
16．（2023·广东佛山·二模）如图，的半径为，弦，是弦上的一个动点，则的长度范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过O点作于C，
∵，
∴，
∴，
∵P点在上运动，
∴即
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，同时涉及到了垂线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念或定理．
17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，的直径经过弦的中点E，连接，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理应用，先根据垂径定理得出，再根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可求出结果．
【详解】解：∵的直径经过弦的中点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
18．（2024·陕西咸阳·二模）如图，四边形内接于，连接，，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，再根据垂径定理的推论得到，继而，再对运用内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∴，
∵，经过圆心，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，以及等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，点为弦的中点，连接、，点是上任意一点，若，则的大小为是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论和圆内接四边形，作所对的圆周角，如图，先利用等腰三角形的性质得到平分，则，再根据圆内接四边形性质得到即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】作所对的圆周角∠APB，如图，

∵点为弦的中点，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
20．（2023·广东河源·一模）如图，为⊙O的直径，是⊙O的弦，点是上的一点，且．若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，交于，根据垂径定理推论，再由垂径定理，再由勾股定理计算，的长，从而求得的长，此题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，交于，

∵，
∴点是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
故选：．
►题型03 垂径定理的实际应用
21．（2023·广西·中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
22．（2023·福建南平·一模）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深寸，锯道尺（1尺寸），则这根圆柱形木材的直径是（ ）
A．12寸B．13寸
C．24寸D．26寸
【答案】D
【分析】延长，交于点，连接，由题意知过点，且，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【详解】解：延长，交于点，连接，
由题意知过点，且，
为半径，
∴尺寸，
设半径，
∵，
∴
在中，根据勾股定理可得：
解得：，
∴木材直径为26寸；
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．
23．（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
24．（2024·浙江绍兴·二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
►题型04 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
25．（2024·上海长宁·二模）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是( )
A．弧弧B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系；根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴，，故A正确；，
∴， ,
∴，故B正确；,
∴，故C错误；
∵，
∴，故D正确；
故选：C．
26．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系无法比较
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解．
【详解】解：如图，过作半径于，连接；
由垂径定理知：，；
；
在中，，则；
，即；
故选：A．
27．（2024·吉林长春·一模）如图，已知小于，在射线上取一点C，以点О为圆心，长为半径作交于点D，连结．以点D为圆心，长为半径作弧，交于点P，再以点P为圆心，长为半径继续作弧，交于点Q，连结，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图—基本作图、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．连接，由题意可知，，则，可得；根据圆周角定理可得，进而可得，；由题意可知，则，
【详解】解：连接，

由题意可知，，
∴，
∴，
故A选项正确，不符合题意；
由圆周角定理得，，
∴，
故B选项正确，不符合题意；
由圆周角定理得，，
故D选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
故C选项不正确，符合题意．
故选：C．
28．（2024·山东济南·二模）已知，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线．
步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C；
步骤3：连接，．
则下列结论不正确的是（ ）
A．B． C．垂直平分D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出，根据垂径定理的推论得出垂直平分，根据圆周角定理得出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】解：．由作图可知：，
，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意；
B．为半圆的直径，
，，
，
，选项B正确，不符合题意；
D．的度数未知，和互余，
不一定等于，
不一定等于，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
►题型05利用弧、弦、圆心角关系求角度
29．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，点A，B，C在上，C为的中点．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．根据C为的中点得到，即可求出，根据圆周角定理可以求出．
【详解】解：∵C为的中点，
∴，
∴，
∴．
故选：A
30．（2024·广东肇庆·一模）如图，是的两条直径，E是的中点，连接，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理等知识，连接，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
31．（2022·广东茂名·二模）如图，在中，点是的中点，点在上，连接、、、．若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，再根据“弧，弦，圆心角的关系”求出，然后根据圆周角定理得出答案．
【详解】解：连接，

∵点B是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理等，理解定理是解题的关键．即圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
32．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．
【详解】解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
►题型06 利用弧、弦、圆心角关系求线段长
33．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于， 点 B 是弧的中点， 是的直径．则的长为（ ）

A．5B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，弧与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，连接，先求得，进而得到，再利用直角三角形的性质求得，又由点是的中点得，进而利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴即，
解得，
故选：C．
34．（2025·陕西·模拟预测）如图，在半径为5的中，弦所对的圆心角分别是．若，则弦的长等于（ ）
A．8B．9C．9.6D．10
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与圆心角之间的关系，作出直径是解题的关键．作直径，连接，则，
导角得到，则，则，再对运用勾股定理求解．
【详解】解：如解图，作直径，连接，则，
∵，而，
∴.
∴.
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴.
故选：A．
35．（2024·陕西西安·一模）如图，是的外接圆，点在圆上，若，，若的半径为，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角之间的关系，勾股定理，由圆周角定理可得，即可由得到，再利用勾股定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
36．（2024·山东德州·一模）如图，A，B，C，D是上的点，，与交于点E，，， ，的半径为（ ）
A．6B．C．5D．
【答案】A
【分析】连接，易得，即可求出，连接，由垂径定理可得，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，即A是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
►题型07 利用圆周角定理求解
37．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，C，D为上的两个点，交于点E，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理．连接，根据圆周角定理求得，，再求得，利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
38．（2025·广东佛山·一模）如图，点、、、在上，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可．
【详解】解：连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
39．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数，再根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是直径，是弦，于点E，
∴，
∴；
故选D．
40．（2024·广东·三模）如图，内接于⊙O，过点O作交⊙O于点D，连接，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键.
根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出的度数，根据垂径定理深圳市出的度数，根据圆周角定理得出结果.
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．

►题型08 直径所对的圆周角为90°问题
41．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，已知是的直径，C 是圆上一点，点D 是 弧中 点，若．则为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理得到，再由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点 D 是弧中点，
∴，
∴，
∴，
故选： C．
42．（2023·广东阳江·一模）如图，为的直径，点C，D在上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，连接，根据圆周角定理求出的度数，根据直径所对的圆周角是直角求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
故选：B．
43．（2024·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握等弧所对的圆周角相等．
根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数，根据圆周角定理，从而得到的度数．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
．
故选．
44．（2023·辽宁营口·中考真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选D．

【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键．
►题型09 90°所对的圆周角为直径
45．（2024·广东汕头·一模）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据直径所对的圆周角是直角求得 根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为圆的内接四边形，
∵是半圆的直径，
故选：B．
46．（2023·广东深圳·一模）如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设射线交于点，连接，证明，勾股定理得出，进而根据，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，设射线交于点，连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角所对的弦是直角，正弦的定义，正方形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
47．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（ ）
A．12B．C．6D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接，由，可得为的直径，当，可得，在中，，则，故可得解．
【详解】解：连接，如图，
∵，即，
∴为的直径，
∵所对的圆周角是，
∴
在中，，
，
故选：A．
48．（2024·山东临沂·一模）如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则的长为（ ）

A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理、三角形的内角和定理、解直角三角形，先根据90度的圆周角所对的弦是直径判断出是直径，再根据圆周角定理求得，，，进而利用锐角三角函数求解即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴是直径，则，
∵C为的中点，
∴，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
故选：D．
►题型10 已知圆内接四边形求角度
49．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
50．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了圆内接四边形，解题的关键是掌握内接四边形的性质．
根据内接四边形性质求出，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
51．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径，点为上一点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理．连接，根据圆周角定理求出，进而求出，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
故选：B．
52．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据等边三角形的性质、圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】解∶是等边三角形，
，
是的平分线，
，
，
四边形内接于，
，
，
故选∶C．
►题型11 垂直定理的综合问题
53．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径．
【答案】的半径为．
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：（舍去），，
故的半径为．
54．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，直径与弦交于点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键：
（1）连接并延长交于H点，如图，利用垂径定理的推论得到垂直平分，则根据等腰三角形的性质得到平分，即，然后利用得到结论；
（3）利用垂径定理得到，则利用勾股定理可计算出，设的半径为r，则，，在中，利用勾股定理得到，解得，所以，接着在中，计算，在中，计算，然后证明，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出的长．
【详解】（1）证明：连接并延长交于H点，如图，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴平分，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
55．（2025·陕西·模拟预测）如图，已知直线与相切于点，点是上一点，连接并延长，分别交于两点，连接，过点作，交于点，连接，与的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的性质定理是解题关键．
（1）先根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的性质定理可得，根据平行线的判定可得，最后根据平行线的性质即可得证；
（2）先根据垂径定理可得，根据勾股定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据求解即可得．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵直线与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵的半径为5，
∴，
由（1）已得：，即，
∴（垂径定理），
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
56．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，

(1)如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长；
(2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，
（1）由，，推出，即可证得，再根据相似三角形对应边成比例解答即可；
（2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的根，即．
答：的长为；
（2）解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点，
则，，
设外半径为，则，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得：，
答：该混凝土管片的外圆弧半径为．
►题型12 圆的性质的综合问题
57．（2024·北京石景山·一模）如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接．
(1)求证：；
(2)连接．若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）由垂径定理可得，则，，进而可得．
（2）如图，连接，连接，设的半径为，由是的直径，可得，由，可得，，则，证明，则，即，可求，则，，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，连接，连接，
设的半径为，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即．
解得，
∴，，
由勾股定理得，，
∵是的直径，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
58．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线．
(1)求的度数；
(2)过点作，垂足为，若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，设，，则，，根据切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，以及三角形内角和定理推导出，根据垂直平分线的性质可得，进而可得是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）延长交于点，根据（1）可得是等腰直角三角形，进而得出是的中位线，得出，，延长至使得，连接，证明，得出是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
设，，则，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，则，
又∵是直径，，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
又∵是直径，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：如图所示，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴垂直平分，则，
∴是的中点，
∴，
∴，，
∵，，则，
∴，
如图所示，延长至使得，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质与判定圆周角定理及其推论，垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键
59．（2023·广东江门·二模）如图，点A、、在上，是直径，的角平分线与交于点，与交于点，且，连接，交于点．
(1)证明：；
(2)试猜想与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据，证得，进而根据垂径定理证得；
（2）先证明是的中位线，得出，进而得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
；
（2）解：猜想．
，，
．
，，
是 的中位线，
，．
．
，，
，
．
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质．
60．（2023·广东·一模）如图所示，在⊙中，为直径，已知，，是 的切线，点H为上一动点（不与点A，M重合），直线交于点C．连接，过点B作于点D，延长交于点E．
(1)求的长度．
(2)若H为的中点，求证：．
(3)是否是一个定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
【答案】(1)的长度为：．
(2)证明见解析
(3)是一个定值，为．
【分析】（1）如图，连接，先求解，再利用弧长公式进行计算即可；
（2）如图，连接，由（1）得：，H为的中点，可得，，，，再求解，从而可得结论；
（3）证明为等边三角形，可得，，证明，结合，可得，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵为直径，已知，
∴，
∵，
∴，
∴的长度为：．
（2）如图，连接，
由（1）得：，H为的中点，
∴，，，，
∵是 的切线，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是弧与圆心角，圆周角之间的关系，弧长的计算，切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练的证明是解（3）的关键．
基础巩固
单选题
1．（2021·广东湛江·一模）下列命题中，是真命题的个数有（ ）
直径是弦；弦是直径；半圆是弧；弧是半圆．
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可．
【详解】解：直径是弦，是真命题；
弦是直径，是假命题；
半圆是弧，是真命题；
弧是半圆，是假命题；
故选：．
【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念．
2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在中，半径垂直弦于D，，，则长为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】此题主要考查了勾股定理，垂径定理和圆周角定理，解题的关键是正确得出是等腰直角三角形．
利用垂径定理得，由圆周角定理得，得出是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】解：半径弦于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∴．
故选A．
3．（2024·广东茂名·一模）如图，为的直径，点为圆上两点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了弦、弧、圆心角之间的关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，连接，由可得，进而得到，又由为的直径，可得，利用直角三角形两锐角互余即可求解，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
故选：．
4．（2024·广东·模拟预测）如图，，为的两条弦，过点的切线交延长线于点，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求得．
【详解】解：连接，
与相切于，
，
，
，
，
，
故选：B．
5．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得，再代入弧长公式计算即可．
【详解】解：，
，
，
的长为：．
故选：C．
二、填空题
6．（2024·广东珠海·一模）如图，点C是的中点，弦米，半径米．则 米．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据点C是的中点，得到，，结合，求解即可得到答案；
【详解】解：∵点C是的中点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．（2023·湖南·中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
【答案】1
【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键．
8．（2020·广东佛山·二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是 ．
【答案】27°
【分析】根据题意易得∠ACB＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∴∠D＝∠A＝27°．
故答案为27°．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
三、解答题
9．（2023·广东清远·一模）如图，在⊙O中，直径，弦，连接．
(1)尺规作图：过点O作弦的垂线，交于点E，交于点D，且点D在劣弧间．
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点F，连接，交于点D，交于点E；
（2）根据垂径定理得到，再求出半径，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，OD为所作；
作法：分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点F，连接，交于点D，交于点E；
证明：连接、、，
由作图得，由圆的性质得，
∴点都在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵直径，
∴，
∴的面积＝．
【点睛】本题考查了作线段的垂线，垂径定理等知识，会作线段的垂直平分线，熟知垂径定理是解题关键．
10．（2022·广东湛江·一模）如图，在中，是的直径，是的弦，，．

(1)求的半径；
(2)连接，过圆心向作垂线，垂足为，求的长．
【答案】(1)的半径为
(2)的长
【分析】（1）如图，连结，根据垂径定理可得的长，设的半径为，在中，由勾股定理即可求解；
（2）如图所示，连结，根据垂径定理可得，可得是的中位线，可得，在中，根据勾股定理可求出的长，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图，连结，

∵，，
∴，
设的半径为，，则，
在中，由勾股定理得，，即，
∴，即的半径为．
（2）解：如图所示，连结，

∵，
∴，
又∵，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长．
【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识是解题的关键．
能力提升
一、单选题
1．（2024·广东肇庆·二模）如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理；连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，等弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴
∵，
∴，
∴
故选：B．
2．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上B．点在内C．点在外D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令与的交点为，
为半径，为弦，且，
，
，
在中，，，，
，
，即的半径为4，
，
点在外，
故选：C．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，过点作于点，由垂径定理得，证明四边形是矩形，得到米，米，设该圆的半径为米，然后根据题意列方程组即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
则米，，
，
，
四边形是矩形，
米，米，
设该圆的半径为米，
根据题意得：，
解得：，
即此月亮门的半径为米，
故选：C．
4．（2022·广东东莞·一模）如图，四边形内接于，已知，，且，若点为的中点，连接，则的大小是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】C
【分析】连接AC，则由，可得，由圆内接四边形对角互补可得出 ，再由三角形内角和即可得出，进而可知 ，由为的中点，等弧所对的圆周角相等，计算求解即可．
【详解】解：连接AC，
∵四边形内接于，，
，
，
，
，
，
∵点为的中点，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，三角形内角和，圆中弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系等知识，正确做出辅助线，熟练掌握圆中弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系是解题关键．
5．（2024·广东·模拟预测）如图，直径为的经过点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识．连接，结合圆周角定理及勾股定理可知，由圆周角定理可知，结合余弦的定义即可求解．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【详解】解：如图，连接，
，
为的直径，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故选：D．
6．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，点O为上一点，以5为半径作分别与相切于D，E两点，与交于点M，连接交于点F，连接．若D为的中点，给出下列结论∶
①平分；②E为的中点；③；④的长度为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】如图，连接，根据切线的性质得到，根据角平分线的性质得到圆心在的平分线上，故①正确；根据平行线的判定定理得到，于是得到，故点为的中点，故②正确；由①知，，得到，求得，故③正确；根据弧长公式得到的长度为，故④正确．
【详解】解：如图，连接，

∵以5为半径作分别与，相切于两点，
∴，
∴圆心在的平分线上，
∴平分，故①正确；
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点为中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
故点为的中点，故②正确；
由①知，，
，
∴，故③正确；
由③可知，
∵，
∴的长度为，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，角平分线的性质，圆周角定理，弧长的计算等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
7．（2024·广东清远·模拟预测）如图， 为的直径， 为的切线，，则的度数为 ．
【答案】/56度
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，先根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据，求出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵ 为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵ 为的切线，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
8．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据圆周角定理及切线的性质结合，证明是等腰直角三角形，再根据直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：是的直径，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
为的中线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
9．（2024·广东中山·模拟预测）与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为 ．
【答案】/
【分析】连接，，，过作于，于，判定四边形是矩形，得到，，由，，得到，由垂径定理得到，求出，得到，由等腰直角三角形的性质求出，，得到，由勾股定理求出，得到，于是得到的纵坐标．
【详解】解：连接，，，过作于，于，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是中点，
，
，
，
，
的纵坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形，坐标与图形的性质，关键是由圆周角定理判定是等腰直角三角形，从而求出、的长，由勾股定理求出的长．
10．（2024·广东江门·二模）如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，首先证明，从而得到的面积等于四边形的面积，证明为等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出，解题的关键是将四边形的面积转化为的面积．
【详解】∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，为 的直径，，连接，过点D作，，垂足分别为E，F，则下列结论正确的是 ．
①；②；③与相切；④若，，则．
【答案】①③④
【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，熟练掌握以上性质是解题关键．
根据已知条件得出，根据圆内接四边形得出，进而得出，根据圆周角定理即可判断①，不能确定，即可判断②，证明得出，根据三线合一得出，进而根据是直径，得出，结合已知条件即可判断③，证明， ，得出，，进而即可求解．
【详解】如图，连接，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
故①正确，
∵不能确定，
∴不一定成立，故②错误，
如图，连接，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相切，故③正确，
∵，
，
，
∴．
∴， ，
在和中，
∵， ，
∴，
∴
∵， ，
∴，
故④正确
故答案为：①③④．
三、解答题
12．（2020·安徽·中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，
求证：；
若求平分．
【答案】证明见解析；证明见解析．
【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；
利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案．
【详解】证明：


为直径，


．
证明：


为半圆的切线，





平分．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
13．（2024·贵州·模拟预测）如图，四边形内接于，，，交于点，，，三点共线．
(1)图中与相等的是_______；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，求出结果即可；
（2）由得，根据等边对等角得，则，由圆周角定理得到，则，即可得到结论；
（3）连接，过点作于点，证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
∴．
（3）解：如图，连接，过点作于点，
，，
．
，
．
四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了锐角三角函数、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．
14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，直径所在的直线垂直于弦，连接，过点C作交于点D，连接．
(1)若，，求的半径；
(2)求证：；
(3)小聪发现，如果将条件“”改为“点D在弧上”，过点A作于E，能得到一个一般性的结论“”．请同学们完成证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用垂径定理和勾股定理求解即可；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再证明得到，进而可得结论；
（3）在上截取，连接、、，设交于G，先利用线段垂直平分线和圆周角定理得到，，再证明得到，然后根据等腰三角形的三线合一得到即可证得结论．
【详解】（1）解：如图，设交于G，连接，
∵直径所在的直线垂直于弦，，
∴，，
在中，，则，
设的半径为r，则，，
在中，由得，
解得，即的半径为；
（2）证明：如图，连接，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图，在上截取，连接、、，设直线交于G，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、等弧所对的弦相等、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，熟知“截长补短”模型，添加合适辅助线构造全等三角形是解答的关键．
考点要求
新课标要求
考查频次
命题预测
圆的相关概念
①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念.
了解等圆、等弧的概念.
10年7考
在广东中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题. 所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三.
圆的性质
圆的对称性
理解圆既是轴对称图形，也是中心对称图形.
10年4考
垂径定理及推论
探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
10年8考
弧、弦、圆心角的关系
探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.
10年考
圆周角定理及推论
了解并证明圆周角定理及其推论.
10年10考
圆内接四边形的性质
理解圆内接四边形的对角互补.
10年5考
定义内容
补充说明
圆
在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O.
由圆的定义可知，确定圆的两个条件
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.
弦
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
①在一个圆上可以画无数条弦和直径.
②直径是弦，但弦不一定是直径.
③直径是最长的弦.
直径
经过圆心的弦叫做直径.
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号：“”表示.
以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.
①半圆是弧,但弧不一定是半圆.
②弧有长度和度数,规定半圆的度数为 180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大于 180°.
半圆
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧
大于半圆的弧叫做优弧.
劣弧
小于半圆的弧叫做劣弧.
同圆
圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.
①在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧.
②同圆或等圆的半径相同.
等圆
半径相等的圆叫做等圆.
同心圆
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.
弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距.
圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．
圆内接四边形
如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.
内容
补充
圆的轴对称性
经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.
①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所没有的性质.
②圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线.
③圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出.
圆的中心对称性
将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.