考点19圆的相关概念与性质（精练）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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1．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弦相等；③等边三角形的外心与内心重合；④任意三点可以确定一个圆；⑤三角形有且只有一个外接圆．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是等弧的概念，弧，弦，圆心角的关系，正多边形的性质，圆的确定，三角形的外接圆的含义，根据基本概念与基本性质逐一分析即可，熟记基本性质是解本题的关键．
【详解】解：能够完全重合的弧是等弧，故①假命题；
在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故②是假命题，
等边三角形的外心与内心重合；故③是真命题，
不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故④是假命题，
三角形有且只有一个外接圆，故⑤是真命题；故选C
2．（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，半径，，点在弦上，，连接，过点作交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，三角函数，勾股定理，连接，，过点作于点，由得到，由勾股定理得到，由三角函数得到，再由勾股定理即可得到，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，，过点作于点，
，，，
在中，∵，，
又∵，∴，，故选：．
3．（2023·河南开封·统考一模）如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作与交于点，交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长；根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理可得的长，即可求出的长度．
【详解】解：过点作与交于点，交于点，连接，如图：

根据题意可得：，∵，∴，
在中， ，，故选：D．
【点睛】本题考查了翻转的性质，垂径定理的推论，勾股定理，掌握翻转是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
4．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ）

A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点B是的中点，是的直径，∴，，∴，
∵，∴，∵，∴，
在中，由勾股定理得，∴，
∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D．

【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5. （2023·重庆 ·校联考一模）如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（ ）

A．5B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】
连接交于F，由垂径定理得，，可证，接着证明得到，计算得，然后设，则，，最后利用勾股定理计算得到BC的长．
【详解】解：连接交于F，如图，D是弧的中点，，，
是直径，，，，E是的中点，，
，，，
，，，设，则，
，在中，，
，解得，即，故选：C．

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，也考查了垂径定理．
6．（2023·山西运城·校考三模）在中，弦和相交于P，且，如果，那么的直径为（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】D
【分析】根据垂径定理的推论可知，的直径为，连接，如图所示，根据同弧所对的圆周角相等可得，从而得到，利用相似比代值求解即可得到答案．
【详解】解：，，根据垂径定理的推论可知，的直径为，
连接，如图所示：，，

，，，
，，解得，，故选：D．
【点睛】本题考查圆中求线段长，涉及同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
7．（2023·湖北孝感·校考一模）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）

A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴．∴的度数20°．故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
8．（2023·浙江·模拟预测）如图，内接于，，，于点．若的长为，则的直径为（ ）

A．B．2C．4D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，连接,，先证是等边三角形，再解求出的长，从而得解，作辅助线构造等边三角形是解本题的关键．
【详解】连接,．，，

，是等边三角形，，
，，，
，的直径为4．故选：C．
9．（2023·广东茂名·统考二模）如图，⊙O的半径为4，直径AB与直径CD垂直，P是上一点，连接PC，PB分别交AB，CD于E，F，若，则BF的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆周角定理、解直角三角形等知识，连接BD，过点F作，证明，设，则，构建方程求出m，即可求解.
【详解】解：连接BD，过点F作于H．∵，∴，

∵，，∴，∴，
∵，∴，
设，则，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．故选：A．
10．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【答案】A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，故选：A．
在中，点、为、的中点，，，
，即，点在以为直径的半圆上，
，点的运动路径长为，故答案为：．
11．（2024上·河南新乡·九年级统考期末）如图，用一块直径为4米的四来布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为 米（用根号表示）．
【答案】
【分析】本题考查正方形和圆的性质、三角函数等，解题的关键建立几何图形与实际问题的对应关系．
根据正方形与圆的性质、正弦函数关系等求解即可．
【详解】四来布展平后的俯视图如下．
根据题意可知，正方形的对角线恰好等于的直径，，最大长度．
∵为正方形的对角线，又是的直径，∴．
由知是直角三角形，∴，
又∵，∴（米）故答案为：．
12．（2024·福建福州·校考一模）一座拱桥的轮廓是一段半径为的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为 ．

【答案】
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可．
【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：

则，，∴，
∴，即这些钢索中最长的一根为，故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
13．（2023·浙江丽水·统考二模）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为 ．

【答案】
【分析】连接，构造相应的直角三角形，利用勾股定理即可求得长．
【详解】解：如图所示，连接，设圆的半径为，

，，，，，
在中，，即，解得：，故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理的应用，在圆内利用垂直于弦的直径构造直角三角形是常用的辅助线方法．
14．（2023·山东·模拟预测）如图，的半径为，四边形内接于，连接，．若，，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，弧长公式，由圆周角定理可得，即可得到，进而得到，再据弧长公式即可求解，掌握弧长的计算公式是解题关键．
【详解】解：如图，连接，，
∵和为所对的圆周角，，
，，，
∵的半径为，劣弧的长为．故答案为：．
15．（2023·山东德州·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．

【答案】
【分析】根据正方形的面积为2，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
【详解】解：连接，则是四边形的外接圆的直径．

正方形的面积为2，，，，
，∴四边形的外接圆的周长；故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形的边长．
16.（2023·广东清远·统考二模）如图，的直径和弦垂直相交于点，，于点，交于点，且，则的半径长为 ．

【答案】
【分析】连接，，，根据垂径定理和圆周角定理得到，，，求出，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据勾股定理得，求出即可．
【详解】解：连接，，，

的直径和弦垂直相交于点，，
，，，，，
，，，，
，，，，，设，
，，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：或（不符合题意，舍去），，
即的半径长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm．
【答案】或
【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可；
【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作

在中∵，∴∴
∵∴∴∵∴
∴∴
∵AB//CD∴AB与CD之间的距离即GH∴AB与CD之间的距离为
②如图，作，连接AD则有四边形PEFD是矩形，∴EF=PD
∵∴∵∴
∵∴∴
∵∴∴故答案为：或
【点睛】本题圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
18.（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，于点E，交于点(1)求证：；(2)若，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】(1)由是的直径，则，而，所以；由点C是的中点，得到，于是，即可得到；
连接，，，可得圆的半径为6，在直角三角形中，由，可得，进而推出等于，再用弧长公式求解即可．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧长的计算，难度适中．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【详解】（1）证明：是的直径，，
又，，，
点C是的中点，，，，
（2）解：连接，，，，
，，，
点C是的中点，，
，的长度．
19.（2023·广东·模拟预测）如图，中两条弦，互相垂直，垂足为，为的中点，连接并延长交于点．(1)求证：；(2)连接，求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）本题根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到，推出，利用同弧所对的圆周角相等推出，对顶角相等得到，最后进行等量代换，即可解题．（2）本题过点作于点，连接，，，，．利用圆周角定理和等腰三角形性质推出，，利用角的等量代换得到，证明，最后结合全等三角形性质和垂径定理，即可解题．
【详解】（1）解：，为的中点，，，
，，，．
（2）解：过点作于点，连接，，，，．
，，．同理得．
，．，．
又，，，，即．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、等腰三角形性质、同弧所对的圆周角相等、对顶角性质、全等三角形的性质和判定、垂径定理，解题的关键在于作辅助线构造等腰三角形和全等三角形．
20．（2023·广西南宁·九年级校考期中）项目化学习：车轮的形状
[问题提出]车轮为什么要做成圆形，这里面有什么原理？
[合作探究]
（1）探究A组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______ ；
（2）探究B组：如图2，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为，求车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差；
（3）探究C组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，车轮轴心为O，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点O经过的路程．
（探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮轴心是否在一条水平线上运动．）
[拓展延伸]如图4，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．
（4）探究D组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”“车轮轴心O”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”所形成路径的大致图案是______．
A． B．
C． D．
（延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O并不稳定．）
【答案】（1）6；（2）；（3）；（4）A
【分析】（1）根据圆的性质进行作答即可；
（2）根据滚动过程，确定最高点，最低点，利用正方形的性质，勾股定理计算求解即可；
（3）根据滚动过程，分别求出三部分的移动距离，然后求和即可；
（4）根据在滚动过程中，其“最高点”与水平面的距离不变；“车轮轴心O”到水平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环，进行判断作答即可．
【详解】（1）解：由圆的性质可知，其车轮轴心O到地面的距离始终为，故答案为：6；
（2）解：如图2，O为正方形中心，于，
由题意知，正方形车轮轴心O距离地面的最高点为，高度为，
最低点为，高度为，∴最高点与最低点的高度差为；
（3）解：∵弓形所对圆心角为，∴，滚动过程如图，
从图1滚动到图2，点绕点旋转，点的运动距离为；
从图2滚动到图3，点绕点旋转，点的运动距离为；
从图3滚动到图4，点的运动距离为以圆心角为，半径为的圆弧的弧长，
即； ∵，
综上，让车轮在地上无滑动地滚动一周，点O经过的路程为，
（4）解：由题意知，当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”与水平面的距离不变；“车轮轴心O”到水平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环，
∴ “最高点”和“车轮轴心O”所形成路径的大致图案是A，故答案为：A．
【点睛】本题考查了圆，正方形的性质，勾股定理，弧长，等边三角形的性质．理解题意，熟练掌握圆，正方形的性质，勾股定理，弧长，等边三角形的性质是解题的关键．
限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）
1．（2023年四川省巴中市中考数学真题）如图，是的外接圆，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用半径相等得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵，，∴，
∵，∴．故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
2．（2023年山东省青岛市中考数学真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，∴，
∵，∴，
∴，∴，故选：C．

【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长．
3．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接, 根据等腰三角形的性质得到, 根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
【详解】连接,
∵,∴∴,
∵,∴是等边三角形,∴ ,

∵，,∴,，∴,
∵,，，
即的半径为 ，故选: .
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.
4．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，，
是半径，且，，
在中，，，解得：，故选B

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
5．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
又∵为直径，即，∴，故选：D．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．
6．（2023年浙江省温州市中考数学真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）

A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，
【答案】C
【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：过点O作于点E，如图所示：

∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，∴；故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．
7．（2023年吉林省中考数学真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴的度数可能是故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．（2023年湖北省十堰市中考数学真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为( )

A．B．7C．8D．
【答案】B
【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长．
【详解】解：作于点M，

在和中，，∴，∴，
又∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，
∵，，∴，
又∵，∴，
∴，∴，
∵，∴∠，∴， ，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
9．（2023年四川省乐山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）

A．8B．6C．4D．3
【答案】D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，当时，，∴，
∴，∴，
∵的底边为定值，∴使得底边上的高最大时，面积最大，
点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，

∵，的半径为1，∴∴，
∵，
∴，∴，∴，故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
10．（2023年江苏省常州市中考数学真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．

【答案】
【分析】连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，，如图：

∵是的直径，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴，在中，，故答案为：．
【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11.（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于
cm．

【答案】10
【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】由题意得：，，
如图，连接，过点作，交于点，交于点，则，

餐盘与边相切，点为切点，四边形是矩形，
，，，四边形是矩形，，
，，，
设餐盘的半径为，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，餐盘的半径为，故答案为：10．
【点睛】本题考查切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．
12．（2023年湖南省郴州市中考数学真题）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．

【答案】4
【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解．
【详解】解：∵，∴对应的圆心角的度数为，
∵，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台；故答案为：4
【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
13．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

【答案】6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4∴，，
∴∴
∵∴∴
∵，∴∴
∴的最小值为的长度∵是等边三角形，，
∴∴的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
14．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．

【答案】
【分析】首先利用已知条件得到为直径，然后可以证明为等腰直角三角形，由此求出，接着把绕逆时针旋转得到，证明为等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：内接于且，
为的直径，，，

弦平分，，，
，，，，
如图把绕逆时针旋转得到，，，
，、、三点共线，为等腰直角三角形，
，．故答案为：，．
【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆、圆周角定理及其推论、角平分线的性质及勾股定理，有一定的综合性．
15．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．

(1)求证：；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可求证；（2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．
【详解】（1）连接，∵，∴，
∵是直径，∴，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴；

（2）如图，连接，∵的平分线交于点B，∴，∴，∴，
∵是直径，∴，∵，
∴，，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．(1)求证：；（请用两种证法解答）
(2)若，的半径为3，，求的长．

【答案】(1)证明见解析(2)8
【分析】（1）证法一：连接，得到，因为，所以；证法二：连接，可得，则，根据，可得，即可得到结果；（2）连接，根据角度间的关系可以证得为直角三角形，根据勾股定理可得边的长，进而求得结果．
【详解】（1）证法一：如图，连接，∵，∴，
∵是的直径，∴，∴
∵，∴，∴，

证法二：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，∴，∴，
∵是的直径，∴，∴，
∴，∴，
（2）解：如图，连接，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴．
∵的半径为3，∴，在中，，
∵，∴，∴，∴，
【点睛】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．
17．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．

(1)求的度数．(2)①求证：．②若，求的值，
(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
【答案】(1)(2)①证明见解析；②；(3)
【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案；
（2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案；
（3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案．
解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）①∵为中点，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴；
②设， ，∴，，
∵，，∴，
∴，即，∴，即，
∴，∴，∴（负根舍去）；
（3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，

∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，而，，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，即，解得：，（负根舍去），
由（2）①知，∴．
解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接，，．
又，，．
，，．
又，，．
又，，．
，．，
，，，
即，得，解得：，（负根舍去），∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
18．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

(1)复习回顾：求的长．(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
【答案】(1)；(2)①见解析；②；③的长为或．
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接，∵的直径垂直弦AB于点E，且，，
∴，，∴，，

在中，，∴；
（2）解：①连接，∵点G是的中点，∴，∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，∴，
∴，∴；
②∵，，，∴，

∵的直径垂直弦AB于点E，∴，∴，
∵，∴，∴，即，∴；
③当时， 在中，，∴，
∵，∴，∴，即，∴；
当时，在中，，
在中，，∴，
同理，∴，即，∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．知识回顾(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；②若的半径为5，，求的长；
逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．

【答案】(1)①；②；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【详解】（1）解：①，，，．
②连接，过作，垂足为，

，，是等腰直角三角形，且，
，，是等腰直角三角形，，
在直角三角形中，，．
（2）证明：延长交圆于点，则，，，
，，，，，为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，，是等腰直角三角形，，
，，，是直径，，，
，，，，，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．
20．（2023年吉林省长春市中考数学真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，．
，．
是等边三角形．，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【答案】感知：；探究：见解析；应用：．
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：由圆周角定理可得，故答案为：；
探究：证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，．
，．
是等边三角形．，，
∴，，，
是等边三角形，，，即；
应用：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，．
，．
，，∴，，
，是等腰直角三角形，
，，即，
，，
，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．