第10讲 一次函数（4考点+23题型）-【含答案】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

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第10讲 一次函数（3~6分）
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc180489092" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc180489093" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc180489094" 03考点突破·考法探究
考点一 一次函数的相关概念
考点二 一次函数的图象与性质
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
考点四 一次函数的实际应用

\l "_Tc180489098" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 一次函数的定义
题型01 一次函数的定义及其参数问题
题型02 求一次函数的自变量或函数值
命题点二 一次函数的图像
题型01 判断一次函数的图像
题型02 \l "_Tc154148233" 根据一次函数图象解析式判断象限
题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
题型04 \l "_Tc154148235" 一次函数与坐标轴交点问题
题型05 一次函数的平移问题
命题点三 一次函数的性质
题型01 判断一次函数增减性
题型02 \l "_Tc154148237" 根据一次函数增减性判断参数取值范围
题型03 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
题型04 求一次函数解析式
题型05 一次函数的规律探究问题
命题点四 一次函数与方程（组）、不等式
题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
题型03 利用图象法解一元一次方程
题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解
题型05 \l "_Tc154148249" 求两直线与坐标轴围成的图形面积
题型06 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
题型07 根据两条直线交点求不等式的解集
命题点五 一次函数的实际应用
题型01 分配问题
题型02 最大利润问题
题型03 行程问题
题型04 现实生活相关问题
\l "_Tc180489121" 05分层训练·巩固提升
\l "_Tc180489122" 基础巩固
\l "_Tc180489123" 能力提升

考点一 一次函数的相关概念
正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数.
一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0；
2）根号里的整个式子要大于或等于0.
4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
考点二 一次函数的图象与性质
一、一次函数的图象特征及性质
二、一次函数图象
三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0)
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当= 0，即b=0时，直线经过原点．
3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系：
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；
2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
五、用待定系数法确定一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
六、正比例函数与一次函数的联系与区别
1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴.
2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关.
3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析.
4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s= QUOTE .
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
一、一次函数与一元一次方程
思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.
从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.
二、一次函数与二元一次方程组
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线.
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
二、一次函数与一元一次不等式
思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围.
从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；
从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.
1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法
考点四 一次函数的实际应用
一次函数的实际应用：
1）一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
命题点一 一次函数的定义
►题型01 一次函数的定义及其参数问题
1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南长沙·一模）函数的图像经过点，则k的值为（ ）
A．1B．C．D．
3．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A．-1B．C．1D．2
►题型02 求一次函数的自变量或函数值
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格：
小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（ ）
A．1B．C．D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，是常数，且，若，则该一次函数的图象必经过点（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·广西桂林·二模）已知一次函数的图象经过点，则a的值为（ ）
A．8B．C．1D．0
8．（2024·陕西西安·模拟预测）点，是一次函数（为常数，且）的图象上的两点，且，则的值为（ ）
A．B．C．3D．6
命题点二 一次函数的图像
►题型01 判断一次函数的图像
9．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ）
11．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
►题型02 \l "_Tc154148233" 根据一次函数图象解析式判断象限
13．（2023·贵州六盘水·一模）一次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．（2024·上海·模拟预测）无论实数m为何值，直线与的交点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．（2018·陕西西安·模拟预测）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）的图象经过点，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数值随的增大而减小
C．函数图象不经过第三象限
D．函数图象与坐标轴围成三角形的面积为
►题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围
17．（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为 ( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
18．（2023·辽宁沈阳·中考真题）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
19．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
►题型04 \l "_Tc154148235" 一次函数与坐标轴交点问题
21．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，若直线与轴交于点，与直线交于点，则交点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称，则直线与轴的交点坐标为( )
A．B．C．D．
24．（2024·山西晋城·三模）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的纵坐标为（ ）
A．4B．C．5D．6
►题型05 一次函数的平移问题
25．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
26．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（ ）
A．B．C．1D．
28．（2023·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点A，将直线沿轴向上平移个单位长度，交x轴于点C，若，则的值为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
命题点三 一次函数的性质
►题型01 判断一次函数增减性
29．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点B．随的增大而增大
C．当时，D．它的图象经过第一、二、三象限
30．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
31．（2024·广东广州·一模）关于函数，下列结论成立的是（ ）．
A．函数图象经过点B．随的增大而增大
C．当时，D．函数图象不经过第一象限
32．（2023·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．函数，y随x增大而增大
B．直线经过第一、二、三象限
C．函数，y随x增大而减小
D．函数的图象向右平移2个单位后，函数解析式为
►题型02 \l "_Tc154148237" 根据一次函数增减性判断参数取值范围
33．（2024·湖南益阳·二模）一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
34．（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（ ）
A．2B．C．D．
35．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
36．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
►题型03 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
37．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
38．（2024·陕西渭南·二模）已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
39．（2023·安徽滁州·二模）已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
40．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
►题型04 求一次函数解析式
41．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
42．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
43．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知一次函数经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数值随增大而增大
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与轴交于点
D．当时，
44．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点A、B，若的面积为3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
►题型05 一次函数的规律探究问题
45．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是( )
A．B．C．D．
46．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，分别以为边作等边三角形使得在同一直线上，该直线交轴于点．若，则点的纵坐标是（ ）

A．B．C．D．
47．（2023·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）

A． B． C． D．
48．（2020·广东广州·一模）如图，直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于B0，B1两点，将B1B0绕B1逆时针旋转135°得B1B0′，过点B0'作y轴平行线，交直线y＝x+1于点B2，记△B1B0B2的面积为S1；再将B2B1绕B2逆时针旋转135°得B2B1'，过点B1'作y轴平行线，交直线y＝x+l于点B3，记△B2B1'B3的面积为S2…以此类推，则△BnBn﹣1'Bn+1的面积为Sn＝（ ）
A．（）nB．（）n﹣1C．2nD．2n﹣1
命题点四 一次函数与方程（组）、不等式
►题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
49．（2021·广东佛山·一模）如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．方程的解是D．随的增大而减小
50．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
51．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）
A．，B．方程的解是
C．当时，D．随的增大而减小
52．（2021·广西贺州·中考真题）直线（）过点，，则关于的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
►题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点
53．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A．B．C．D．
54．（2023·陕西西安·模拟预测）直线关于x轴对称后，与y轴的交点为，则a的值为（ ）
A．0B．2C．－2D．－1
55．（2021·河南安阳·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
56．（2021·安徽合肥·二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
►题型03 利用图象法解一元一次方程
57．（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（ ）
A．B．C．0D．
58．（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
59．（2022·湖北武汉·模拟预测）关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
60．（2020·山西·一模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3
►题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解
61．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．随x的增大而增大
C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
62．（2024·广东深圳·二模）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随x的增大而减小B．
C．当时，D．方程组的解为
63．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
64．（2023·陕西西安·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
►题型05 \l "_Tc154148249" 求两直线与坐标轴围成的图形面积
65．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（ ）
A．2B．3C．5D．6
66．（2024·陕西汉中·二模）已知一次函数（k、b为常数，且）的图象是由正比例函数的图象向右平移3个单位长度后得到的，若一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为9，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
67．（2022·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线都经过，且，设与轴交于点，则的面积为
A．B．C．D．
68．（2023·内蒙古包头·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（ ）

A．B．C．D．
►题型06 由直线与坐标轴交点求不等式的解集
69．（2024·四川眉山·二模）如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
70．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一次函数（k、b为常数，且）与x轴，y轴分别交于两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
71．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线l是一次函数的图象，当时，y的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
72．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（ ）
A．1B．2C．3D．4
►题型07 根据两条直线交点求不等式的解集
73．（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
74．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
75．（2024·贵州·模拟预测）如图，一次函数和一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，
76．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（ ）

A．①④B．①③C．②④D．②③
命题点五 一次函数的实际应用
►题型01 分配问题
77．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片土地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元．
(1)求每个足球和足球锥形桶的单价；
(2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
78．（2024·河南驻马店·一模）今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元．
(1)求甲、乙两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用．
79．（2024·广东广州·一模）人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元．
(1)求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？
(2)若该科创公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？
►题型02 最大利润问题
80．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
81．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元．
(1)求A，B两种香料的单价；
(2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
82．（2024·广东肇庆·二模）某水果商店准备购进苹果和荔枝两种水果，苹果每千克的进价为10元，荔枝每千克的进价为20元，商店为了获得利润，将苹果每千克的售价定为20元，荔枝每千克的售价定为50元．
(1)商店计划用不超过1400元的资金购进苹果和荔枝共100千克，问荔枝的进货数量不超过多超少千克？
(2)因荔枝的保鲜期较短，商店准备对荔枝每千克的售价优惠元，但苹果的售价不变，已知荔枝的进货数量不低于30千克，在（Ⅰ）的条件下，求销售这100千克水果获得利润最大时的进货方案．
►题型03 行程问题
83．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）随着疫情的消失，三年的管控使人们的消费和旅游在年的“五一”假期得以全面释放．小明和小军分别骑车和驾车从本村出发，沿同一条公路去东门外生态公园游玩．小明骑一段时间后，小军驾车出发，结果半路遭遇堵车，当小明追上小军后，小军坐小明的自行车一起去生态公园小军泊车时间忽略不计，如图是小明、小军两人在去生态公园过程中经过的路程与小明出发时间之间的函数图像．请结合图像回答：

(1)村与公园的距离为______ ，小明骑车速度是______ ．
(2)小军在离开村多少公里处遭遇堵车？从小军遇到堵车到追上小明用了多长时间？
(3)直接写出两人何时相距？
84．（2023·广东江门·三模）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(直线)．

(1)轮船的速度是______千米/时，快艇的速度是______千米/时；
(2)分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；
(3)快艇出发多长时间赶上轮船？
85．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
(1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
(2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
►题型04 现实生活相关问题
86．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示．
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ．

请根据以上素材，解答下列问题：
(1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
87．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
88．（2024·山西太原·模拟预测）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．
树的胸径与树高的关系
胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数．由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高-胸径模型来估算树木的高度．
技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高y（单位：m）可以看成胸径x（单位：）的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据：
根据表中的数据，他们在如图所示的平面直角坐标系中描出了坐标点，发现这六个点并不在一条直线上，继续查阅资料，找到如下解决办法：
设树高y与胸径x的函数关系式为，将表格中的数据按x的值从小到大排序后，均分为两组代入得到
第一组：；
第二组：；
分别将两组中的三个式子相加，得到方程组解得，从而得到“一号”柳树树高y与胸径x的一次函数模型为，
技术人员只要测量出“一号”柳树的胸径，就可以利用这个一次函数模型来估算“一号”柳树的高度．

任务：
(1)以上材料中，主要运用的数学思想是___________（从下面的选项中选择两个即可）．
A．模型思想 B．公理化思想 C．统计思想
(2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高y与胸径x的数据如下：
①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高y与胸径x的一次函数模型（函数表达式）．
②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好．
基础巩固
单选题
1．（2024·广东佛山·三模）把直线向上平移三个单位长度后经过点，则b的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东广州·二模）下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象必过原点
B．函数的图象不经过第二象限
C．函数的图象位于第一、三象限
D．函数的图象中，当时，随增大而增大
5．（2023·广东揭阳·一模）如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·广东深圳·二模）如图是小杰同学家中的一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时止，上面玻璃球内的含沙量（）与时间（）之间的函数关系图像大致为（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·广东广州·一模）对于一次函数，下列说法错误的是（ ）
A．随的增大而减小B．图象与轴交点为
C．图象经过第一、二、四象限D．图象经过点
8．（2023·广东深圳·二模）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2024·广东·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，点在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式： ．
10．（2024·广东·模拟预测）一个皮球从16m高处下落，第一次落地后反弹起8m，第二次落地后反弹起4m，以后每次落地后反弹的高度都减半．请写出反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数解析式 ．
11．（2024·广东东莞·三模）已知点，点在直线上，则 ．（填“”“”或“”）
12．（2024·广东阳江·二模）先从，，0，6四个数中任取一个数记为，再从余下的三个数中任取一个数记为．若，则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是 ．
13．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ．
三、解答题
14．（2024·山东青岛·一模）某高速公路通车后，农户的农产品运往外地的运输成本大大降低，一农户需要将，两种农产品定期运往某加工厂，每次运输，产品的件数不变，原来每运一次的运费是元，现在每运一次的运费比原来减少了元，，两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：
(1)求每次运输的农产品中，产品各有多少件？
(2)由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加件，但总件数中产品的件数不得超过产品件数的倍，问：产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
15．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
能力提升
一、单选题
1．（2024·广东汕头·二模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、B．、C．、D．、
2．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
3．（2024·广东广州·一模）已知一次函数经过点，正比例函数不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、第二象限B．第一、第三象限
C．第二、第三象限D．第二、第四象限
4．（2023·广东湛江·一模）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车离开A地的距离与甲行驶时间的函数图象．根据图中提供的信息，有下列说法：①乙车速度是；②m的值为1；③a的值为40；④乙车比甲车早到达B地．其中正确的有（ ）

A．①②③④B．①②C．①②③D．②③④
5．（2022·广东深圳·三模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题
6．（2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ．
7．（2024·广东深圳·二模）如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为
8．（2024·广东深圳·模拟预测）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标，那么点P落在直线上的概率为 ．
9．（2024·广东潮州·一模）如图所示，点，，，…在轴上，点，，，…在直线上．已知，轴，，…，，，则的坐标为 ．
10．（2024·广东中山·三模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形若反比例函数的图象经过点，则的面积为 ．
三、解答题
11．（2024·广东·模拟预测）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角的设计．种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍已知绿萝每盆元，吊兰每盆元．
(1)采购组计划将经费元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值．
12．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标．
13．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，直线与双曲线 在第二象限内交于A，B两点，已知
(1)求的值及直线的解析式；
(2)点C是线段上的一个动点，过点C作轴于点D，交双曲线于点F，E是x轴上一点，当的面积最大时，求点F的坐标．
14．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点要求
新课标要求
考查频次
命题预测
一次函数的相关概念
结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；
10年7考
一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律..
一次函数的图象与性质
解正比例函数；
能画一次函数的图象，根据图象和表达式
y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况.
会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
10年8查
一次函数与方程（组）、不等式
体会一次函数与二元一次方程的关系.
10年8考
一次函数的应用
能用一次函数解决实际问题
10年10考
图象特征
正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0）
增减性
k>0
k0
b=0
b0
b=0
b0时，向上平移b个单位长度；
当b0）或向下（b0时，y的值随x值的增大而增大；
②当k