第07讲 一元二次方程（4考点+19题型）-【含答案】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

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第07讲 一元二次方程（3~8分）
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc180489092" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc180489093" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc180489094" 03考点突破·考法探究
考点一 一元二次方程的相关概念
考点二 解一元二次方程
考点三 一元二次方程根与系数的关系
考点四 一元二次方程的应用
\l "_Tc180489098" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 一元二次方程的相关概念
题型01 一元二次方程的概念
题型02 一元二次方程的一般式及其参数问题
题型03 由一元二次方程的解求参数
命题点二 解一元二次方程
题型01 用直接开平方法解一元二次方程
题型02 利用配方法解一元二次方程
题型03 利用因式分解法解一元二次方程
题型04 利用公式法解一元二次方程
题型05 利用换元法解一元二次方程
题型06 选用合适的方法解一元二次方程
命题点三一元二次方程根与系数的关系
题型01 根与系数的关系
题型02 根与系数的关系的应用
题型03 根与系数的关系的综合问题
命题点四 一元二次方程的实际问题
题型01 分裂（传播）问题
题型02 增长率问题
题型03 营销问题
题型04 行程问题
题型05 数字问题
题型06与图形有有关的问题
题型07 动态几何关系
\l "_Tc180489121" 05分层训练·巩固提升
\l "_Tc180489122" 基础巩固
\l "_Tc180489123" 能力提升
0
考点一 一元二次方程的相关概念
1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）.
2. 一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.
3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断.
4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式.
5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2．
考点二 解一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
2）当b=0时，首选直接开平方法；
3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
考点三 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0 QUOTE ）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝
【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2
1）平方和
2）倒数和 + =
3）差的绝对值 | x1 - x2 |=
=
1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝.
2. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0.
3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值.
4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
04题型精研·考向洞考点四 一元二次方程的应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)．
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
∴m =n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）

命题点一 一元二次方程的相关概念
►题型01 一元二次方程的概念
1．（2023·广东佛山·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、有2个未知数，不符合题意；
B、原方程可化为：，化简后不含项，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意；
故选C．
2．（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，即可判断求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：、方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意；
、方程，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
、方程，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
、方程，是一元二次方程，符合题意；
故选：．
3．（2024·云南昆明·一模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得，，
故选：A．
4．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
►题型02 一元二次方程的一般式及其参数问题
5．（2023·广东东莞·模拟预测）将方程化成的形式，则的值分别为（ ）
A．4，8，25B．4，2，C．4，8， D．1，2，25
【答案】C
【分析】将移项化为一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：将原方程化为一般形式得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键．
6．（2024·湖南常德·一模）一元二次方程的一次项系数为（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一次项的系数的含义，原方程化为一般形式为，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴其一次项系数为；
故选B
7．（2022·福建福州·模拟预测）一元二次方程在用求根公式求解时，，，的值是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】D
【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【详解】∵，
∴，
则 ， ，
故选： D ．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
8．（2023·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴且，
解得：．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
►题型03 由一元二次方程的解求参数
9．（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键．
由题意得，，即，根据，代值求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴，
故选：C．
10．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程解的意义．根据一元二次方程解的意义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
是一元二次方程的实数根，
，
，
又、是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：B．
11．（2024·贵州·模拟预测）若，为方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代入求值，理解一元二次方程解的概念，掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据题意可得，，代入计算即可求解．
【详解】解：∵，为方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：C ．
12．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（ ）
A．B．2023C．D．2024
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键．
由题意知，，则，根据，然后代入计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是，
∴，则，
∴．
故选：D．
命题点二 解一元二次方程
►题型01 用直接开平方法解一元二次方程
13．（2023·广东阳江·一模）一元二次方程的解为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程，利用直接开平方法解方程得出答案．
【详解】解：，
则，
解得：，．
故选：B．
14．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，，解得，故本选项不符合题意；
D、，，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
15．（2023·天津西青·二模）方程的两个根是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．
16．（2023·江苏苏州·一模）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】把看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：方程、，均为常数且的解是，，
对于关于的一元二次方程的解，
即或，
即，，
关于的一元二次方程的解是，．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
►题型02 利用配方法解一元二次方程
17．（2024·云南曲靖·一模）用配方法解方程配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的方法求解即可，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【详解】解：
∴，
∴，
∴，
故选：A．
18．（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等号两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
19．（2023·山西大同·模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解．
【详解】解：，
二次项化系数为1得：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：A．
20．（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：D．
►题型03 利用因式分解法解一元二次方程
21．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）一元二次方程的两个根为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
运用因式分解可得，计算出答案．
【详解】解：
∴
∴
故选：D．
22．（2024·贵州·模拟预测）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，先求出方程的两个根，即可．
【详解】，
解得：，，
∵，是方程的解，
∴，
故选：A．
23．（2024·河南洛阳·一模）方程的根是（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键；根据因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
；
故选：C．
24．（2023·北京东城·模拟预测）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．将代入得到，然后结合得到或，然后求解即可．
【详解】解：∵是关于的方程的根，
∴，得，
，
或或或，
解得或．
故选：A．
►题型04 利用公式法解一元二次方程
25．（23-24九年级安徽安庆）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为，
∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，
∴这个方程为．
故选：D
26．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（ ）
A．B．4C．2D．0
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可
【详解】解：∵是一元二次方程方程的根，
∴，，，
∴，
故选：D
27．（2022·福建福州·模拟预测）一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2B．―2，―1，3C．―2，3，1D．―2，3，―1
【答案】D
【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【详解】∵，
∴，
则a =-2，b =3，c =-1,
故选： D ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
28．（2020·山东临沂·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
【详解】解：∵中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x=，
即，，
故选B.
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．
►题型05 利用换元法解一元二次方程
29．（2023·广东湛江·模拟预测）若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法，熟悉换元法的解题步骤是解题关键．用换元法即可求解即可．
【详解】解：∵方程（b，c是常数）的解是，
∴方程的解是或，
解得：．
故选：A．
30．（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到结论．
【详解】解：设t=y+1，
则原方程可化为at2+bt+c=0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，
∴t1=3，t2=-5，
∴y+1=3或y+1=-5，
解得y1=2，y2=-6．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
31．（2019·广东广州·一模）用换元法解方程时，设，则原方程可变形为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意把原式中的 换成y，然后根据等式的性质变形即可.
【详解】解：根据题意可得：y+ =3，
等式两边同时乘以y可得：y2+2=3y，
移项可得：y2-3y+2=0，
故本题答案应为：A.
【点睛】等式的性质和换元法解方程是本题的考点，熟练掌握等式的性质是解题的关键.
32．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
►题型06 选用合适的方法解一元二次方程
33．（2024·福建宁德·一模）解方程：；
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法解一元二次方程成为解题的关键．
直接运用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
34．（2024·云南曲靖·一模）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）方程整理后用因式分解法求解即可；
（2）用配方法求解即可；
（3）用配方法求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
35．（2024·云南怒江·一模）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法是解此题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
36．（2024·浙江·一模）小红解方程的过程如下：
解： ①
， ②
， ③
． ④
(1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号；
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)第②步开始出现错误
(2)见详解
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
（1）根据等式的基本性质求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：第②步开始出现错误；原②过程应改为，则或，
（2），
，
则，
或，
解得，．
命题点三 一元二次方程根与系数的关系
►题型01 根与系数的关系
37．（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系可得出两根之和为4，从而得出另一个根．
【详解】∵关于x的一元二次方程 的一个根为1，设方程的另一个根为，
∴，
∴，
故选：C．
38．（2024·广东佛山·三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键．
【详解】解：设另一根是，则有
，
解得：，
故选：C．
39．（2023·广东清远·二模）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．根的判别式B．两根之和为
C．两根之积为D．方程的解，
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，是解本题的关键．
由已知方程，写出根的判别式，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，解一元二次方程，逐一判断，即得．
【详解】解：A、∵一元二次方程根的判别式为，
，
∴A正确；
B、设一元二次方程的两根分别为，
则，
∴B正确；
C、设一元二次方程的两根分别为，
则，
∴C正确；
D、解方程，
，
∴，
∴，
∴D不正确．
故选：D．
►题型02 根与系数的关系的应用
40．（2023·广东河源·一模）设、是关于x的方程的两个根，且，则m的值为（ ）
A．5B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答．
【详解】解： ∵、是关于的方程的两个根， 且，
∴， 即的值是 5 ．
故选： A．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系， 一元二次方程的根与系数的关系为：．
41．（2024·广东东莞·三模）已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键；由根与系数的关系得，再直接代入即可求解．
【详解】解：∵的两根是，
，
．
故选：D．
42．（2024·广东广州·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由可知，然后根据根与系数的关系代入计算即可；熟知一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式是关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
经检验时，，符合题意；
故的值为
故选：C．
►题型03 根与系数的关系的综合问题
43．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为， 且求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）结合该一元二次方程有两个实数根，由一元二次方程的根的判别式列出不等式并求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，结合，求出m的值即可获得答案．
【详解】（1）解：在方程中，，
当方程有两个实数根时，，
∴
解得：；
（2）解：由根与系数的关系得：，
∵ ，
∴，
解得：，
由（1）可知 ，
∴．
44．（2023·广东珠海·三模）已知．
(1)化简；
(2)若、是关于的方程的两个实数根，求的值．
【答案】(1)
(2)27
【分析】（1）根据，进行化简即可；
（2）由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴的值为27．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
45．（2022·北京·模拟预测）已知关于 的一元二次方程
(1)若这个方程有两个不相等的实数根， 求 的取值范围；
(2)当 时， 求方程的两个根
【答案】(1)m的取值范围为m＜且m≠0；
(2)x1=0，x2=．
【分析】（1）利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ=（2m+1）2-4m（m+2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）利用根与系数的关系解得m=-2，解方程即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得m≠0且Δ=（2m+1）2-4m（m+2）＞0，
解得m＜且m≠0，
所以m的取值范围为m＜且m≠0；
（2）解：∵，
∴=0，
解得m=-2，
∴原方程为即-2x2+3x=0，
解得：x1=0，x2=．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
46．（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
(1)判断方程是否是“邻近根方程”；
(2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值．
【答案】(1)方程是“邻近根方程”；
(2)48
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用等等：
（1）利用公式法求出，则，据此可得答案；
（2）设关于x的方程的两个实数根为，则由根与系数的关系可得，再根据题意得到，则，据此推出，再由即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
∴，
解得，
∴，
∴方程是“邻近根方程”；
（2）解：设关于x的方程的两个实数根为，
则由根与系数的关系可得，
∵关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值48，即有最大值48．
命题点四 一元二次方程的实际问题
►题型01 分裂（传播）问题
47．（2023·广东阳江·一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？
【答案】(1)人
(2)不超过
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染人，根据题意列方程解方程即可；
（2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染人，进而得到三轮后患病总人数为即可解答．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染人．
根据题意得，
解得，或，
∵，
∴，
答：每轮感染中平均一个人传染人；
（2）解：根据题意可得：
第三轮的患病人数为，
∵，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过人，
答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人；
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键．
48．（2021·广东惠州·二模）某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．
（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
（2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染．
【答案】（1）3台；（2）四
【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论．
【详解】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．
（2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，
经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台，
，
四轮感染后机房内所有电脑都被感染．
故答案为：四．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
49．（2022·广西防城港·一模）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basic reprductin number．更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数．最近，新型冠状病毒变异出德尔塔＋毒株，德尔塔＋变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染．
(1)求德尔塔＋变异病毒的R0值；
(2)国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值也下降40%．若有1人感染德尔塔＋变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
【答案】(1)德尔塔＋变异病毒的R0值为8
(2)全民接种率至少应该达到75%
【分析】（1）由已知列出方程，即可解得德尔塔变异病毒的值；
（2）根据已知列出不等式，即可解得答案．
【详解】（1）解：设R0值为x，根据题意得：
，解，得：（舍去），，
答：德尔塔＋变异病毒的R0值为8；
（2）解：设全民接种率至少应该达到，根据题意得：
，
令，则，
，解得，
即，
，
答：全民接种率至少应该达到．
【点睛】本题考查一元二次方程及不等式的应用，解题的关键是读懂题意，理解的意义，根据已知列方程（不等式）解决问题．
►题型02 增长率问题
50．（2024·广东·模拟预测）某网店以35元/件的进价购进一批纪念品，当售价为60元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件．
(1)求日销售量的平均增长率．
(2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售4件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）设日销售量的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得；
（2）设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元，建立关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设日销售量的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：日销售量的平均增长率为．
（2）解：设旧款纪念品降价元，每天可获得的利润为元，
由题意得：，
这个二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线，
则当时，取得最大值，最大值为1156，此时售价为（元），
答：将旧款纪念品的售价定为每件52元时，每天可获得最大利润，最大利润是1156元．
51．（2024·广东深圳·二模）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
(2)市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
（1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【详解】（1）解：设每次上涨的百分率为，列方程为：
，
解得：，（舍去），
答：每次上涨的百分率为；
（2）解：设销售单价降低元，销售利润为元，
，
∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元．
52．（2023·广东中山·模拟预测）2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”憨态可掬，深受老百姓喜爱．
(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售个，每个盈利元，调查发现：每下降元，每天可多售件．如果每天总盈利要达到最大值，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为，根据题意可得方程解方程即可解答；
（2）设每个“冰墩墩”降价元，每天的总利润为元，根据题意可得总利润与每个“冰墩墩”降价之间的函数关系式即可解答．
【详解】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为，
依题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为．
（2）解：设每个“冰墩墩”降价元，每天的总利润为元，
∴每个盈利元，平均每天可多售出个，
依题意得：，
当时，
最大元，
答：每个冰墩墩降元时，每天总利润最大为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，二次函数与实际问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
►题型03 营销问题
53．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：．
(1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)销售单价为元；
(2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：根据题意得：
整理得：
解得：(不合题意，舍去)，
答：销售单价为元；
（2）解：根据题意得：
，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为：
，
∴关于的函数关系式为：
当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
54．（2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱．
(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？
(2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？
【答案】(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元
(2)当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
（1）设售价定为元，且，依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可；
（2）依题意得，，由，可知当时，y随x的增大而增大，即当时，y有最大值，然后计算求解即可．
【详解】（1）解：设售价定为元，且，
依题意得，，整理得，，
解得，或（舍去），
答：如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元．
（2）解：依题意得，，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大．
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∴当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元．
55．（2024·广东汕头·二模）2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，其中大运会吉祥物蓉宝广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套40元的价格购进一批蓉宝．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．设蓉宝每套的售价定为x 元，该商品销售景y 套
(1)求y 与 x 之间的函数关系式；
(2)若每天销售所获的利润为4800元，求x的值．
【答案】(1)
(2)80或100
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据“该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出解析式，即可求解；
（2）利用总利润每套的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得，，
即：．
（2）由题知，
整理得到，
解得：，．
答：的值为80或100．
►题型04 行程问题
56．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时
(2)的值为
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度；
（2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；
（2）根据题意得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为．
57．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度．
(1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)求飞机滑行的最远距离；
(3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度；
(4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？
【答案】(1)
(2)飞机滑行的最远距离为
(3)此时飞机的滑行速度是
(4)飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险
【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键．
（1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可；
（2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解；
（3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解；
（4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论．
【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
y关于t的函数解析式为，
当时，则，
解得，
y关于t的函数解析式；
（2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为，
答：飞机滑行的最远距离为；
（3）解：，，
，即，
解得：或（舍去），
答：此时飞机的滑行速度是；
（4）解：设飞机滑行的距离为，
则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：，
通勤车与飞机之间的距离为：，
令通勤车与飞机之间的距离0，则，即，
，
方程无解，
在飞机滑行的时间内，飞机不会撞上通勤车，
飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险．
58．（2023·四川成都·一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)480米
(2)70分钟
【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；
（2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，
由题意得：，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解也符合题意，
则，
答：小明每分钟跑480米．
（2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小明从地到地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
►题型05 数字问题
59．（2024·山西朔州·三模）“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设这个最小的数为x，则最大的数为．依题意得，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设这个最小的数为x，则最大的数为．
依题意得．
解得，（不合题意，舍去）．
∴这个最小的数为8．
60．（2023·江苏苏州·一模）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME—14的举办年份．
(1)八进制数3747换算成十进制数是______；
(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．
【答案】(1)2023；
(2)．
【分析】（1）根据所给例子计算即可得解；
（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）
故答案为：2023
（2）由题意，得
，
解得，（舍负）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及一元二次方程的应用，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．
61．（2023·河南开封·一模）阅读材料，解决问题．
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．
则第n个三角数可以用（且为整数）来表示．
(1)若三角数是55，则______；
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和；
(3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可；
（2）根据题意得到前n行所有点数的和为，然后提取公因数2即可得到答案；
（3）根据题意建立方程，求出n不是正整数即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，，即，
∴，
解得（负值舍去），
故答案为：10；
（2）解：由题意得：前n行所有点数的和为
；
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则，即
解得：，
∵n为正整数，
∴前n行的点数和不能为120．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
►题型06与图形有有关的问题
62．（2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为．
(1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？
(2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
【答案】(1)AB的长为
(2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
（1）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值．
【详解】（1）解：根据题意得，，
解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
∴当的长为时，花圃的面积为；
（2）解：花圃的面积，
而由题意：，
即，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时面积最大，最大面积为．
63．（2024·广东汕头·一模）实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数）
请解答下列问题：
(1)图1中长方形的面积_______；图2中长方形的面积_______；
(2)比较与的大小；
(3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)1
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式的加减的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则以及方法是解此题的关键．
（1）根据长方形面积公式结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出答案；
（2）计算出，结合为正整数得出，即可得解；
（3）由题意得出正方形的边长为，结合正方形的面积为即可得出关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，，
故答案为：，；
（2）解：，
由于为正整数，
所以，
所以，
即；
（3）解：因为图1中长方形的周长为，
所以正方形的边长为；
依题意得，
解得，（不合题意，舍去），
答：的值为1．
64．（2024·广东汕头·一模）综合与实践
主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具．
素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）．
目标：
(1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．

(2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒．

【答案】(1)剪去的小正方形的边长为；
(2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，合理将实际问题转化成方程（组）是解题的关键．
（1）设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，列出方程求解即可；
（2）设小长方形的宽为，长，列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得：
，
整理得：
解得：，（舍去），
∴剪去的小正方形的边长．
（2）解：设小长方形的宽为，长，由题意得：
，
解得：，
∴小长方形的宽为，
当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为，
∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
►题型07 动态几何关系
65．（2022·广东湛江·一模）如图，在矩形中，，，动点分别从点 同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．设移动的时间为．

(1)当为何值时，两点的距离最小？最小距离是多少？
(2)当为何值时，两点的距离是 ？
【答案】(1)当时，最小，的最小值为
(2)当或时，两点的距离是
【分析】（1）根据矩形的性质及垂直的定义可知四边形是矩形，再根据路程速度时间列方程解方程即可解答；
（2）根据矩形的性质及垂直的定义可知四边形是矩形，再根据路程速度时间及勾股定理列方程解方程即可解答．
【详解】（1）解：∵在矩形中，
∴，
∵当时，最小，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴当时，最小， 的最小值为，

（2）解：过点作，垂足为，
∴，
∵在矩形中，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
解得， ，
∵，
∴ 当时，，
当时，，
∴两个解都符合实际
答：当或时，两点的距离是．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，路程速度时间，一元一次方程与几何问题，一元二次方程与几何问题，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
66．（2020·广东茂名·模拟预测）（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发 时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？
【答案】（1）或 （2）； （3）或
【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；
（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；
(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．
【详解】解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，
由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，
∵点P和点Q之间的距离是10 cm，
∴62+（16﹣5t）2＝100，
解得t1=，t2=，
∴t＝或.
故答案为或
（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形APEB是矩形，
∴PE＝AB＝6，BE＝6，
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=,
∴当t＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm；
当t＝4 s时，由运动知AP＝3×4＝12 cm，CQ＝2×4＝8cm，
∴四边形APEB是矩形，
∴PE＝AB＝6，BQ＝8，CE=OP=4
∴EQ＝BC﹣CE﹣BQ＝16﹣4﹣8＝4，
根据勾股定理得PQ=,
P，Q两点的距离为2cm.
（3）点Q从C点移动到B点所花的时间为16÷2=8s，
当点P在AO上时，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝4．
当点P在OC上时，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝6或﹣（舍弃）．
当点P在CB上时，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝18＞8（不符合题意舍弃），
综上所述，经过4 s或6 s时，△POQ的面积为12 cm2．
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．
67．（2022·广东湛江·三模）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．

(1)求为多少秒时，的面积为为
(2)当为多少时，以点为顶点的三角形与相似.
【答案】(1)当为或秒时，的面积为为.
(2)或时，以点、、为顶点的三角形与相似
【分析】（1）根据路程速度时间可知，，，再根据三角形的面积公式列方程即可解答；
（2）根据根据路程速度时间可知，，，再根据相似三角形的性质列方程即可解答．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，
∵点P的速度是，点Q的速度是，
∴，，
∵，
∴，
∴的面积为，
即，
解得： ，,
∴当为或秒时，的面积为为；
（2）解：设运动时间为秒，
∵点的速度是，点的速度是，
∴，，
∵，
∴，
①当时，
∴，
即，
解得；
②当时，
∴，
即，
解得．
∴或时，以点、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，路程速度时间，相似三角形的性质，一元二次方程与几何图形，一元一次方程与几何图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
基础巩固
一、单选题
1．（2024·广东汕头·模拟预测）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式，因为方程有两个相等的实数根，说明根的判别式，由此可以得到关于的方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选：C．
2．（2024·广东清远·模拟预测）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此利用判别式求出k的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2024·广东中山·模拟预测）如果是方程的一个根，则的值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入方程，求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
故选：C．
4．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A．9B．15C．12或15D．不能确
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义．
先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当三角形的腰为6，底为3时，得三角形的周长；当三角形的腰为3，底为6时不符合三角形三边的关系，舍去．
【详解】解：，
，
或，
解得：，，
当三角形的腰为6，底为3时，三角形的周长为，
当三角形的腰为3，底为6时，，故不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为15．
故选：B．
5．（2023·广东阳江·一模）杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款在电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量为30000个．若7月25日和7月26日较前一天的增长率为x．则可列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“7月25日和7月26日的总销量为30000个”，分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案．
【详解】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为：
．
故选：C．
6．（2024·广东汕头·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．，D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键．
由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
且．
故选C．
7．（2024·广东梅州·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，，故A正确，B、C错误，
∴，故D错误，
故选：A．
8．（2024·广东惠州·三模）全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意，找到等量关系，列出方程即可，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设参加比赛的球队有支，
由题意可得，，
故选：．
二、填空题
9．（2024·广东湛江·模拟预测）已知是方程的两个实数根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系作答即可．
【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2024·广东深圳·模拟预测）某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．
【详解】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
11．（2024·广东惠州·模拟预测）如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则 ．
【答案】2023
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立．
把代入，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是，
，
即，
．
12．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可．
【详解】解：方程的解为、，
，，
∴．
故答案为：6．
三、解答题
13．（2024·广东·模拟预测）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根；
(3)已知两个不相等的实数满足，求的值．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查解一元二次方程及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解；
（2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解；
（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，将代入，得，
．
黄金分割数大于0，
黄金分割数为；
（2）证明：，
．
．
又，
是一元二次方程的两个根；
（3）解：由题意，令①，②，
①②得，
．
①②得．
为两个不相等的实数，
．
，
，
又，
．
，
，
．
14．（2024·广东汕头·三模）综合与实践
问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
A．B．C．D．
(2)如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______；
(3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积．
【答案】(1)C(2)卫(3)①见解析 ②
【分析】本题考查了正方体侧面展开图，与图形有关的一元二次方程的应用．
（1）根据正方体展开图的几种形状即可判断；
（2）根据正方体展开图即可判断；
（3）①按照要求画出图形即可；
②设正方形的边长为，根据纸盒底面积为，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：由正方体展开图的几种形状知，只有C中形状可以折叠围成无盖正方体，其它均不能；
故选：C；
（2）解：与“小”字相对的字是“士”，与“保”字相对的字是“卫”；
答案为：卫；
（3）解：①所画出的图形如图所示：
②设正方形的边长为，
则，
解得，（不合题意舍去），
此时纸盒的体积为；
答：要剪去的小正方形的边长为，这个纸盒的体积为．
能力提升
一、单选题
1．（2024·广东云浮·一模）关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【详解】
解：由题意，，，，
．，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
2．（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺．
A．2B．10C．8D．6
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．
利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．
【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是尺，根据勾股定理可得：
，
整理得：，
解得（舍去）或．
则门高：．
故选：C．
3．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可．
【详解】解：设宽为x步，则长为步，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键．
4．（2023·广东东莞·模拟预测）小刚在解关于的方程时，只抄对了，发现可以分解为，他核对时发现所抄的比原方程的值大2，比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是D．有两个相等的实数根
【答案】B
【分析】将抄错的方程展开得，则，，，根据他核对时发现所抄的比原方程的值大2，比原方程的值小2得，，即可得正确的方程为，根据求根公式进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
，
则抄错后的方程为，
∴，，，
∵他核对时发现所抄的比原方程的值大2，比原方程的值小2，
∴，，
∴正确的方程为，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题意的关键是理解题意，写出正确的方程，掌握求根公式．
5．（2022·广东深圳·模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9B．k≤3C．﹣9＜k＜6D．k
【答案】A
【分析】设，再把原方程化为，结合根的判别式可得，再由原方程有两个实数根，可得从而可得答案．
【详解】解：∵
∴
∴
设t＝|x﹣3|，
则原方程变形为，
所以Δ＝1﹣4（﹣k﹣9）＞0，解得，
∵原方程有两个解，
∴方程有一正根和负根，
∴
解得k＞﹣9，
∴k的取值范围是k＞﹣9．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程有一个正根与一个负根是解本题的关键．
6．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,
解得,
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．
7．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
二、填空题
8．（2024·广东深圳·三模）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案．
【详解】解：当，则；
由关于x的方程有实数根，
∴，即得，
∴，
∴a的取值范围为且．
当时为一元一次方程，方程有一根．
综上所知a的取值范围为．
故答案为：．
9．（2024·广东佛山·三模）关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ．
【答案】2，24
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根为，根据根与系数的关系得出，根据，得出，整理得出，根据方程的解为正整数，求出结果即可．
【详解】解：设方程的两根为，则
．
∵，
∴，
∴，
得，或．
解得：，或．
∴方程的两根为：2，24．
故答案为：2，24．
10．（2024·广东·二模）若a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．由题意可得，，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
11．（2023·广东佛山·模拟预测）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
先利用根与系数的关系得到，，再计算，然后利用整体代入的方法计算即可求解．
【详解】解：、b是方程的实数根，
，，
．
故答案为：．
12．（2023·广东·二模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则 ．
【答案】11
【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可．
【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆，
第2个图形中一共有个圆，
第3个图形中一共有个圆，
第4个图形中一共有个圆；
可得第n个图形中圆的个数是；
，
解得（舍），，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程．
三、解答题
13．（2023·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同．
(1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？
(2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？
【答案】(1)12只
(2)2197只
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
（1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可；
（2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得：
，
解，得，，(不符合题意舍去)，
答：每只病鸡传染健康鸡12只；
（2）解：，
答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只．
14．（2023·广东湛江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等实数根，求实数m的取值范围；
(2)在，，，0，1，2六个数中任取一个数作为m的取值，代入方程，求使得方程有两个不相等的实数根的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据概率公式求概率，熟练掌握两者间的判定条件即可，注意不要遗漏二次项系数不为0这个要素．
（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，再将给出的数代入判别式，求出即可；
（2）列举出所有情况，让使得方程有两个不相等的实数根的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】（1）∵原方程有两个不相等实数根，
∴，
解得，，
∴实数m的取值范围为：．
（2）在六个数中任取一个数作为m共有6个等可能结果：，，，0，1，2；
由（1）可知，当时原方程有两个不相等实数根，
∴使得方程有两个不相等的实数根的结果有3个：0，1，2，
∴使得方程有两个不相等的实数根的概率为．
15．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务.
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值.
小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可.
小善：由①，得，③
将③代入②，得，解得，
把代入③，解得，
所以原方程组的解为
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务.
(1)任务一：解方程组
(2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、抛物线与x轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.
（1）直接运用整体代入消元法解答即可；
（2）先将代入得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可.
【详解】（1）解：
由①得③
将③代入②，得，解得，
将代入③，解得，
所以原方程组的解为.
（2）解：将代入得
拋物线与轴有唯一的交点，
，解得，
抛物线的解析式为.
16．（2024·广东清远·一模）某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同．
(1)求A，B两种玩具每个进价是多少元？
(2)超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完．销售A型玩具的价格y（单位：元/个）与销售量x（单位：个）之间的函数关系是：；销售B玩具日获利m（单位：元）与销售量n（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？
【答案】(1)每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元
(2)B型玩具的销售单价为13元
【分析】此题考查了分式方程的应用及一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程，再求解．
（1）设B种玩具每种b元，则A种玩具每种元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）由题意得：购进A型玩具x个，则购进B型玩具个，则，解该方程即可求出x的值，进而可得出B种玩具的个数，从而求出销售单价．
【详解】（1）解：设每个型玩具的进价为元，则每个A型玩具的进价为元，可列方程：，
解得，
经检验是原方程的解，
答：每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元；
（2）解：由题意得：购进A型玩具x个，则购进B型玩具个，
依题意可得方程：，
解得（舍去）
则销售B型玩具：（个），日获利：（元），
则每个获利（元），
（元），
故B型玩具的销售单价为13元．
17．（2023·广东深圳·模拟预测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)判断：方程 倍根方程（填“是”或“不是”）．
(2)已知是倍根方程，求与的数量关系．
(3)已知方程是倍根方程，且相异两点，， 都在抛物线上，求方程的根．
【答案】(1)不是；
(2)或；
(3)，．
【分析】（1）求出方程的解后即可利用倍根方程的定义进行判断；
（2）根据是倍根方程，且，得到或即可求解；
（3）利用“倍根方程”的定义及根与系数的关系进行求解．
【详解】（1）解：解方程得：，，
∵，
∴方程不是倍根方程．
（2）解：∵是倍根方程，，，
∴或，
∴，或．
（3）解：∵是倍根方程，
∴设，
∵相异两点，， 都在抛物线上，
∴抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（2023·广东广州·模拟预测）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程的两根为、，则有： ， ．某班学完该内容后，王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设，方程的两个实数根是、，求的值．
小明同学对这道题的解答过程是：解：∵，∴已知方程是，
又∵，，
∴，
∴．
(1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由．
(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求的值．
【答案】(1)错误，理由见解析
(2)当时，原式；当时，原式
【分析】（1）根据使用根与系数的关系的前提条件为，而当时，，即可判断；
（2）根据题意，分别计算，时，根据根与系数的关键进行计算即可求解．
【详解】（1）解：以上练习题的解答是错误的，时，．
故方程无实数根；
（2）∵方程的两个实数根是、，
∴，
∴，
故可取或，
当时，方程为，则，，
原式；
当时，方程为，则，，
原式．
综上所述，当时，原式；当时，原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点要求
新课标要求
考查频次
命题预测
一元二次方程的相关概念
理解一元二次方程的相关概念.
10年4考
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为18分左右.
预计2025年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了．
一元二次方程的解法
理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；
会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；
近10年连续考查
一元二次方程的根与系数的关系
了解一元二次方程的根与系数的关系.
10年7考
一元二次方程的应用
能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
10年8考
一元二次方程的相关概念
概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一般形式： ，
其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解.
解一元二次方程的方法
基本思路
通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
特征
步骤
解法
直接开平方法
形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程
1）方程两边同时除以a，得x2=
2）两边分别开方得x1=，x= -
配方法
可配成
(mx+a) 2=b
形式的
一元二次方程
1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式；
4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解.
【注意】：①当b