2025-2026学年广东省汕头市金山中学南校高二（上）期中数学试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年广东省汕头市金山中学南校高二（上）期中数学试卷（有答案和解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A(3,1,0)，点B(5,−4,−3)，则向量AB的坐标是( )
A. (−2,3,3)B. (−2,−5,3)C. (2,−5,−3)D. (2,5,−3)
2.已知直线l的一个方向向量为l=(1,− 3)，则直线l的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.方程x2+y2+2x−6y+1=0表示的圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. (1,−3)，3B. (−1,3)，3C. (1,−3)，9D. (−1,3)，9
4.已知直线l1：x−λy+1=0，l2：2x−4y+7=0，若l1⊥l2，则实数λ=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
5.已知定点A(0,−2)和B(0,2)，动点P满足|PA|+|PB|=6，则动点P的轨迹方程为( )
A. x29+y25=1B. x25−y29=1C. x25+y29=1D. x236+y232=1
6.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点N在OA上，且ON=NA，点M为BC中点，则NM=( )
A. 12a−12b+12c
B. 12a+12b+12c
C. −12a+12b+12c
D. 12a+12b−12c
7.已知圆C：(x+1)2+y2=r2(r>0)上仅有两个点到直线l：3x−4y−12=0的距离为1，则r的取值范围为( )
A. (2,4)B. (3,5)C. (4,6)D. (5,7)
8.设抛物线y2=4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF=30∘，则|PQ|=( )
A. 23B. 2 33C. 43D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知椭圆C：x23+y24=1，则下列说法正确的是( )
A. (2,0)是椭圆C的一个顶点B. (0,1)是椭圆C的一个焦点
C. 椭圆C的离心率e=12D. 椭圆C的短轴长为2 3
10.以直线x−2y−1=0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. x2=−yB. x2=−2yC. y2=2xD. y2=4x
11.若直线x−y=2被圆(x−a)2+y2=4截得的弦长为2 2，则a可能的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆x2+y2=4上的点到直线4x−3y+25=0的最小距离为 .
13.以椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则C的离心率为 .
14.若直线l：kx−y+2k=0与曲线C: 1−x2=y−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的三个顶点为A(4,0)，B(6,4)，C(4,6).
(1)求过点A且平行于BC的直线方程；
(2)求△ABC的外接圆的标准方程.
16.(本小题15分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，A(0,1)为椭圆E上一点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线y=x+m与椭圆E有且只有一个公共点，求m的值.
17.(本小题15分)
已知平面直角坐标系中两定点为A(−1,2)、B(3,0)，O为坐标原点.
(1)求线段AB的垂直平分线l的方程；
(2)设m>0.动点M满足|BM|=2|OM|，记M的轨迹为曲线C.若曲线C与圆D：x2−6x+y2−2my+9=0外切，求m的值.
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90∘，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2.
(1)证明：PB//平面DEF；
(2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(3)求点P到平面DEF的距离.
19.(本小题17分)
已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点.当直线l⊥y轴时，|AB|=4.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵点A(3,1,0)，点B(5,−4,−3)，
∴由向量坐标运算法则得AB=(2,−5,−3).
故选：C.
根据给定条件，求出向量的坐标运算求解．
本题考查空间直角坐标系中向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：直线l的一个方向向量为l=(1,− 3)，
则直线的斜率为k=− 31=− 3，
因此倾斜角为2π3.
故选：C.
由方向向量得斜率，从而得倾斜角．
本题考查直线的方向向量、直线的斜率、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由x2+y2+2x−6y+1=0，
配方整理可得(x+1)2+(y−3)2=9，
所以方程表示的圆的圆心坐标为(−1,3)，半径为3.
故选：B.
根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而求得圆心坐标和圆的半径．
本题考查了圆的一般方程化标准方程的计算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为直线l1：x−λy+1=0，l2：2x−4y+7=0，若l1⊥l2，
可得1×2−λ×(−4)=0，
解得λ=−12.
故选：D.
由两条直线垂直的充要条件列方程，解得λ的值．
本题考查两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：结合椭圆定义可知，动点P的轨迹为以A，B为焦点且长轴长为6的椭圆，
a=3，c=2，所以b2=5，动点P的轨迹方程为x29+y25=1.
故选：A.
根据椭圆定义即可求解．
本题考查了椭圆定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据条件：NA=12OA=12a,AB=OB−OA=b−a，BM=12BC=12(OC−OB)=12c−12b，
所以NM=NA+AB+BM=12a+b−a+12c−12b=−12a+12b+12c.
故选：C.
根据向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算即可得解．
本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意可知，圆C：(x+1)2+y2=r2(r>0)，
则C(−1,0)，C到l的距离d=|3×(−1)−4×0−12| 32+(−4)2=3，
要使圆C上仅有2个点到l的距离为1，则3−1