广东省汕头市金山中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省汕头市金山中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷，共8页。
已知集合 A  x∣x2  3x  2  0 ，则 A 的真子集个数为（）
A．1B．2C．3D．4
i5
复数在复平面上所对应的点位于（）
1 i
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
直线l 与直线l1 : x  3y  0 及直线l2 : x  y  4  0 相交于同一点，且1,1 为l 的一个方向向量，则l 在 y 轴上的截距为（）
2
1
C．1D．2
如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心 F1 为
1
一个焦点且离心率为 4 的椭圆，地球可看作半径为R的球体，
近地点离地面的距离为 r，则远地点离地面的距离l 为（）
3r  2R
5r  2R
C．
2
5r  2R
5r  2R
D．
3
设a  0 ， b  0 ，直线ax + by - 1 = 0 经过圆 C： x2  y2  2 x  2 y  0的圆心，则 1  1 的最
ab
小值为（）
A．4B．6C．8D．10
2
在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中，AB  BC ，BB1  2，AB  BC  2 ，
M ， N 分别是 B1C1 ， A1B1 的中点，则直线 BM 与直线CN 所成角的余弦值为（）
2 13
13
13
13
5
5
2 5
15
2
已知双曲线C : x
2
5
y
 1 m  0  的虚半轴长为
， F 为双曲线C 的左焦点，点 P 为
mm 1
双曲线C 的右支上的动点，点 A 的坐标为1, 3 ，则 PF  PA 的最小值为（）
A．8B．9C． 19 2
––––→
–––→
D．10
平面内两定点 M 0, 2 和 N 0, 2，动点 P  x, y ，满足 PM  PN  m m  4 ，动点 P 的
轨迹为曲线 E ，下列命题错误的有几个（）
①存在m ，使曲线 E 过坐标原点；
②曲线 E 关于 y 轴对称，但不关于 x 轴对称；
m
③若 P, M , N 三点不共线，则PMN 周长最小值为2
 4 ；
④曲线 E 上与 M , N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为 H ，则四边形GMHN 的面积不大于m .
A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个
二、多选题.本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 6 分，有选错得 0 分，部分选对得部分分． 9．以下四个命题中，正确的是（）
A．设 A2, 0 ， B 2, 0 ，动点 P 满足|?| − |?| = 4，则动点 P 的轨迹为双曲线
2
B．若曲线 x
2
y
 1 表示椭圆，则2  t  5

5  tt  2
C．方程3x2 10x  3  0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
2
D．椭圆 x
y2x2
 1 与双曲线
2
y
 1有相同的焦点
258125
已知圆C :  x  22  y2  4 ，直线l : m 1 x  2 y 1 m  0m  R ，则（） A．直线l 恒过定点1,1
B．当m  0 时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于 1
2
C．直线l 被圆C 截得的最小弦长为2
D．若圆C 与圆 x2  y2  2 x  8 y  a  0恰有三条公切线，则a  8
已知正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 的棱长为 2，P为正方形 ABCD内一动点（含边界），点 M， N，Q分别是棱C1D1 , CC1 , AA1 的中点，下列说法正确的是（）
平面 MNQ与正方体各面的交线是正六边形
对任意的点 P,直线 PM与直线 QN是异面直线
三棱锥 P-MNQ体积的最大值为 1
若P到棱 CD， A1D1 距离相等的点，则点P的轨迹是双曲线的一部分 三、填空题.本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知2sin 3sin2，且   π , 0  ，则tan.
 2

2x2  y2
若点 M  x, y  是圆 x  2
 y2  1上一动点，则 xy  0 的取值范围是．
xy
已知椭圆C ： x2  y2  1a  b  0 ， F ， F 分别是椭圆C 的左、右焦点 F F  2c ，
a2b2121 2
PF1
PF2
1
若椭圆上存在点 P ，满足 1
 1 ，则椭圆C 的离心率的取值范围为.
c
四、解答题.本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分 13 分)在ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别
是a ， b ， c ，且3a 
3c sin B  3b cs C .
求 B ；
2
若 D 是边 AC 的中点， a  2 ， BD  19 ，求ABC 的面积；
16．(本小题满分 15 分)某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的
成绩 x 作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组
（ 50  x  60 ，60  x  70 ，70  x  80 ，80  x  90 ，90  x  100 ）.
求图中a 的值.
若根据这次成绩，年级准备淘汰 80％的同学，仅留 20％的同学进入下一轮竞赛，则成绩至少要达到多少分才可以晋级？
从样本数据在80, 90， 90,100两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同
学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的 2 人恰好来自同一小组的概率.
17．(本小题满分 15 分)如图 1，点 E, F , G 分别是边长为 4 的正方形 ABCD 三边 AB, CD, AD的中点，先沿着虚线段 FG 将等腰直角三角形 FDG 裁掉，再将剩下的五边形 ABCFG 沿着线段 EF 折起，使得平面 AEFG 平面 EBCF ，（如图 2），连接 AB, CG ，O 是四边形 EBCF对角线的交点.
求证： AO / / 平面GCF ；
求直线 AB 与平面GCF 所成角的正弦值；
在棱 AG （含端点）上是否存在点 P ，使得
平面 EBP 与平面GCF 的夹角为45∘ ?若存在，求出点 P 的位置，若不存在，请说明理由.
2
18．(本小题满分 17 分)已知椭圆 x  2  的左，右焦点分别为 F 、 F ，直线
:y112
4
l : y  kx  m m  0 与椭圆 交于 M、N两点，（点 M在点N的
上方），与 y轴交于点 E.
求椭圆 的离心率 e；
若直线l过点 D 1, 0时，设 EM  DM ， EN  DN ， 求证： 为定值，并求出该值；
当k为何值时， OM 2  ON 2 恒为定值，并求此时三角形 MON 面积的最大值. 19．(本小题满分 17 分)已知函数 f  x  x2  ax  5, a  R ．
若关于 x 的方程 f  x  0 在区间1,  内有解，求a 的取值范围；
若关于 x 的方程 f  x   x  1 在区间0, 4 内有两个不等实根 x , x  x  x  ．
xx
求a 的取值范围；
证明： x1  3x2  a  0 ．
1 212
2024 级高二年级第一学期期中考试 数学科答案
 ,  4 3   4 3 ,1 
2
3  3


1, 2 
2
CBADAABB9.CD10.ACD11.ACD12. 213. 14. 
【详解】（1）由3a 
3c sin B  3b cs C ，则3sin A 
3 sin C sin B  3sin BcsC ，
又sin A  sin B  C   sin B cs C  cs B sin C ，
则有3sin B cs C  3cs B sin C  3 sin C sin B  3sin BcsC ，
即 3 cs Bsin C sin C sin B ，又C 0, π，故sin C  0 ，
3
则 3 cs B  sin B ，即tan B ，又 B 0, π ，则 B  π ；
3
–––→1
由 D 是 AC 的中点，则 BD 
2
–––→–––→

BA  BC ，

π 
–––→ 21 –––→–––→ 21  –––→ 2–––→ 2–––→ –––→
则 BD  BA  BC  BA  BC  2 BA  BC cs 
44 3 

即19  1 c2  4  2c ，则c2  2c 15  c  3c  5  0 ，解得c  3 或c  5 （负值，舍去），
44
则 S 1 acsin B  1  2 3  3  3 3.
 ABC2222
【详解】（1）由频率分布直方图得10  (0.016  a  0.040  0.008  0.004)  1 ，所以a  0.032 .
（2）成绩落在[50, 70) 内的频率为： 0.16  0.32  0.48 ，
落在[50,80) 内的频率为： 0.16  0.32  0.40  0.88 ，
则第 80 百分位数m  (70,80) ，因此(m  70)  0.04  0.8  0.48 ，解得 m  78 ，
所以成绩至少要达到 78 分才可以晋级.
由频率分布直方图得成绩在[80, 90),[90,100] 的频率比为2 :1，
因此成绩在[80,90) 内抽取 2  6  4 人，记为a,b,c,d ，成绩在[90,100] 内抽取 2 人，记为 A, B ，
3
设 A “抽到的两位同学来自同一小组”，
样本空间  {ab, ac, ad , aA, aB, bc, bd , bA, bB, cd , cA, cB, dA, dB, AB}，共 15 个样本点，则 A  ab, ac, ad, bc, bd, cd, AB ，共 7 个样本点，
所以选出的 2 人恰好来自同一小组的概率 P( A)  7 ．
15
【详解】（1）取CF 中点 H ，连接OH , GH
∵四边形 BCFE 为矩形，∴点O 为 BF 中点，∴ OH / / BC 且OH  1 BC ，
2
又∵ AG  1 BC 且 AG / /BC ，∴ AG  OH 且 AG / /OH ，
2
∴四边形OHGA 为平行四边形，即 AO / /GH ，∵ GH Ì 平面GCF ，∴ AO / / 平面GCF .
∵ AE  EF ，且平面 AEFG 平面 EBCF ，平面 AEFG ∩ 平面 EBCF  EF ，
∴ AE  平面 EBCF ，又∵ BE  平面 EBCF ，∴ AE  BE ，故以 E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 E  xyz ，
∴ A 0, 0, 2  ， B 2, 0, 0 ， F 0, 4, 0 ， C 2, 4, 0  ， G 0, 2, 2 ，
–––→
AB  2, 0, 2 ， CF  2, 0, 0 ， CG  2, 2, 2  ，设n1  x1 , y1 , z1  为平面GCF 的一个法向量，
–––→ –→
x1  0
CF  n1  2x1  0
 y  1
n  0,1,1
则–––→ –→，解得 1，即 1，
z
 1

CG  n1  2x1  2y1  2z1  0
1
–––→ →
AB  n
–––→ →
AB n
设直线 AB 与平面GCF 所成角为，
–––→ →
21
则sin cs
AB, n
 ，
2 2  22
由（2）可知平面GCF 的一个法向量为n1  0,1,1 ，设存在 P 0, a, 2  ，则 PB  2, a, 2  ， PE  0, a, 2 ，设平面 PEB 的一个法向量为n2  x2 , y2 , z2  ，
–––→ ––→
x2  0
PB  n2  2x2  ay2  2z2  0
 y  2n  0, 2, a 
则–––→ ––→，解得 2，即 2，
z
 a

PE  n2  ay2  2z2  0
–→ ––→ n1  n2 –→ ––→
n1 n2
2
则cs 45  cs
–→ ––→
n1, n2
a  2
，∴ a  0 ，即 P 0,0,2
2
2
2  4  a2
所以存在符合题意的点 P,当 P 点在 A 点处时平面 EBP 与平面GCF 的夹角为45∘ .
3
2
3
y
【详解】（1）由 : x  2  1 ，则a  2, b  1，故c ，所以离心率e  c ；
由题设，联立
4
l : y  k (x 1)
与 :
x2  2
y
4
a2
 1 得，
4k 2 1 x2  8k 2 x  4k 2  4  0 ，
设 M  x1, y1 , N  x2 , y2 
，则 x1
 x2  
8k 2
4k 2 1 ,x1x2
4k 2 4
，
4k 2 1
因为 EM  DM , EN  DN ，所以 x1   x1 1, x2   x2 1
 x  x  x  x  2  
8k 2

4k 2  1 2
 2 8
12212
22；
x 1
x 1
xx x x 1
4k 2  4
8k 23
121 2
12
4k 2  1
4k 2 1 1
 y  kx  m

由题设，联立x2  4y2  4
，消元得4k 2 1 x2  8kmx  4m2  4  0 ，设 M  x , y , N  x , y  ，当
Δ  64k 2m2 16 4k 2 1m2 1  0 ，即 22
时，则 x  x  
8km
,x x
4m 2 4
1 122
，
4k  m
1  0
124k 2 1 1 2
4k 2 1
222
8km2
4m2  48(4k 2m2  m2  4k 2 1)
x1  x2  (x1  x2 )
 2x1 x2  ( 4k 2 1)
 2 
4k 2 1
(4k 2 1)2，
222
x22x2
则 OM
 ON
 x1  1 1  x 2  1 2
44
 2 
32224 k 2m2 6 m2 24 k 2 6
6m2 4k 2 1 6 4k 2 1 
x  x  2  2 
，
412
4k 2 12
4k 2 1 2
当 OM 2  ON 2 为定值时，即与m2 无关，故4k 2 1  0 ，得k   1 ，
4k 2 1 m2
2  m2
2
此时 MN 
 4
k 1x  x 4x x
2

12

2
1 2
m
1 k 2
2 m
5
d 
k 2 1
1 4k 2
1
 5 
，
2 m 2
m2 2  m2
又点O 到直线l 的距离
，所以 S MON  2  d  MN
 m 
 1 ，
2
2  m 2
当且仅当 m ，即m  1时，等号成立，
经检验，此时Δ  0 成立，所以△MON 面积的最大值为 1.
【详解】（1）由题可知， x 1, ， x2   即a  x2  5  x  5 成立，
ax 50
5
xx
x
令 g x   x  5 ,  g  x 在1, 5 上单调递减，在
5,  上单调递增， g 
5   2，
 g x  2 5,, a  2 5 ，解得a  2 5,  a  ,2 5  ．

1
x
1
x
（2）（i）原方程即为 x  a  5   x ，即a  x  5  x ，
xx
2x  4 ,1  x  4
令h  x  x  5  x  1 x
6

xx
 x
, 0  x  1
 
 3 
要使原方程在0, 4 内有两个不等实根，只需 y  a 与 y  h  x 的图象在0, 4 内恰有两个交点．
h  x 在0, 2 上单调递减，在作如图所示的 h  x 的图象：
2, 4上单调递增． h 1  h 2  6, h 
2   4 2, h  2   h 4  9 ，
2
由图可知， 4
 a  9 ，解得9  a  4 2,
所以 a 的取值范围是9, 4 2  .
2
（ii）①因为当1  x  2 时， 4
 2x  4  6 ，所以
x
2
当a  6, 4 2 时，此时1  x  x
 2 ，且2x  4  2x  4
 a ．
12
1x2x
 2x  4  2x
 4 ,  2  x  x
xxx x
  4  4 
12
4  x1  x2 
xx
12
12
12,
211 2
又 x
 x ,  2 
4 ， x x
 2,  x 
2 ，且a   2x
 4  ．
12x x1 21x
2x 
1 22
2 
242x2  2
 x1  3x2  a  3x2  2x2  x2 2
0 ．
x2x2x2x2
②因为当2  x  4 时， 6  2x  4  9 ；当0  x  1时， 6 6,   .
x
所以当a 9, 6 时，此时 2  x
 1  2  x
x
 4 ，且 6  2x
 4  a ．
312
x2x
 x 6
 3x2

, a   2x
 4 
12
3x443x
14x2  2
2x  ， x1  3x2  a  2  3x2  2x2  x2  2 ，
2
2x 2
2 
x2  2
xxx2  2
x2
4x2  43x
2222
xxx 2  2
 2  x2  4,  x2  2  0, 2  0,  x1  3x2  a  0 .
222
综上所述， x1  3x2  a  0 得证.