广东省汕头市金山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份广东省汕头市金山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，请将答题卡上交，设，若，则实数的最大值为，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题：许 可 审题：张培光
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．
4．考试结束后，请将答题卡上交．
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，，，则点A到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
6．设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（ ）
A．B．C．D．
8．设，若，则实数的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得3分．
9．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若，则事件与相互独立
D．若，则
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．若直线的方向向量与平面的法向量夹角等于，则直线与平面所成的角等于
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知，则 ．
13．求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ．
14．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 ．
四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．本小题满分13分
如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值.
16．本小题满分15分
为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出人，并将这人按年龄分组，记第组，第组，第组，第组，第组，得到如下频率分布直方图：
（1）求出频率分布直方图中的值和这人的年龄的中位数及平均数；
（2）从第组中用分层抽样的方法抽取人，并再从这人中随机抽取人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.
17．本小题满分15分
设三个内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.
18．本小题满分17分
如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由.
19．本小题满分17分
已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设．
（1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由；
（2）当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值；
（3）当时，设，已知在上有两个零点，证明：．
2023级高二年级第一学期阶段考试参考答案
一．选择题
二．填空题
12．； 13．或； 14．。
三．解答题
15．本小题满分13分
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以
.
（2）因为，，
所以
=
16．本小题满分15分
【详解】（1）由频率分布直方图性质知：，解得：；
，，中位数位于，设中位数为，则，解得：，即中位数为；
平均数为.
（2）第组的频率之比为，抽取的人中，第组应抽取人，记为；第组应抽取人，记为，则从人中随机抽取人，有，，，，，，，，，，共个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有，，，，共个基本事件；
两人恰好属于同一组别的概率.
17．本小题满分15分
【详解】（1）因为，所以利用正弦定理可得
，又为三角形内角，，
所以，可得，因为，所以；
（2），；由正弦定理，
则，
又为锐角三角形，则，得，则，
故,,
，
即，二次函数的开口向下，对称轴为，在，单调递减，故的取值范围,，即．
18．本小题满分17分
【详解】（1）在中，所以，即.又因为，在平面中，，所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面，由平面，得.由（2）知，且已知，故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，则，.所以，因为为中点，所以.
由知，.
设平面的法向量为，则即令，则.于是.由（1）知平面，所以平面的法向量为.
所以，由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为；
（3）设是线段上一点，则存在使得.因为，
所以.因为平面，所以平面，当且仅当，即.即.解得.因为，所以线段上不存在使得平面.
19．本小题满分17分
【详解】（1）是“反比例对称函数”，理由如下：
由题可知，可知，所以，故是“反比例对称函数”.
（2）由题可知，，此时，因为函数与的图像恰有一个交点，即有一个解，得，令，得仅有一个解，显然，因为，则有，要使仅有一个解，只需，或（舍）所以.
（3）不妨先设，由题可知，
显然，已知有两个零点，则两个零点满足，此时，即，函数与函数，的两个交点横坐标满足；可知利用复合函数单调性可知，当时，单调递增；时，单调递减；由对勾函数性质可知，在时，此时单调递减；在时，此时单调递増，得两函数示意图如右图。
当，此时，相当于函数，故所有的横坐标缩小为原来的倍，故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小如右图所示，故.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
A
B
D
C
A
ABC
AC
ACD