2025-2026学年北京市西城区鲁迅中学八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市西城区鲁迅中学八年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若分式1a−1有意义，则a的取值范围是( )
A. a≠1B. a≠0C. a=1D. 任意数
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 3，4，7B. 5，6，10C. 2，3，6D. 5，6，11
3.下面式子计算正确的是( )
A. (−2a)(−a)2=2a3B. 4a2÷2a2=2a2
C. −(−a2)3=a6D. (a−b)(−a+b)=b2−a2
4.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (x+2y)(x−2y)=x2−4y2B. x2y−xy2−1=xy(x−y)−1
C. 2a2−2a=2(a2−1)D. a2−4ab+4b2=(a−2b)2
5.如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD=EF.要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是( )
A. ∠A=∠B
B. ∠C=∠D
C. AC=BE
D. AD=BF
6.将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于( )
A. 50∘B. 60∘C. 75∘D. 85∘
7.如图，已知∠AOB=58∘，C为射线OB上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，OD为半径作弧，交OC于点F；③以点F为圆心，DE为半径作弧，交上一步作的弧于点G；④连接CG并延长，交OA于点H.则∠AHC的度数为( )
A. 58∘B. 64∘C. 61∘D. 116∘
8.在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，将△ABC按如图所示的方式依次折叠：
有下面四个结论；
①DE平分∠FDC；②BF=AD；③∠ADB=3∠BDF；④△FED的周长等于BC的长.
所有正确结论的序号为( )
A. ①③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.约分：−10mn215m2n= .
10.计算：(3x3y)2= .
11.如图，在△ABC和△DEF，AC=DF，BF=CE，当添加一个条件 时，就可得到△ABC≌△DEF.
12.已知：如图，AD是△ABC中BC边上的高，∠ABC=42∘，AE平分∠BAC，∠ACB=70∘，则∠DAE=______度．
13.若(x2−m)x+4x的展开式中只含有x3项，则m的值为 .
14.数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 .(请填上正确的序号)
15.如果关于x的多项式x2+(m+1)x+4是完全平方式，那么m的值为 .
16.在我国南宋数学家杨辉的《详解九章算法》一书中，给出了展开式(a+b)n的系数规律，如图.
当式子x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，x的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)3a(5a−2)；
(2)a⋅a3−(a2)2+a6÷a2；
(3)(6x4−8x3)÷(−2x2).
18.(本小题10分)
分解因式：
(1)12ab−6b；
(2)x2−9y2；
(3)ax2−4ax+4a.
19.(本小题6分)
已知：如图，C是AE的中点，∠B=∠D，BC//DE.求证：AB=CD.
20.(本小题10分)
(1)计算：(2a−3b)(a+2b)；
(2)先化简，再求值：(2x+1)2−(2x+1)(2x−1)，其中x=−14.
21.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘.
(1)尺规作图，求作∠B的平分线交AC于点E；(保留作图痕迹)
(2)由(1)可知点E到AB，BC的距离相等，依据是______；
(3)取BC边的中点D，连接AD，画出AD边上的高BF；
(4)若△ABC的面积是20，AD=8，则BF=______.(直接写出结果)
22.(本小题7分)
已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求证：
(1)DE=DF.
(2)AD是△ABC的角平分线.
23.(本小题12分)
【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB=6，AC=10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.
【方法探索】(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.这样就能把线段AB，AC，2AD集中在△ABE中.请根据小明的方法思考：
①补全图形，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；
(A)SSS；
(B)SAS；
(C)AAS；
(D)ASA.
②利用三角形的三边关系可以确定AE的取值范围，从而可以得到AD的取值范围是______.
【问题解决】(2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题：
①如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB，∠BDA=∠BAD，证明AC=2AE；
②如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，直接写出线段EF与AD的关系.
【问题拓展】(3)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.
①如图4，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90∘，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG.求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；
②如图5，将△ABC分别以AB，BC，AC为边向外作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACMN，连接DG，FM，NE，则图中有______组偏等积三角形.
【综合运用】(4)如图6，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘(0DE，
∴BF>AD，故②错误；
∵∠ABD=∠CBD，ABC=C=45∘，
∴∠ABC=∠C=2∠DBF=2∠BDF，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=∠BDF+2∠BDF=3∠BDF，故③正确；
∵△CDF是等腰直角三角形，DE⊥CF，
∴DE=CE=EF，
∵BF=DF，
∴△FED的周长=DF+DE+EF=BF+EF+CE=BC，故④正确，
故选：B.
根据折叠的性质得到∠CDE=∠FDE，得到DE平分∠FDC；于是得到故①正确；根据折叠的性质得到∠DEC=∠DEF=90∘，∠C=∠DFC，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠C=45∘，求得∠DFC=45∘，根据平行线的性质得到∠BDF=∠ABD，根据折叠的性质得到AD=DE，∠ABD=∠CBD，求得∠CBD=∠BDF，得到BF=DF，由DF>DE，得到BF>AD，故②错误；由∠ABD=∠CBD，∠ABC=∠C=45∘，得到∠ABC=∠C=2∠DBF=2∠BDF，根据三角形的外角的性质得到∠ADB=∠DBC+∠C=∠BDF+2∠BDF=3∠BDF，故③正确；根据等腰直角三角形的性质得到DE=CE=EF，于是得到△FED的周长=DF+DE+EF=BF+EF+CE=BC，故④正确．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9.【答案】−2n3m
【解析】解：−10mn215m2n=−5mn⋅2n5mn⋅3m=−2n3m，
故答案为：−2n3m.
先确定公因式5mn，再约分即可．
本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
10.【答案】9x6y2
【解析】解：(3x3y)2=9x6y2.
故答案为：9x6y2.
根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11.【答案】AB=DE(答案不唯一)
【解析】解：∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AC=DFBC=EFAB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴添加一个条件AB=DE(答案不唯一)时，就可得到△ABC≌△DEF.
故答案为：AB=DE(答案不唯一).
由全等三角形的判定方法，即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS，HL.
12.【答案】14
【解析】解：∵∠ABC=42∘，∠ACB=70∘，
∴∠BAC=68∘.
∵AD是△ABC中BC边上的高，
∴∠ADC=90∘.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=34∘.
∵∠AEC=∠B+∠BAE
=42∘+34∘
=76∘，
∠ADC=∠EAD+∠AEC，
∴∠EAD=90∘−∠AEC
=90∘−76∘
=14∘.
故答案为：14.
先利用三角形的内角和求出∠BAC，根据三角形的高、角平分线的性质，求出∠ADC、∠BAE，再利用外角和内角的关系先求出∠AEC，再求出∠EAD.
本题考查了三角形的内角和定理及推论，掌握三角形的内角和是180∘，三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和是解决本题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：(x2−m)x+4x=x3−mx+4x=x3+(−m+4)x，
由展开式中只含有x3项，
得到−m+4=0，
则m=4.
故答案为：4.
原式利用单项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含x项，求出m的值．
此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】①②
【解析】解：根据题意可知，在方案①中，左边的图形阴影部分的面积为：a2−b2，右边图形中阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，
故可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可以验证平方差公式，符合题意；
在方案②中，阴影部分的面积相等为：a2−b2，右边阴影部分面积为：(a+b)(a−b)，
可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可以验证平方差公式，符合题意；
在方案③中，阴影部分的面积相等(a+b)2−(a−b)2=4ab，右边阴影部分面积为：2a⋅2b=4ab，
可得：((a+b)2−(a−b)2=2a⋅2b，不可以验证平方差公式，不符合题意．
故答案为：①②．
通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式．
本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是关键．
15.【答案】3或−5
【解析】解：∵关于x的多项式x2+(m+1)x+4是完全平方式，
∴(m+1)x+4=x2+(m+1)x+22，
∴m+1=±2×1×2，
解得：m=3或m=−5，
故答案为：3或−5.
根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可．
本题考查完全平方式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16.【答案】2或4
【解析】解：由题知吗，
(a+b)4的展开式各项系数依次为：1，4，6，4，1，
所以(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
令a=x，b=−3得，
(x−3)4=x4−12x3+54x2−108x+81，
则(x−3)4=1，
解得x=2或4.
故答案为：2或4.
根据题意，得出(a+b)4的展开式，据此得出关于x的等式，再进行求解即可．
本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4是解题的关键．
17.【答案】(1)15a2−6a (2)a4 (3)−3x2+4x
【解析】解：(1)3a(5a−2)=15a2−6a；
(2)a⋅a3−(a2)2+a6÷a2
=a⋅a3−a4+a6÷a2
=a4−a4+a4
=a4；
(3)(6x4−8x3)÷(−2x2)
=6x4÷(−2x2)−8x3÷(−2x2)
=−3x2+4x.
(1)根据单项式乘多项式计算即可；
(2)先算积的乘方，再算单项式的乘除法，然后合并同类项即可；
(3)根据多项式除以单项式的方法计算即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】(1)6b(2a−1) (2)(x+3y)(x−3y) (3)a(x−2)2
【解析】解：(1)12ab−6b
=6b⋅2a−6b⋅1
=6b(2a−1)；
(2)x2−9y2
=x2−(3y)2
=(x+3y)(x−3y)；
(3)ax2−4ax+4a
=a(x2−4x+4)
=a(x−2)2.
(1)利用提公因式法因式分解即可；
(2)利用平方差公式因式分解即可；
(3)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
19.【答案】证明：∵C是AE的中点，
∴AC=CE.
∵BC//DE，
∴∠ACB=∠E.
在△ABC和△CDE中，∠B=∠D∠ACB=∠EAC=CE，
∴△ABC≌△CDE.
∴AB=CD.
【解析】首先利用点C是AE的中点得到AC=CE，然后在根据BC//DE得到∠ACB=∠E，利用AAS证明两三角形全等即可证得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题比较简单，关键是利用已知条件选择合适的证明全等的方法．
20.【答案】(1)2a2+ab−6b2 (2)4x+2，1
【解析】解：(1)(2a−3b)(a+2b)
=2a2+4ab−3ab−6b2
=2a2+ab−6b2；
(2)(2x+1)2−(2x+1)(2x−1)
=4x2+4x+1−4x2+1
=4x+2，
当x=−14时，原式=4×(−14)+2=1.
(1)根据多项式乘多项式计算即可；
(2)先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】(1) 角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 (3) 52
【解析】解：(1)如图，射线BE即为所求．
(2)由(1)可知点E到AB，BC的距离相等，依据是角平分线上的任意一点到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等．
(3)如图，BF即为所求．
(4)∵点D为BC边的中点，△ABC的面积是20，
∴S△ABD=12S△ABC=10，
∴12AD⋅BF=12×8×BF=10，
∴BF=52.
故答案为：52.
(1)根据角平分线的作图方法作图即可．
(2)结合角平分线的性质可得答案．
(3)结合三角形的高的定义画图即可．
(4)由题意得S△ABD=12S△ABC=10，即12AD⋅BF=12×8×BF=10，求出BF即可．
本题考查作图-基本作图、作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】(1)∵点D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB=∠DFC=90∘，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF (2)由(1)可知，DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线
【解析】证明：(1)∵点D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB=∠DFC=90∘，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF；
(2)由(1)可知，DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
(1)证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，即可得出DE=DF；
(2)根据角平分线的判定即可得AD是△ABC的角平分线．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】①B；②2