北京市西城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷（含解析）

这是一份北京市西城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等下列火纹图案中，可以看成处轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是( )
A. B. C. D.
4.下列各式从左到右变形一定正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，是的角平分线若点到的距离为，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如果，那么代数式的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点当四边形的周长最小时，的大小是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算：
______；
______．
10.若分式有意义，则的取值范围是______．
11.计算： ______．
12.如图，为等腰三角形，，，连接，只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是______写出一个即可．
13.如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用张甲种纸片、张乙种纸片和张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______用含，的式子表示．
14.甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为______．
15.在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点，在边上，点，分别在边，上，则的大小是______
16.如图，动点与线段构成，其边长满足，，点在的平分线上，且，则的取值范围是______，的面积的最大值为______．
三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
分解因式：
；
．
18.本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
如图，点，在上，，，，，相交于点．
求证：；
求证：．
20.本小题分
解方程：．
21.本小题分
已知：如图，．
求作：射线，使，且点在直线的下方．
作法：在射线上取一点，过点作射线的垂线，与射线相交于点；
在的延长线上取一点，使；
以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点；
作射线．
所以射线即为所求作的射线．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接，．
，，
______填推理的依据
______．
，
．
在和中，
，( )
≌______填推理的依据
______．
，
即．
22.本小题分
阅读材料：
如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．
例如，，，或，
根据上述材料，解决下列问题：
已知，，或，
若，则 ______；
已知，为整数，若，求用含，的式子表示；
一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，用含，，，的式子表示．
23.本小题分
在中，，点在的内部，，．
如图，线段的延长线交于点，且．
求的度数；
用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果；
如图，点在线段的延长线上，连接交射线于点，且为的中点求证：．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点且与轴垂直对于图形和图形，给出如下定义：将图形关于轴对称的图形记为，图形关于直线对称的图形记为，若图形与图形有公共点，则称图形是图形的“双称图形”．
例如，如图，当时，对于点和第三象限角平分线，点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点在射线上，则点是射线的“双称图形”．
已知点，，图形是以线段为一边在直线上方所作的正方形．
当时，直线和正方形如图所示．
在，，这三个点中，点______是图形的“双称图形”；
点，，，是图形的“双称图形”，求的取值范围；
若图形是它自身的“双称图形”，直接写出的取值范围．
25.本小题分
如图，是等边三角形点是延长线上的一个动点，连接，点在的垂直平分线上，且平分，连接，，过点作于点．
当时，的值为______；
给出下面四个结论：
点一定在的垂直平分线上；
点一定是线段的中点；
当时，；
点运动过程中，的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：
将点与的“变倍距离”记为，
若，则；
若，则
例如，点与的“变倍距离”．
已知点．
若点，，则 ______， ______；
点在轴负半轴上，且，求点的坐标；
点、是第一、三象限角平分线上的两个动点与不重合，若，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】
【解析】解：，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
与不是同类项，无法合并，则不符合题意；
故选：．
利用同底数幂除法法则，幂的乘方及积的乘方法则，合并同类项法则将各式计算后判断即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：点关于轴的对称点坐标是，
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4.【答案】
【解析】解：，则不符合题意；
，则符合题意；
与不一定相等，则不符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
根据分式的性质逐项判断即可．
本题考查分式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】
【解析】解：如图，作于点，
是的角平分线，于点，，
，
，
，
，
故选：．
作于点，利用角平分线的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质可得长，进而可得答案，
此题主要考查了角平分线的性质和直角三角形的性质，关键是熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
6.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
求出，再根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点，，
，，
，
点的横坐标为，
故选：．
由“”可证≌，可得，，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交，于点，，连接，，，，
则，，
四边形的周长，
长固定，
点与重合，点与点重合时，四边形的周长最小，此时，
由对称性和三角形外角性质可知：，，
，
设与交于点，
，，
，
，
，
即当四边形的周长最小时，的大小是，
故选：．
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交，于点，，连接，，，，推出四边形的周长最小时，点与重合，点与点重合，再求出即可解决问题．
本题考查轴对称对短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，能用一条线段表示出三条线段的和的最小值，并确定最小时，的位置是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：；
．
故答案为：，．
根据零指数幂的运算方法计算即可；
根据负整数指数幂的运算方法计算即可．
此题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的运算，解答此题的关键是要明确：是正整数；是正整数；为正整数．
10.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
故答案为：
根据单项式与单项式的运算法则进行计算即可．
此题考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：添加的条件是，
理由是：，
，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
先根据角的和差得到，然后根据全等三角形的判定方法即可解答．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形切的还有．
13.【答案】
【解析】解：用张甲种纸片、张乙种纸片和张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，
这个大正方形的面积，
这个大正方形的边长为：．
故答案为：．
依据题意求得大正方形的面积．再利用正方形的面积公式求得正方形的边长．
本题主要考查了完全平方式，列代数式，熟练掌握完全平方公式和正方形的面积公式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设乙单独清点这批图书需要小时，
根据题意，得，
故答案为：．
先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲小时清点完一批图书的”和“两人合作小时清点完另一半图书”列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．
15.【答案】
【解析】解：为正三角形，
，
五边形是正五边形，
，
，
在中，．
故答案为：．
先根据正三角形的性质求出，再根据正五边形的性质求出，进而可求出，然后根据三角形的内角和定理可求出的度数．
此题主要考查了正三角形和正五边形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正三角形和正五边形的性质是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：的三边：，，，满足三角形三边关系定理，
，
不等式显然成立，
由得：；
延长交延长线于，过作交延长线于，
平分，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
当的面积最大时，的面积最大，
的面积，，，
面积的最大值．
故答案为：，．
由三角形三边关系定理得到，即可求出；延长交延长线于，由证明≌，推出，，得到，又，因此当的面积最大时，的面积最大，而，，即可求出的面积的最大值．
本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，关键是掌握三角形三边关系定理，构造全等三角形．
17.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】提取公因式后利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】解：

；





，
当时，原式．
【解析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，，
，
．
【解析】由全等三角形的性质可得≌，可得；
由全等三角形的性质可得≌，可得，，可证，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】解：原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
经检验，是分式方程的解，
故原方程的解为．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21.【答案】线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
【解析】解：图形如图所示：
证明：连接，．
，，
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
．
，
．
在和中，
，
≌，
．
，
即．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，，，，．
根据要求作出图形；
证明≌，推出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题．
22.【答案】
【解析】解：，
．
，
，
．
故答案为：．
，，，
．
．
．
．
或．
，，，
．
．
．
．
．
和的一组值为：，答案不唯一．
，，那么，根据可得的值；
把中的和换掉，整理，可得的值，进而可得的值；
把中的和换掉，整理得到两个完全平方式相加等于的形式，得到和的一组值即可．
本题考查因式分解的应用．把所给等式整理成含有完全平方式的形式是解决本题的关键．用到的知识点为：；两个数的平方相等，那么这两个数相等或互为相反数．
23.【答案】解：，
，
，，
≌，
，
；
．
理由：≌，
，，
；
证明：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，

，，，
≌，
，
又，
≌，
，
，
，
为的中点，
，
，，
≌，
，
，
≌，
．
【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；
由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，证明≌，得出，证明≌，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】H、
【解析】解：当时，，，
，
四边形为正方形，
，，
设点是图形的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为，
第二次对称轴的坐标为，
，，
，，
和是图形的“双称图形”，
故答案为：、；
由可知，，，，
当与正方形有交点时，
，
；
设点是图形的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为，
第二次对称轴的坐标为，
，，，，
正方形和正方形有交点，
，
．
由于两条对称轴都垂直于轴，所以经过两次对称变化后，点的纵坐标不变；根据正方形的性质，写出，，，的坐标；
设点是图形的“双称图形”，根据两次对称变化的坐标变化，求出，的取值范围，然后判断，，是否是图形的“双称图形”；
根据得出的，的变化规律，求出，，的两次对称后的坐标，然后判断当两次对称后的三角形与正方形有交点时的取值即可；
根据中两次对称后坐标的变化规律，得出，，，两次对称后的坐标，然后根据两个正方形有交点求出的取值范围即可．
本题主要考查了四边形的综合题，根据对称的性质得出坐标变化规律是本题解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：如图，于点，
，
，
，
，
是等边三角形，点在延长线上，平分，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，，，
，
点不在的垂直平分线上，
点不一定在的垂直平分线上，
故错误；
如图，连接，，平分，
垂直平分，
，
点在的垂直平分线上，
，
，
于点，
，
点是线段的中点，
故正确；
如图，连接，
，，，
，
，
，
，
，
，
与不垂直，
故错误；
如图，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
，
点运动过程中，的大小始终不变，
故正确，
故答案为：．
由于点，得，则，所以，由是等边三角形，平分，得，则，所以，于是得到问题的答案；
当时，由，，得，则点不在的垂直平分线上，可判断错误；连接，由，平分，得垂直平分，则，因为点在的垂直平分线上，所以，则，所以点是线段的中点，可判断正确；连接，可证明，则，所以，则，所以与不垂直，可判断错误；由，，得，再证明，，则，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
26.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：，；
设，，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
或；
如图：过点作直线和，其中与交于点，
由一次函数的性质可知，当点在和上时，，
当点在的上方时，，当点在的下方时，，
当，同在的上方，设，，，
，，
，
，
，
此时，，
，符合题意，
；
当，在的两侧，设，，，
，，
，
或或或，
或矛盾，舍去或矛盾，舍去或，
或；
当，在的下方，设，，，
，，
，
，
此时，，，矛盾；
综上所述，或．
根据题干给出的新定义代入计算即可；
根据的取值范围分类讨论；
先找出的点，然后根据，所在位置不同进行分类讨论，排除，重合的情况，即可得出的取值范围．
本题主要考查了一次函数的综合运用，根据两种定义分类讨论是本题解题的关键．