安徽省安庆市2025_2026学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份安徽省安庆市2025_2026学年高二数学上学期期中试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间两点，向量满足，则实数的值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标关系即可求解．
【详解】已知，，则，
因为，所以，
解得．
故选：A．
2. 经过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定圆心坐标，由垂直关系确定斜率，再由点斜式方程即可求解.
【详解】由可得圆心坐标为：，
直线的斜率为，
所以经过圆圆心且与直线垂直的直线的方程为：
，
即，
故选：B
3. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义用表示出，即可得.
【详解】由题意得
.
故选：C
4. 若圆与圆有唯一公切线，则的值为（ ）
A. 或25B. C. 25D. 以上均不对
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知确定圆的圆心和半径，由公切线条数知两圆内切，再由列方程求参数值.
【详解】由，则，半径，
由，则，半径，
所以，而两圆有唯一公切线，即两圆内切，且，
所以，可得，
若显然不成立，
若，
综上，.
故选：B
5. 已知离心率为的椭圆的方程为，则（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆的离心率求法得，进而求目标式的值.
【详解】由题设，可得，
所以.
故选：C
6. 已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线方程易得直线过定点，结合图形进行求解即可.
【详解】直线过定点，
而，，
由图可知，要使直线与线段AB相交，
则或，即k的取值范围是.
故选：B
7. 已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过的母线为，连接，则，以为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求与所成角的余弦值.
【详解】过的母线为，连接，则，又因为，所以，

以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
所以，
所以与所成角的余弦值为.
故选：B
8. 已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解.
【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称，
设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得，
因为，设为直线的倾斜角，则，
所以，所以，
.
所以椭圆离心率的取值范围为.

故选：B.
二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为
B. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
C. ，，，为空间不共面的四点，若；若，，，四点共面，则
D. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】求出向量反向共线情况下对应参数值判断A；根据向量共面及基底的性质判断B；由空间四点共面的性质判断C；根据向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，再应用三角形面积公式求面积判断D.
【详解】A：当时，可得，此时向量夹角为，不符合题意，但，错误，
B：若共面，则存在，使得，而为一组基底，显然不存在使得立，故也可构成一组基底，正确，
C:由，得，若四点共面，则，解得，正确；
D：由题设，则，
所以，则平行四边形的面积为，错误.
故选：BC
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 过两点的直线方程为
C. 已知直线过点且在轴上截距相等，则直线的方程为
D. 若曲线与有两个交点，则实数的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】A将直线化为即可求定点，B注意两点式的使用前提，C注意截距为0的情况，D利用直线与圆的位置关系求出临界情况的参数值，再数形结合判断.
【详解】A：将直线化为，则，可得，即直线过定点，A对，
B：应用两点式直线方程，注意前提是已知两点的横纵坐标均不相等，B错，
C：显然截距为0时，直线为，C错，
D：由是圆的上半部分，如下图示，
若与半圆左上部相切时，且，可得，
若过点时，直线与圆有2个交点，则，可得，
如下图示，当时，直线与恒有2个交点，D对.
故选：AD
11. 如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（ ）

A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点P，使得
C. 若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为
D. 若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等体积法判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积判断B；确定轨迹并求出长度判断C；作出符合要求的正方体的截面并求出面积判断D.
【详解】对于A，在正方体中，平面平面，
则点P到平面距离为定值，的面积为定值，为定值，A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设，，，
不垂直，因此不存在点P，使，B错误；
对于C，连接，平面，平面，则，而，
又平面，则平面，又平面，则.
同理得，又平面，则平面，
由，得平面，又平面，因此点轨迹为平面
与底面交线，即为线段，又，C正确；

对于D，取中点为，连接，平面，
由平行于，平面，得，又，则平面，
又取中点为，则，有四点共面，则平面平面.
平面即为平面，设平面分别与交于，
由平面平面，平面，平面，
则，又都是中点，则是中点，同理是中点，
于是平面截正方体所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则，
所以截面面积为，D正确.

故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 向量在向量上的投影向量的模为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】根据投影向量的概念，在上的投影向量为，再计算模长即可．
【详解】向量在向量上的投影向量为，
所以投影向量的模为．
故答案为：．
13. 已知直线与直线平行，则两直线间的距离为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】根据直线平行的判定列方程求参数值，注意验证，进而求平行线的距离.
【详解】由题设，可得或，
当，，，显然重合，不合题意，
当，，，满足题意，
综上，，此时两直线的距离为.
故答案为：
14. 椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上动点，下面说法正确的是____
①.椭圆离心率为
②.若，则的最大值为5
③.的取值范围为
④.作直线与椭圆相交于，两点，中点为，则
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据已知得求离心率判断①，再由椭圆的定义及，数形结合判断②，由且求范围判断③，设，显然的斜率存在，，联立椭圆并应用韦达定理求参数判断④.
【详解】由题设且焦点在轴上，则，故椭圆标准方程为，
所以且，①错，
由，且，即在椭圆内，
所以，而，
所以，当且仅当共线且在之间时取等号，
所以的最大值为5，②对，
由，且，
所以，③对，
设，显然的斜率存在，，
联立，则，
所以，且，
所以，而为的中点，则，
所以，经验证满足，④对.
故答案为：②③④
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 根据下列条件分别写出直线方程或圆的方程.
（1）求与直线的距离为的直线的方程
（2）已知圆经过，，三点，求圆的方程：
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设所求直线为，应用平行线的距离公式列方程求参数值，即可得；
（2）设，应用待定系数求参数值，即可得.
【小问1详解】
令与直线的距离为的直线的方程为，
所以，可得或，
所求直线为或；
【小问2详解】
令圆过，，三点，
所以，可得，
所以所求圆为.
16. 已知长方体中，，，，分别为，的中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量证明线面垂直即可；
（2）求出直线和平面的方向向量和法向量，利用向量法计算线面角即可；
【小问1详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，
所以，
设是平面的法向量，则，
令，则，所以是平面的一个法向量，
易知，所以也是平面的一个法向量，
平面.
【小问2详解】
同上建立的空间直角坐标系，所以，
设平面一个法向量为，所以，
令，则，所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，由，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
17. 已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线交圆于两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分；
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆心与圆心关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）联立方程组，得到，结合韦达定理，求得，即可得证；
【小问1详解】
由圆，可得圆的圆心为，半径为，
又圆，可得圆心为，半径为，
因为圆心与圆心关于直线对称，得，解得，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
证明：设，，且，
联立方程组，整理得，
则，且，，
则，
所以当不断变化时，轴始终平分.
18. 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由以及即可求解的值，
（2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解.
【小问1详解】
由，可得，解得，
又因为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
解得，，，所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
证明：当与轴重合时，，所以
当不与轴重合时，设，直线的方程为，
由整理得，
则，
故
圆心到直线的距离为，则，
所以，即为定值．
19. 如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.

（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？
【答案】（1）证明见解析
（2）.
（3）点不在内
【解析】
【分析】（1）取的中点，通过证明和，证得平面，可证平面平面；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，向量法求点到平面距离；
（3）设，由平面内可知，再由平面，求出点坐标，判断结论即可.
【小问1详解】
取的中点，连结，，因为，所以，
在中，，所以，
在中，，
在中， ，，，所以，
所以，又因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
连结，，，
，所以，
且，由（1）可知平面，
又因为平面，
所以，，所以两两垂直，
如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，则，
所以点到平面的距离.
【小问3详解】
设，由在平面内可知，
即，
所以，即，所以，
因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，
即，解得，故，
而，可知点不在内.