安徽省合肥市2025_2026学年高二数学上学期期中测试试卷含解析

这是一份安徽省合肥市2025_2026学年高二数学上学期期中测试试卷含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率，进而根据斜率求解倾斜角．
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线斜率，
设直线的倾斜角为，，
则，即．
故选：B．
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程的标准方程，求得双曲线的渐近线．
【详解】双曲线的渐近线方程为，化简得，
故选：A.
3. 设，向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的平行、垂直关系可得，进而可求，结合空间向量的模长公式运算求解.
【详解】因为，所以，解得，
可得，
所以，
故选：C.
4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量加、减运算法则，以基底表示出向量即可.
【详解】
.
故选：D
5. 已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（ ）
A. 点在圆内B. 点在圆上
C. 点在圆外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系.
【详解】因为是方程的两个不等实数根，且.
所以，.
所以点在圆外.
故选：C.
6. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断点在圆上，求出切线的方程以及的值，利用两平行直线间的距离公式即可求解．
【详解】因为满足圆的方程，
所以点圆上，又，所以，
因，则，解得，
故切线：，即.
因为切线与直线平行，所以，解得，
故直线：，
则平行直线与间的距离为.
故选：A.
7. 已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，可得椭圆的方程．
【详解】由题意设椭圆的标准方程为，
联立，消元得，
设两个交点分别为，则弦中点横坐标为，
则结合韦达定理得，即①，
因为焦点，所以有②，
由①②得，
所以椭圆方程为，
故选：C.
8. 已知双曲线是其左右顶点，过点的直线交圆于点，交双曲线的右支于点，且则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设，点是的中点，利用中点坐标公式，点分别在圆和双曲线上，计算可得，结合,进而根据离心率的公式即可求.
【详解】由题，双曲线的左右顶点为，
因为，点是的中点，
设，根据中点坐标公式，
因为点在圆上，所以代入得，
化简得：，又，即，
减去得，解得，
代入，得，解得，
因为点在双曲线上，代入双曲线方程：，化简得，
双曲线中，即，
离心率.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A. 若非零向量满足，，，则有
B. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
C. 任意向量满足
D. 已知向量，，若，则为锐角
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间向量的平行和垂直判断A；根据题意向量线性运算可得判断B；根据数量积的运算律判断C；根据向量夹角公式求解判断D.
【详解】对于A选项，若空间非零向量满足，，，则不一定平行，故A错误；
对于B选项，若、、是空间的一组基底，且，
则，即，
则四点共面，故B选项正确；
对于C选项，因为，不一定共线，故不一定成立，故C选项错误；
对于D选项，当与共线且同向时，有，即，解得（舍去）
即与不能共线且同向，故时，为锐角，
即时为锐角，故D选项正确．
故选：BD．
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点（-3，-3）
B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则
D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2）
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于选项A：将直线整理为，则有，解出这个方程组的解，这个解构成的点就是直线恒过的定点 ；对于选项B：求出圆心到直线的距离，这个距离与半径比较得到所求；对于选项C：两圆有三条公切线，则有两个圆心间的距离等于两个圆的半径和，求解即可；对于选项D：设，由点为直线上一动点，将代入此直线方程整理后得到，求出以为直径的圆的方程，这个圆的方程和圆：相减得到直线的方程，将代入直线的方程得，再求出直线恒过的定点即可.
【详解】对于选项A：将直线整理为，则有，解得，
直线恒过定点，则选项A错误；
对于选项B：圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1. 则选项B正确；
对于选项C：曲线：的圆心为，半径，
曲线：的圆心为，半径，
曲线：与曲线：恰有三条公切线，
，，，则选项C正确；
对于选项D：设，点为直线上一动点，， 即，
以为直径的圆的方程为，即，
圆：和，这两个圆相减得直线的方程为，
代入，得，整理得，
设，解得，即直线经过定点（1，2），则选项D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A. 无论点的位置，总有平面
B. 存在点使得平面
C. 若是的中点，则到平面的距离为
D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，可判断A；由与不垂直，可判断B；将点到平面的距离转换成点到直线的距离即可判断C，设，结合线面角的定义列出等式求解即可.
【详解】对于A，因为，又平面并且平面，
所以平面，故A正确；
对于B，在正方体中易知，与不垂直，故B不正确；
对于C，正方体中易知，，不在平面内，在平面内，
所以平行平面，所以到平面的距离即为到平面的距离，
在正方体中，易知平面平面，且相交于，
所以到平面的距离即为到的距离，又因为点是的中点，
所以点到直线的距离等于点到直线的距离，设距离为，
又，，解得，故C正确；
对于D，设，所以，
计算可得，
所以点到直线的距离为，
根据三角形相似可得点到直线的距离为，
所以直线与平面所成角的正弦为，
所以，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 圆关于直线对称的圆的方程为_______
【答案】
【解析】
【分析】求出圆心关于直线的对称点，即对称圆的圆心，两对称圆的半径相等，再根据圆的标准方程求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，
设关于直线的对称点为，
则，解得，
所以圆关于直线的对称的圆的方程为.
故答案为：.
13. 已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为_______
【答案】
【解析】
【分析】以为空间向量的一组基底，，利用空间向量的加法、减法、数量积运算即可求解.
【详解】
以为空间向量的一组基底，
则，
所以
，
所以.
故答案为：.
14. 已知双曲线的右焦点为，离心率为，过原点的直线与的左右两支分别交于两点，若，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解.
【详解】依题意，记双曲线的左焦点为，连结，如图，
由双曲线的对称性易得，又，
所以四边形是平行四边形，则，
因为双曲线，所以由双曲线的定义可得，则，
记，则，
又，所以，即，，则，
因为，所以，
在中，，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时由于，当且仅当，即时，等号成立，
注意当时，，不满足题意，故，
所以当时，有解，
且由得，满足题意，
所以的最小值为.
故答案为：.
.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线，直线经过点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程；
（2）由直线在两坐标轴上截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程.
【小问1详解】
因为，所以可设直线的方程为．
因为直线经过点，所以，解得．
所以直线的方程为．
【小问2详解】
已知直线在两坐标轴上的截距相等，
若直线过原点，设直线的方程为，
因为直线经过点，所以，
此时直线的方程为，即．
若直线不过原点，设直线的方程为．
因为直线经过点，所以，所以．
此时直线的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
16. 已知圆与圆，则
（1）求圆与圆的公共弦的长；
（2）求经过点以及圆与圆交点的圆的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立圆的方程得出公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求出圆到直线的距离，再利用弦长公式求解；
（2）利用圆过圆交点设圆系方程，再利用该圆过交点求解．
【小问1详解】
联立圆方程圆得两圆公共弦所在直线方程为，
圆到直线的距离为，又圆的半径，
两圆的公共弦长为．
【小问2详解】
设经过圆与圆交点的圆系方程为，
该圆系经过点，
，解得，
该圆方程为，即．
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱上，且满足.
（1）求四棱锥的高；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出的面积，利用锥体体积公式可求出四棱锥的高；
（2）取中点，连接，分析可知平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（3）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值.
【小问1详解】
因为底面为矩形，，，
则，
设到底面的距离为，
，故四棱锥的高为.
【小问2详解】
取中点，连接，
为等边三角形，且，，平面，
又平面，，
又，，、平面，平面，
平面，平面平面.
小问3详解】
因为平面，底面为矩形，且，
如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，，
设平面的一个法向量，
，取，得，
设直线与平面的夹角为，
.
故直线与平面的夹角的正弦值为.
18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心､椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点（直线与轴不重合）.在轴上是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，点的坐标为和.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的短半轴长及圆的标准方程，再利用点到直线的距离公式及椭圆的离心率公式，结合椭圆中三者的关系即可求解；
（2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及点在直线上，结合斜率的公式即可求解.
【小问1详解】
由题意知，直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，即.
因为，所以.
故椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
因为直线过点且与轴不重合，所以可设直线的方程为.
联立方程，得化简并整理得
设，则.
所以
设存在点，则直线与的斜率分别为，
所以
令，解得或.
当时，；
当时，.
因此，满足条件点的坐标为和.
19. 设点在曲线上，在曲线上，且满足 ，
（1）求曲线的方程；
（2）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线．
（3）人教版必修第一册92页，我们探究过函数的图象与性质．如图，轴和直线是它的渐近线，其图象不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．实质上，它也是圆锥曲线中的双曲线，试求出函数对称轴的方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）和
【解析】
【分析】（1）根据题意将代入曲线即可；
（2）根据设，分和两种情况，结合两点间距离公式可得，即可得结果；
（3）根据题设定义及双曲线的性质，可得对称轴为直线和，再求出和，即可求解．
【小问1详解】
将代入曲线可得，
即；
【小问2详解】
设方程上任意一点，
则
=
，
当时，，
当时，，
根据双曲线得定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线；
【小问3详解】
函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且轴和直线是它的渐近线可知，
对称轴为直线和；
又，得，解得，
又，所以，得，
又，
所以对称轴的方程为和．