安徽省安庆市部分学校2025_2026学年高二数学上学期12月教学质量检测试卷含解析

这是一份安徽省安庆市部分学校2025_2026学年高二数学上学期12月教学质量检测试卷含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟：满分：150 分）
第 I 卷（选择题）
一、单选题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1. 如图所示，在 A，B 间有四个焊接点 1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电
路不通的情况的种数为（ ）
A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】按照焊接点脱落的个数分类讨论，运用分类加法计数原理求解即可.
【详解】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落 1 个，则有 共 2 种情况，
若脱落 2 个，则有 共 6 种情况，
若脱落 3 个，则有 共 4 种情况，
若脱落 4 个，则有 共 1 种情况，
由分类加法计数原理，情况种数共有 种．
故选：B．
2. 若直线 始终平分圆 的周长，则 的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出给定圆的圆心坐标，利用圆心在直线 上求解即可.
【详解】由圆 ，即 ，则圆心为 ，
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由题意知，圆心 直线 上，
则 ，即 .
故选：D．
3. 一种如图 1 所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图 2 所示的抛物线．在轴截面内的卫星波
束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点 F 处，已知接收天线的口径（直径）
为 4m，深度为 1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（ ）
A. 1m B. 2.88m C. 5.76m D. 1.44m
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，根据题意求得相关点坐标，代入抛物线方程求得参数，即
可求得结果.
【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为 ，
接收天线的口径（直径）为 ，深度为 ，
，故点 ，将点 A 的坐标代入抛物线的方程，
可得 解得 ，∴抛物线的方程为 ，
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焦点的坐标为 ，即 ，∴抛物线焦点到顶点的距离为 1m．
故选：A．
4. 如图，在平行六面体 中， 与 的交点为 ，若 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，根据题意，将 利用线性运算表示成 的关系，然后利用待定系数法即可
求解出 .
【详解】由已知，在平行六面体 中， 与 的交点为 ，
所以
所以 .
故选：C.
5. 入射光线 l 从 出发，经 y 轴反射后，通过点 ，则入射光线 l 所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】先求出点 的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可.
【详解】因为 关于 y 轴的对称点 ，
所以直线
因此入射光线 l 所在直线的方程为 ，
故选：C．
6. 已知点 ， ，圆 ： ，在圆 上存在点 满足
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可知可知点 的轨迹是以 为直径的圆（ 除外），且圆 与圆 有公共点，结合两圆的位
置关系列式求解即可.
【详解】因为 ，
可知点 的轨迹是以 为直径的圆（ 除外），即圆心为 ，半径 的圆，
且圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
由题意可知：圆 与圆 有公共点，
则 ，即 ，且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B.
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7. 当 变动时，动直线 与定圆 相切，则圆 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】变形给定的直线方程，求出定点到动直线的距离（定值）得圆的圆心及半径，进而求出圆面积.
【详解】直线 ，即 ，
，
当 变动时，点 到直线 的距离 为常数，
因此动直线 与圆 相切，
由动直线 与定圆 相切，得圆 的圆心为 ，半径 ，
所以圆 的面积为 .
故选：C
8. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，不经过 且斜率为 的直线交 于 ， 两点.当 的
周长最大时， （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义证明当直线 过点 时， 的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点
横坐标，根据弦长公式求结论.
【详解】椭圆 的左焦点 的坐标为 ，则椭圆的右焦点 的坐标为 ，
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由椭圆的定义可得 ， ，
所以 的周长为 ，
又 ，所以 ，当且仅当 在线段 上时取等号，
所以当直线 过点 时， 的周长最大，
又直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
联立 ，消 可得 ，所以 或 ，
所以 ，
所以当 的周长最大时， ，
故选：C.
二、多选题：（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选顶中，有多项
符合题目要，全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.）
9. 已知神舟十三号天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面 千米，远
地点距地面 千米，地球半径为 千米，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的短轴长为 千米 B. 椭圆的短轴长为 千米
C. 椭圆的焦距为 千米 D. 椭圆的长轴长为 千米
【答案】CD
【解析】
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【分析】根据远地点以及近地点的距离，列出方程组 ，可求得 ，由此求
得椭圆的短轴，长轴以及焦距，从而可判断每个选项的正误;
【详解】设椭圆的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，
则
解得 ,
所以 ，
故椭圆的短轴长为 千米，A 错误，B 错误；
，故 C 正确，D 正确,
故选：CD.
10. 下列给出的命题中正确的有（）
A. 若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
B. 点 P 为平面 ABC 上的一点，点 O 是平面 ABC 外一点，且 ，则
C. 若直线 l 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线
D. 已知 ，则 在 上的投影向量为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用空间向量基底的意义判断 A；利用共面向量的推论计算判断 B；利用空间位置关系的向量证明
判断 C；求出投影向量判断 D.
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【详解】对于 A，设 ，
展开： ，
由于 线性无关，得方程组： ，
解得 ，因此它们线性无关，仍是基底，A 正确；
对于 B，由 ，点 在平面 ABC 上，
得 ，解得 ，B 正确；
对于 C，由 ，得 ，则 或 ，C 错误；
对于 D， ，所以 在 上的投影向量为 ，D 错误.
故选：AB
11. 伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系
xOy 中，把到定点 距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线，已知点 是
的双纽线 C 上一点，下列说法正确的是（ ）
A. 若直线 交双纽线 C 于 A，B，O 三点（O 为坐标原点），则
B. 双纽线 C 上满足 的点有 1 个
C. 的面积的最大值为
D. 的周长的取值范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由已知 ，代入坐标整理即可得出方程，即可判断 A，令 ，求出 ，即可判断
B，根据面积公式判断 C，首先根据余弦定理，以及基本不等式判断 D.
【详解】对于 A，由双纽线的定义得： ，
即 ，化简得： ，
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当 时，点 P 的轨迹方程为 ，
令 ，解得 或 ，所以 ，A 正确；
对于 B， ，由 ，得点 P 在 y 轴上，
在方程 中，令 ，解得 ，
则满足 的点 P 为 ，只有一个，B 正确；
对于 C， ，
当且仅当 ，即 时取等号，C 正确；
对于 D， 的周长为 ，设 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，当 时， ，而点 P 不能在 x 轴上，则 ，
于是
即 ，则 ，
，因此 的周长的取值范围为 ，D 错误．
故选：ABC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 用1、2、3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个1相邻出现，则这样的四位数有__________
个．（用数字作答）
【答案】60
【解析】
【分析】分为三种情况：四位数中没有 1，四位数中有 1 个 1，若四位数中有 2 个 1 分别求出个数最后求和
即得结果.
【详解】若四位数中没有 1，共有 个，
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若四位数中有 1 个 1，共有 个，
若四位数中有 2 个 1，则这两个 1 不能相邻，有 种放置方法，
其余两位各有 2 种选择（2 或 3），故共有 个.
因此共有 60 个．
故答案为：60．
13. 双曲线 的一个焦点在抛物线 的准线上，则抛物线的标准方程为__________
．
【答案】
【解析】
【分析】先根据双曲线方程求出其焦点坐标，再结合抛物线准线方程与双曲线焦点的关系，求出 p 的值，
进而得到抛物线的标准方程.
【详解】设双曲线 的焦距为 ，
由双曲线 的方程可得： ，解得： ，
所以双曲线的焦点坐标为： ，
因为抛物线的准线方程为： ，且 ，所以 ，
故双曲线的焦点 在抛物线的准线上，
由题意可得 ，解得： ，
所以抛物线的方程为： ，
故答案 ： ．
14. 阿波罗尼斯（约公元前 262－190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 且
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为 6 的正方体 中，点
是 BC 的中点，点 是正方体表面 上一动点（包括边界），且满足 ，则三棱锥
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体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，在平面 中作 ，求解
最值，根据勾股定理得出 ， ，再由二次函数的单调性求 的最大值，
代入棱锥体积公式得答案．
【详解】解： 在棱长为 的正方体 中， 是 的中点，
点 是面 所在的平面内的动点，且满足 ，
， ，即 ，
在平面 中作 ，设 ， ，
，化简得 ， ，
所以当 时， 取得最大值为 ，所以 ，
在正方体中 平面 ，又 ，
三棱锥 的体积最大值 ．
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故答案为： ．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知两条直线 ．
（1）求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若 ， 不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为 A，B，求 ．
【答案】（1）证明见解析，
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）变形直线 方程，进而求出定点坐标即可.
（2）由给定条件可得 ，进而求出 值，再利用平行线间距离公式求解.
【小问 1 详解】
由直线 变形得： ，
对任意实数 ，当 ，即 时，恒有 ，
所以直线 过定点，该定点的坐标为 .
【小问 2 详解】
由 ， 不重合，且垂直于同一条直线，得 ，
因此 ，解得 或 ，
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当 时， ，则 ；
当 ，即 ， ，则 ，
所以 等于 或 ．
16. 已知圆 C 过点 ，圆心在 y 轴正半轴上，且与直线 相切．
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）已知过点 的直线 l 交圆 C 于 A，B 两点，且 的长度为 ，求直线 l 的方程．
【答案】（1）
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）设圆心为 ，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求 ，进而得圆心和半径，
可得圆 C 的标准方程.
（2）问题转化为已知弦长，求弦所在直线方程问题求解.注意要讨论弦所在的直线的斜率是否存在.
【小问 1 详解】
设圆心为 ，依题意
，
所以 解得 （满足 ）
．
故圆 的标准方程为 ．
【小问 2 详解】
由 的长度为 ，则 ，
①若 l 斜率不存在，则 ，代入圆 C 得
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解得 或 ，
满足 ．
②若 l 斜率存在，设斜率为 k，则直线 ，即 ，
由圆心 C 到直线 l 的距离为 ，
即 ，所以
所以 ．
综上，所求直线方程为 或 ．
17. 已知椭圆 的离心率为 ，长轴的长为 8．
（1）求椭圆 的方程；
（2） ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上一点，且在 轴上方，若直线 的倾斜角为 ，
，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用离心率与椭圆长轴长，计算出 ，进而可得椭圆方程；
（2）根据椭圆的性质，利用余弦定理解 ，即可得答案.
【小问 1 详解】
设椭圆 的焦距为 ，则 的离心率为 ，
又长轴的长为 8，即 ，则 ， ， ，
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所以椭圆 的方程为 ．
【小问 2 详解】
，设 ， ，
又 ，则 为锐角，且 ，
在 中， ，
即 ，即 ①，
又 ，即 ②，
由①②解得 ， ，
所以 的面积为 ．
18. 在 中， ， ， ， 分别是 上的点，满足 且
经过 的重心，将 沿 折起到 的位置，使 ， 是 的中点，如
图所示.
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的大小；
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（3）在线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 ？若存在，求出 的长
度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用
判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系.用向量法求 与平面 所成角
的大小；
（3）假设存在点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 ，设 ，分别求解两平面的法
向量，用 表示余弦值解方程可得.
【小问 1 详解】
因为在 中， ， ，且 ，
所以 ， ，则折叠后， ，
又 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又已知 ， 且都在面 内，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
由（1），以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系 .
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因为 ，故 ，
由几何关系可知， ， ， ，
故 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 法向量为 ，则 ，即 ，
不妨令 ，则 ， ， .
设 与平面 所成角的大小为 ，
则有 ，
设 为 与平面 所成角，故 ，
即 与平面 所成角的大小为 ；
【小问 3 详解】
假设在线段 上存在点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 .
在空间直角坐标系中， ， ， ，
设 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，即 ，
不妨令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，即 ，
不妨令 ，则 ， ，所以 ，
若平面 与平面 成角余弦值为 .
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则满足 ，
化简得 ，解得 或 ，即 或 ，
故在线段 上存在这样的点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 . 此时 的长度为 或
.
19. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的离心率为 ，焦距 ．
（1）求 的方程；
（2）双曲线左、右顶点分别为 ， ，直线 与 的左、右两支分别交于点 ， ，记直线 ， 的
斜率分别为 ，且 ．
（i）求证：直线 过定点；
（ii） ，直线 与 交于点 ，判断并证明直线 与 的位置关系．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率和焦距的概念求 ，再利用 求 ，可得双曲线方程.
（2）（i）设直线 l 的方程为 ，将直线方程代入双曲线方程，消去 ，利用
韦达定理可得 ，再利用 ，得到 的关系，即可判断直线 经过定点.
（ii）通过证明直线 AQ 与 BC 的斜率关系判断两直线的位置关系.
【小问 1 详解】
设双曲线 焦距为 2c，则 ，且 ，解得 ，
所以 ，所以 的方程为 .
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【小问 2 详解】
（i）设直线 的方程为 ，
联立 与 ，消去 ，得 ，
所以 ，
由 ，得 ，
整理得 ，
所以 ，
整理得 ，所以 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，过点 ，不符，故舍去；
当 时，直线 l 的方程为 ，过点 ，
所以直线 l 过定点 ；
（ⅱ）直线 AQ 与直线 BC 的位置关系是平行，理由如下：
因为 ，所以直线 OP 方程为： ，
又直线 BD 方程为： ，联立 与 ，
解得 ，即 ，
第 19页/共 20页
因为 ，所以直线 AQ 的斜率为 ，由 ，
得直线 BC 的斜率 ，所以 ．