安徽省2025_2026学年高二数学上学期12月质量检测试题A卷含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高二数学上学期12月质量检测试题A卷含解析，共17页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知椭圆和椭圆，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的椭圆方程直接求出焦距即得.
【详解】椭圆的长短半轴长分别为，则其半焦距，
所以所求焦距为.
故选：B
2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线标准方程，写出准线和焦点，进而求出结果.
【详解】可知抛物线，则焦点为，准线为，
则焦点到其准线的距离为.
故选：C.
3. 若直线和互相垂直，则a的值是（ ）
A 0B. 2C. 0或D. 0或2
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的一般式方程结合垂直关系列式求解即可.
【详解】若直线和互相垂直，
则，解得.
故选：B.
4. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合双曲线方程可得，运算求解即可.
【详解】若方程表示双曲线，
则，解得或，
所以实数m的取值范围为.
故选：C.
5. 已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可.
【详解】设点，则，且，
可得，化简得，即，且.
故选：D.
6. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点P到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知：，结合点到平面的距离公式运算求解.
【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量，
所以点P到平面的距离.
故选：A.
7. 已知抛物线，点，过点的直线l与C交于A，B两点，且，则l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直线l的方程为，联立方程可得韦达定理，根据向量垂直结合韦达定理运算求解即可.
【详解】由题意可知：直线l的斜率存在，且不为0，
设直线l的方程为，，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，，
因为，
若，则，
即，
整理可得，
则，解得，
所以直线l的斜率为.
故选：D.
8. 已知圆，点，点B为直线上的动点，过点B作圆C的切线，切点为P，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，，点关于直线的对称点为，可得，，结合图形的性质运算求解即可.
【详解】圆，可知圆心为，半径，
设，，点关于直线的对称点为，
则，，
可得，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆和椭圆，则（ ）
A. 两椭圆有相同的焦点
B. 两椭圆的离心率相等
C. 两椭圆有相同的顶点
D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心
【答案】BD
【解析】
【分析】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上，且，，进而逐项分析判断.
【详解】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上，
且，，
则两椭圆的焦点、顶点均不相同，故AC错误；
两椭圆的离心率均为，即离心率相等，故B正确；
两椭圆有相同的对称轴（为坐标轴）和对称中心（为坐标原点），故D正确；
故选：BD.
10. 已知点P在圆上，点Q在圆上，则（ ）
A. 两圆相交B. 圆与x轴相切
C. 的取值范围为D. 面积的最大值为6
【答案】AB
【解析】
【分析】由方程可知各圆圆心和半径.对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径.
对于选项A：因为，即，
所以两圆相交，故A正确；
对于选项B：因为圆心到x轴的距离，
所以圆与x轴相切，故B正确；
对于选项C：由圆的性质可得，且，
所以取值范围为，故C错误；
对于选项D：由圆的性质可知点到直线的距离最大值为，
所以面积的最大值为，故D错误；
故选：AB.
11. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（ ）
A. C的离心率为
B. C的焦点到其渐近线的距离为1
C. 若，则的面积为2
D. 若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据方程和焦距可得.对于A：根据离心率的定义运算求解；对于B：根据点到直线的距离公式运算求解；对于C：根据双曲线的定义结合勾股定理可得，即可得面积；对于D：求点M的坐标，根据双曲线的定义结合图形性质分析求解.
【详解】由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上，
因为，即，则，
可得点，，渐近线为，即.
对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确；
对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确；
对于选项C：因为，
若，则，可得，
即，可得，
所以的面积为，故C错误；
对于选项D：可知渐近线，直线，
联立方程，解得，即，
因为，即，
则，
当且仅当点Q 在线段上时，等号成立，
所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为C上一点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由方程可知，结合椭圆的定义运算求解即可.
【详解】由椭圆可知，
且点P为C上一点，所以.
故答案为：.
13. 设为抛物线上任意一点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】通过抛物线方程将目标表达式转化为关于 的二次函数，利用二次函数的顶点性质求得最小值.
【详解】因 在抛物线 上，故 ，则 .
该式为关于 的二次函数，开口向上，其顶点对应的 .
将 代入，得 .
故答案为：
14. 已知正方体的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】依题意建系，设，，三棱锥的外接球的球心为，根据球的性质结合空间中两点间距离公式解得，进而求外接球半径的最小值.
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，，三棱锥的外接球的球心为，
则，即，
解得，即，
可得外接球的半径，
当且仅当时，等号成立，
所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求满足下列条件双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，经过点，；
（2）与双曲线有相同的渐近线，且过点．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用待定系数法求解.
（2）由给定双曲线设所求方程，再求出参数值即得.
小问1详解】
依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点，
得，解得，所以所求双曲线标准方程为.
【小问2详解】
设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，
由该双曲线过点，得，
所以所求双曲线的标准方程为，即.
16. 已知抛物线的焦点在直线上．
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据直线方程可得焦点，即可得和抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，可得，即可得面积，进而分析最值.
【小问1详解】
因为抛物线的焦点在轴正半轴上，
对于直线，令，可得，
可知焦点，即，可得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0，
设直线的方程为，，
联立方程，消去y可得，
则，可得，，
则，
可得的面积，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积最小值为8.
17. 已知图1是由矩形ABCD 和以CD为直径的半圆拼接而成，，，将半圆面沿CD折起，使得半圆面平面ABCD，点P为半圆弧（不包括端点）上一动点，如图2．
（1）证明：平面平面BCP；
（2）若，求平面 ACP与平面BCP的夹角的大小．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得和平面，即可得面面垂直；
（2）作辅助线，可得平面，建系标点，分别求平面 ACP与平面BCP的法向量，利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
由题意可知：，平面平面ABCD，平面平面，平面，
则平面，且平面，可得，
又因为，，平面，
可得平面，且平面，
所以平面平面BCP.
【小问2详解】
取的中点分别为，在半圆弧上取点，使得，
可知，且平面，则平面，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
若，则，
可得，
可知平面BCP的一个法向量为，
因为，
设平面ACP的法向量为，则，
令，则，可得，
设平面 ACP与平面BCP的夹角为，
则，可得，
所以平面 ACP与平面BCP的夹角的大小为.
18. 已知过点的直线l与圆相交于A，B两点．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）若A是线段BP的中点，求直线l的方程；
（3）证明：定值．
【答案】（1）
（2）或
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据点斜式方程的概念，设出直线方程，联立方程组，根据有两个交点的条件，列出不等式，求出结果；
（2）根据线段中点坐标的性质，列出方程，再联立方程组，以及韦达定理，求出直线斜率，写出直线方程；
（3）根据两点之间的距离公式，以及韦达定理，联立方程组，列出方程，证明结果即可.
【小问1详解】
设直线l的方程为，当直线l与圆相交于A，B两点时，
得有两组不同的解，消去得，
化简得，
可知，化简得，解得，
所以直线l的斜率的取值范围是.
【小问2详解】
设，已知，当A是线段BP的中点时，可得，
化简得，
由（1）可知为方程的两个解，
则，
当时，，
化简得，解得，
所以直线l的方程或.
【小问3详解】
设，已知，
则，
则，
由（2）可知，
则，
所以为定值．
19. 已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上．
（1）求C的方程；
（2）若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求；
（3）若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据圆可得上顶点和焦点，即可得和椭圆方程；
（2）根据直线与圆的性质求直线的方程，联立方程结合弦长公式求，
（3）设直线，则直线，联立方程求M、N两点的纵坐标，进而求直线MN的斜率为m，即可得分析证明.
【小问1详解】
对于圆，
令，可得，解得或，可知椭圆的上顶点为；
令，可得，解得，可知椭圆的焦点为；
则，，则，
所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
由题意可知：，圆的圆心为，直线与椭圆C必相交，
则，可得直线的斜率，
则直线的方程为，
设，
联立方程，消去y可得，解得或，
所以.
【小问3详解】
由题意可知：直线的斜率存在且不为0，
设直线，则直线，
联立方程，消去x可得，解得，
即，同理可得，
则，，
可得，
因为，则，
所以.