安徽省安庆市2025_2026学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份安徽省安庆市2025_2026学年高一数学上学期期中试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 1或4D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系、集合元素的互异性求得.
【详解】由于，所以或，
解得或，
当时，；当时，.
所以的值是或.
故选：C
2. 下列函数定义域和值域都是的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由即可求解判断A；由函数定义域为R可判断BC；先求出函数定义域为，再求出值域即可判断D.
【详解】对于A，要使函数有意义，则，所以函数定义域为，不符合；
对于BC，函数定义域均为R，不符合；
对于D，要使函数有意义，则，所以函数定义域为，
因，故，所以，所以函数值域为，故D正确.
故选：D.
3. 函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，排除B项，再通过赋值法，结合图象的位置和单调性即可排除C,D两项，即得A项正确.
【详解】由可知函数的定义域为，因，
则函数是奇函数，故排除B项；
又由可排除C项；
又，即，故可排除D项.
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用凑配法求得的解析式.
【详解】由于，
所以.
故选：B
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解，再判断集合的包含关系，进而判断充分、必要条件.
【详解】因为，所以或，
，解得或，
因为或是或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．
【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．
可得，，，故B不正确．
可得，，，故C不正确．
故选：D．
7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分段函数、二次函数单调性列式求出的范围.
【详解】由函数是上的减函数，得，解得，
所以取值范围是.
故选：A
8. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过是偶函数和是奇函数以及题设条件，可以用赋值法求出时，，根据条件将的值转化为，即可得到答案．
【详解】因为是偶函数，所以①，
因为是奇函数，所以②．
令，由①得：，
由②得：，
因为，所以，
令，由②得：，
所以当时，，
.
故选：C．
【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性：
（1）是偶函数，则；
（2）是奇函数，则.
二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”是真命题
B. 若，则
C. 若幂函数在区间上是减函数，则或
D. 方程有一个正实根，一个负实根，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数值域得到选项A正确；利用特殊值判断B选项错误；由幂函数的定义得到的值，带回原函数判断单调性即可得到C选项正确；由二次函数的图像的性质得到D选项正确．
【详解】A选项，恒成立，A选项正确；
B选项，若，如，则，B选项错误；
C选项，函数是幂函数，
所以，即，解得，或，
当时，上单调递减，符合题意，
当时，，不符合题意，
所以，C选项错误；
D选项，设，则有两个实根，且一个正实根，一个负实根，
故，D选项正确．
故选：AD．
10. 已知，且，则下列正确的有（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最大值是9D. 的最小值是
【答案】AB
【解析】
【分析】由基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为，
，，当且仅当时，等号成立，A正确；
，当且仅当，即时等号成立，B正确．
，当且仅当，即时等号成立，C错误；
由得，所以，D错；
故选：AB．
11. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C.
D. 若，则或
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据赋值法，函数的奇偶性的概念，函数的单调性的概念，可得是偶函数且在上单调递增，从而再针对各个选项分别求解即可．
【详解】对选项A，令，则，所以，
再令，则，所以，所以选项A错误；
对选项B，定义在上的函数，定义域关于原点对称，
令，则，
所以，所以，
所以是偶函数，所以选项B正确；
对选项C，设，则，
因为当时，，所以，
由，知，
所以，所以，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以选项C正确；
选项D，由选项B分析可知是偶函数，由选项C知在上单调递增，
所以在上单调递减，又，
若，则，解得且，所以选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，那么_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式得出，再求可得解.
【详解】由,因为，所以，
故填：2.
【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求函数值，关键在于判断自变量在分段函数的相应范围代入相应的解析式可求得函数值，属于基础题.
13. 若函数，且，在上的最大值比最小值大，则__________.
【答案】或
【解析】
【分析】分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，由已知得到关于实数的方程求解即得.
【详解】若，则函数在区间上单调递减，
所以，
由题意得，又，故；
若，则函数在区间上单调递增，
所以，
由题意得，又，故.
所以的值为或.
故答案为：或.
14. 如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/m2；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/m2.若要使总造价不高于24000元，则正方形周长的最小值为_________m.

【答案】4
【解析】
【分析】设正方形边长为，根据题设求出正方形、矩形阴影部分、三角形的面积，进而列出总造价关于的表达式，解不等式求边长最小值，即可得答案.
【详解】设正方形边长为(m)，则矩形的长、宽分别为(m)、(m)，
所以，，，
所以，总造价，且，
所以，则，可得，
故(m)，即正方形周长的最小值为4(m).
故答案为：4
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设集合、，.
（1）若时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合A，接着根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解；
（2）由得，进而得，解该不等式组即可得解.
【小问1详解】
解得，所以，
若，则，
所以或，
所以或.
【小问2详解】
因为，所以，由（1），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
16. （1）计算
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算性质化简求解即可；
（2）由利用求出，再两边同时平方可得，进而得到，结合，然后求解即可.
【详解】（1）原式；
（2）因为，所以两边同时平方得：，所以，
则，，
，，
又，所以，
．
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）已知函数的部分图象如图所示，
请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间；
（2）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论）
（3）写出解不等式的解集．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；利用函数是奇函数，求函数的解析式；
（2）利用数形结合，转化为与的图象有个交点，从而得解；
（3）分，两种情况，数形结合可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，

结合图象可知，函数的单调递减区间为和．
因为当时，，
所以当时， ，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当 时，，
故的解析式为.
【小问2详解】
解：因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点，
结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有个交点，
所以.
【小问3详解】
解：当时，可得，结合图象可得；
当时，可得，结合图象可得.
综上所述，不等式的解集为.
18. 已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）判断在上的单调性.并用单调性定义证明；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）函数是定义在R上的奇函数.证明见解析；
（2）函数在上单调递增.证明见解析；
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的判断方法和步骤去计算判断即可.
（2）根据函数单调性定义法的证明步骤去计算判定即可.
（3）先由函数的奇偶性和单调性将原不等式等价转化为不等式，再解该不等式即可得解.
【小问1详解】
函数是定义在R上奇函数.证明如下：
因为函数，
所以函数定义域为R，关于原点对称，
且，
所以函数是定义在R上的奇函数.
【小问2详解】
函数在上单调递增.证明如下：
任取，则
，
因为，所以，
所以，即，故，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（1）可知函数是定义在R上的奇函数，
所以等价于，
又由（2）可知函数在上单调递增，
所以即，
当时，不等式为，解得；
当时，解或，
若，则，所以不等式的解为；
若，则，所以不等式的解为或；
若，则，所以不等式的解为；
若，则，所以不等式的解为或.
综上，当时，原不等式的解集为；
当，原不等式的解集为；
当，原不等式的解集为；
当，原不等式的解集为；
当，原不等式的解集为.
19. 已知函数，.
（1）若函数为奇函数，求a的值；
（2）设.
（i）函数在上有两零点，求a的取值范围；
（ii）若，则是否存在实数m，n，使得函数的定义域为，值域为.若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）存在，或
【解析】
【分析】（1）由奇函数定义可得答案；
（2）（i）令，可将问题转化为与有两个交点；
（ii）可将转化为，通过讨论与2的大小关系，结合题意可得答案.
【小问1详解】
定义域为R，
因为函数为奇函数，所以，得.
检验当时，，为奇函数.
【小问2详解】
（i）由已知，
方程在上有两个根，令，，，
参变分离得，所以方程在上有两个根等价于
与图象有两个交点，其中.
由双勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增.
则，又注意到，
可作在上大致图象如下，则要使与图象有两个交点，有；
（ii）令，，令，，即，
可转化为，对称轴为
①当时，单调递增，此时，
即方程在有两个不同根，
解得，其中，此情况排除；
②当时，先增后减，
由可得，而，
所以，；
③当时，单调递减，此时，
即，两式做差得
因为，所以，即，
代入可解得，
综上所述，或.
【点睛】关键点睛：已知零点个数求参数范围，常转化为直线与函数图象交点个数问题，也可利用二次方程根的分布求解；对于（ii）这类二次函数存在性问题，常以讨论参数与对称轴大小关系为突破口解决问题.