2025-2026学年上海市崇明区九校联考九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市崇明区九校联考九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列两个图形中，一定相似的是
A．两个直角三角形B．两个菱形
C．两个正方形D．两个矩形
2．（4分）已知，那么下列等式中成立的是
A．B．C．D．
3．（4分）在中，，如果，，那么等于
A．B．C．D．
4．（4分）如图，在中，点、分别在边、的反向延长线上，下面比例式中，不能判断的是
A．B．C．D．
5．（4分）已知，下列说法中，不正确的是
A．B．与方向相同C．D．
6．（4分）如图，已知在梯形中，，，如果对角线与交于点，△、△、△、△的面积分别记作、、、，那么下列结论中，正确的个数是
①；②；③．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．（4分）如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们对应的角平分线的比是 ．
8．（4分）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 （用向量的式子表示）．
10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，且，，那么 ．
11．（4分）已知△中，，，则 ．
12．（4分）已知，其中顶点、、分别对应顶点、、，如果，，那么 度．
13．（4分）如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为 ．（用含字母的式子表示）
14．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和、、，如果，，则的长是 ．
15．（4分）如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为，它把物品从地面送到离地面5米高的处，则物体从到所经过的路程为 米．
16．（4分）如图，矩形内接于△，点、分别在、上，点、分别在上，如果，，且，则 ．
17．（4分）在△中，，若点是△重心，且，则 ．
18．（4分）如图，在中，，，，点为边上一点，，将绕点旋转得到△（点、、分别与点、、对应），使，边与边交于点，那么的长等于 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知△中，，，，．
（1）求线段的长；
（2）设，．请写出向量关于、的分解式．
21．（10分）如图所示，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，．
求：（1）点的坐标；
（2）的值．
22．（10分）如图，小岛在港口的南偏西方向上，一艘船从港口沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达处，在处测得小岛在它的南偏西的方向上，小岛离港口有多少海里（精确到0.1海里）？
23．（12分）已知：如图，在中，点、、分别在边、、上，，．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
24．（12分）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题组第2题对非特殊的锐角比的求解提供了新的思路．
（1）根据题目条件填空；
（2）【知识迁移】
在△中，，，那么 ， ．
（3）【拓展应用】
在△中，，，，点、分别在、上，且，，联结、交于点，求的值．
25．（14分）如图，已知中，，，，平分交边与点，是射线上一点，联结．
（1）求线段的长；
（2）当点在的延长线上，且时，求的长；
（3）记点为边的中点，联结、，若是等腰三角形，求的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）下列两个图形中，一定相似的是
A．两个直角三角形B．两个菱形
C．两个正方形D．两个矩形
解：、两个直角三角形的形状不一定相同，不一定相似，不符合题意；
、两个菱形的形状不一定相同（对应角不一定相等），不一定相似，不符合题意；
、两个正方形的形状一定相同，一定相似，符合题意；
、两个矩形的形状不一定相同（对应边不一定成比例），不一定相似，不符合题意；
故选：．
2．（4分）已知，那么下列等式中成立的是
A．B．C．D．
解：．因为，所以，故不符合题意；
．因为，所以，故不符合题意；
．因为，所以，故符合题意；
．因为，所以故不符合题意；
故选：．
3．（4分）在中，，如果，，那么等于
A．B．C．D．
解：在中，，如果，，
那么：，
，
故选：．
4．（4分）如图，在中，点、分别在边、的反向延长线上，下面比例式中，不能判断的是
A．B．C．D．
解：．当时，能判断；
．当时，能判断；
．当时，不能判断；
．当时，能判断；
故选：．
5．（4分）已知，下列说法中，不正确的是
A．B．与方向相同C．D．
解：，
与方向相同，，，，
故选项，，正确，选项错误．
故选：．
6．（4分）如图，已知在梯形中，，，如果对角线与交于点，△、△、△、△的面积分别记作、、、，那么下列结论中，正确的个数是
①；②；③．
A．0个B．1个C．2个D．3个
解：，
，
，
，
△、△、△、△的面积分别记作、、、，
，
故①正确；
，，
△△，
，
，
，
，
故②正确；
，，
，
，
，
故③正确，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们对应的角平分线的比是 ．
解：两个相似三角形的面积比是，
这两个相似三角形的相似比是，
其对应角平分线的比等于相似比，
它们对应的角平分线比是．
故答案为．
8．（4分）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 （用向量的式子表示）．
解：向量与单位向量方向相反，且，
．
故答案为：．
10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，且，，那么 ．
解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则．
故答案为．
11．（4分）已知△中，，，则 ．
解：，
，
，
，
故答案为：．
12．（4分）已知，其中顶点、、分别对应顶点、、，如果，，那么 80 度．
解：，
，
故答案为80；
13．（4分）如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为 ．（用含字母的式子表示）
解：画出图形，利用直角三角形的性质可知：
如图所示，飞机在点处，为水平线，地面控制点为点，则，
由条件可知，，，
．
故答案为：．
14．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和、、，如果，，则的长是 10 ．
解：，
，
，，
，
，
故答案为：10．
15．（4分）如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为，它把物品从地面送到离地面5米高的处，则物体从到所经过的路程为 13 米．
解：传送带与地面所成的斜坡的坡度，
，即，
解得，米，
由勾股定理得，（米，
故答案为：13．
16．（4分）如图，矩形内接于△，点、分别在、上，点、分别在上，如果，，且，则 ．
解：作于点，交于点，则，
矩形的顶点、分别在、上，顶点、在上，
，
△△，，
于点，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
解得，
的长是，
故答案为：．
17．（4分）在△中，，若点是△重心，且，则 12 ．
解：设，，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：12．
18．（4分）如图，在中，，，，点为边上一点，，将绕点旋转得到△（点、、分别与点、、对应），使，边与边交于点，那么的长等于 ．
解：如图，作于．
在中，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：
．
20．（10分）如图，已知△中，，，，．
（1）求线段的长；
（2）设，．请写出向量关于、的分解式．
解：（1），
△△，
，
，，，
，
．
（2），，
，
由（1）得，
，
．
21．（10分）如图所示，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，．
求：（1）点的坐标；
（2）的值．
解：（1）如图，作，垂足为，
在中，，，
．
，
点的坐标为；
（2），，
，
在中，
，
，
．
22．（10分）如图，小岛在港口的南偏西方向上，一艘船从港口沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达处，在处测得小岛在它的南偏西的方向上，小岛离港口有多少海里（精确到0.1海里）？
解：作于，
由题意得，海里，
设海里，
，
，
，
，
由题意得，，
解得，，
则，
答：小岛离港口有60.2海里．
23．（12分）已知：如图，在中，点、、分别在边、、上，，．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
【解答】证明：（1）如图：
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图：
由（1）知，，
，，
，
，
，即，
，
，
，
．
24．（12分）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题组第2题对非特殊的锐角比的求解提供了新的思路．
（1）根据题目条件填空；
（2）【知识迁移】
在△中，，，那么 ， ．
（3）【拓展应用】
在△中，，，，点、分别在、上，且，，联结、交于点，求的值．
解：（1）△，，，
，
，
设，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）如图，延长到点，使，联结，
则，即，
，
故设，，
则，
则，
延长到，使，则，
，
故设，，
则，
则，
故答案为：，；
（3）如图，连接，在△中，，
，，
，
，，，，
，，
，
，，
设，，
，，
，
则，
故．
25．（14分）如图，已知中，，，，平分交边与点，是射线上一点，联结．
（1）求线段的长；
（2）当点在的延长线上，且时，求的长；
（3）记点为边的中点，联结、，若是等腰三角形，求的长．
解：（1）如图1，过作于，于，
平分，，
，
，
四边形是正方形，
设，则，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）如图2，，
、、、四点共圆，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过作于，于，连接，
，
，
，
由（1）知：四边形是正方形，
，
设，则，，
，
，
，
；
（3）若是等腰三角形，存在三种情况：
①当时，如图3，同理作出辅助线，
，
是等腰直角三角形，
，
同（2）得，
，
设，则，，
，
，
，
；
②中，，，
，
是的中点，
；
③作的中垂线交于，则，
过作于，
由①知：（就是，，
，
，
，，
综上所述，的长是或或．
2．“如图，图中提供了一种求的方法．阅读并填空：
先作△，其中，；然后延长到点，使，联结．
（1）．
（2）设，那么 （用的代数式表示，以下同）， ．
（3） ．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
D
C
A
D
2．“如图，图中提供了一种求的方法．阅读并填空：
先作△，其中，；然后延长到点，使，联结．
（1）．
（2）设，那么 （用的代数式表示，以下同）， ．
（3） ．