2025-2026学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）数学期中试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）数学期中试卷（有答案和解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列选项中，无理数的是( )
A. 254B. 4C. 3D. 5
2.已知三角形三条边的长分别为2，5，x，则x的值可能是( )
A. 2B. 5C. 7D. 11
3.如图，△ACE≌△DBF，AC=5，BC=2，则CD为( )
A. 2B. 8C. 5D. 3
4.若 a=4，则a的值为( )
A. 2B. −2或2C. 16D. −16或16
5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别是垂足．已知2AB=3AC，则DE与DF的长度之比是( )
A. 1:2B. 2:1C. 2:3D. 3:2
6.△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的( )
A. ∠C−∠B=∠AB. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. (c+a)(c−a)=b2D. a:b:c=7:24:25
7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90 ∘，D是边BC上一点，P是AD的中点．若AC的垂直平分线经过点D，DC=8cm，则BP为( )
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm
8.如图，在△ABC中，∠ABC=45 ∘，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N.CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，①∠AMD=∠MEC；②AC=BE；③MC+EM=NE；④S△ACD=2S△DNE.正确结论的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.若式子 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
10.用四舍五入法，把31415926精确到千位，取得的近似数是 .
11.3−8的相反数是 .
12.已知等腰三角形的两条边长为4cm和2cm，则它的周长为_ ___cm.
13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30 ∘，AD⊥AB交BC于点D，AD=2，则BC= .
14.如图，OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B.若∠MAB=15 ∘，则∠AOB的度数为 .
15.如图，在△ABC中，∠C=90 ∘，AC=2，BC=4.以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 .
16.已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 .
17.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点．若BC=5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为 .
18.如图，在△ABC中，∠ACB=90 ∘,∠B=30 ∘，BC=4 3，点D是边CB上的动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60 ∘，得到线段AP，连接CP，则线段CP的最小值 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.求下列各式中x的值．
(1)4x2−25=0；
(2)x+13=−27.
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A.求证：∠1=∠2
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90 ∘，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24.求四边形ABCD的面积．
22.(本小题8分)
已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.
23.(本小题8分)
已知a>0，b>0， a> b，求证：a>b.
(1)证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
(2)请用另一种方法证明．
24.(本小题8分)
如图，已知线段m，n.用直尺和圆规作一个Rt△ABC，满足∠C=90 ∘，AB−BC=m，AC=n.(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
25.(本小题8分)
已知在△ABC与△CDE中，AB=CD,∠B=∠D,∠ACE=∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED.

(1)如图1，试说明AC=CE的理由；
(2)如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B=α,∠AGE=β，求β与α的数量关系，并说明理由；
(3)当AH//EI时，求∠B的度数．
26.(本小题8分)
(1)【神奇的变换】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为P，则AB2+CD2 AD2+BC2.(填“>”、“0，
∴ a>0， b>0.
∵ a> b，
∴ a2> a× b， a× b> b2.
∴ a2> b2.
∴a>b.
故答案为： a× b> b2，a>b.
【小题2】
∵a>0，b>0，∴a−b= a2− b2= a+ b a− b.
∵ a> b，∴ a> b>0，∴ a+ b>0， a− b>0.
∴ a+ b a− b>0，∴a−b>0，即a>b.

【解析】1.
此题考查了实数大小比较，能准确地理解和应用算术平方根和作差法是解题的关键．
结合题意应用不等式的性质进行求解；
2.
运用算术平方根和平方差公式等知识进行变式、求解．
24.【答案】解：Rt△ABC即为所求．

【解析】本题考查了尺规作图---作垂线，线段的垂直平分线，以及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的步骤以及线段的垂直平分线的性质．
先截取CD=m，然后过点C作直线CD的垂线，在垂线上截取AC=n，连接AD，作线段AD垂直平分线交直线CD于点B，则Rt△ABC即为所求，由垂直平分线可得BA=BD，则BD−CD=BC，即AB−BC=m.
25.【答案】【小题1】
证明：∵∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B
又∠B=∠ACE
∴∠A=∠ECD
在△ABC和△CDE中
∠B=∠DAB=CD∠A=∠ECD
∴△ABC≌△CDE(ASA)
∴AC=CE.
【小题2】
解：3α−2β=180 ∘.
理由如下：如图1所示，连接GC并延长至点K
∵AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC
则设∠CAH=∠BAH=a,∠CEI=∠DEI=b
∵∠ACK为△ACG的外角
∴∠ACK=a+∠AGC
同理可得∠ECK=b+∠EGC
∴∠ACE=∠ACK+∠ECK=∠B=α
=(a+∠AGC)+(b+∠EGC)=a+b+∠AGE=a+b+β
即α=a+b+β
∴a+b=α−β.
又由(1)中证明可知∠ECD=∠BAC=2a
由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D=180 ∘
即2a+2b+α=180 ∘
∴2(a+b)+α=180 ∘
∴3α−2β=180 ∘.
【小题3】
解：当AH//EI时，如图2所示，过点C作MN//AH，则MN//AH//EI
∴∠CAH=∠ACM=a,∠CEI=∠ECM=b∴∠ACE=∠ACM+∠ECM=a+b=α，即α=a+b
由(1)中证明可得∠ECD=∠BAC=2a,∠D=∠B=α
在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D=180 ∘
即2a+2b+α=180 ∘
即2(a+b)=180 ∘−α
即3α=180 ∘，解得：α=60 ∘
故∠B=60 ∘.

【解析】1.
∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B，∠B=∠ACE，∠A=∠ECD可知△ABC≌△CDE，进而可说明AC=CE；
2.
如图1所示，连接GC并延长至点K，AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，则设∠CAH=∠BAH=a,∠CEI=∠DEI=b，∠ACK为△ACG的外角，∠ACK=a+∠AGC，同理∠ECK=b+∠EGC，ACE=∠ACK+∠ECK=∠B=α
，得a+b=α−β；又由(1)中证明可知∠ECD=∠BAC=2a，∠ECD+∠DEC+∠D=180 ∘，进而可得到结果；
3.
如图2所示，过点C作MN//AH，则MN//AH//EI，∠CAH=∠ACM=a,∠CEI=∠ECM=b∠ACE=∠ACM+∠ECM=a+b=α，可得α=a+b，由(1)中证明可得∠ECD=∠BAC=2a,∠D=∠B=α，在△CED中，∠ECD+∠CED+∠D=180 ∘，即2a+2b+α=180 ∘，进而可得到结果．
26.【答案】【小题1】
=
【小题2】
∵AC⊥BP，∴∠APB=∠BPC=90 ∘.
在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，
在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2，
在Rt△CPD中，CD2=CP2+DP2，
在Rt△CPB中，BC2=CP2+BP2，
∴AB2+CD2=AP2+BP2+CP2+DP2，AD2+BC2=AP2+BP2+CP2+DP2.
∴AB2+CD2=AD2+BC2.
【小题3】
如图4，过点D作DE⊥CP，交CP的延长线于点E，过点A作AF⊥BP，于点F，
∵AC⊥BD，∠ADP=45 ∘，∴∠PAD=45 ∘，
∴△APD是等腰直角三角形，∴AP=DP.
∵AD//BC，∴∠ADP=∠PBC=45 ∘，
∴△PBC是等腰直角三角形，∴BP=CP.
∵DE⊥CP，AF⊥BP，∴∠AFP=DEP=90 ∘.
∴∠APE+∠EPD=90 ∘.
∵CP⊥BP，∴∠APE+∠FPA=90 ∘.
∴∠EPD=∠FPA.
又∵AP=DP，∴△DEP≌△AFPAAS.
∴EP=FP，DE=AF.
设AP=PD=x，BP=CP=y，EP=FP=a，DE=AF=b，
在Rt△ABF中，AB2=BF2+AF2=y−a2+b2=y2+a2−2ay+b2，
在Rt△DEC中，CD2=CE2+DE2=y+a2+b2=y2+a2+2ay+b2，
在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2=2x2，
在Rt△CPB中，BC2=CP2+BP2=2y2，
在Rt△DEP中，DP2=DE2+EP2，即a2+b2=x2，
∴AB2+CD2=2y2+2a2+2b2=2y2+2a2+b2=2y2+2x2，
AD2+BC2=2y2+2x2.
∴AB2+CD2=AD2+BC2.
【小题4】
2+ 21

【解析】1.
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2，在Rt△CPD中，CD2=CP2+DP2，在Rt△CPB中，BC2=CP2+BP2，即可得结论；
∵AC⊥BD，∴∠APD=∠DPC=∠APB=∠BPC=90 ∘.
在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，
在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2，
在Rt△CPD中，CD2=CP2+DP2，
在Rt△CPB中，BC2=CP2+BP2，
∴AB2+CD2=AP2+BP2+CP2+DP2，AD2+BC2=AP2+BP2+CP2+DP2.
∴AB2+CD2=AD2+BC2.
故答案为：=.
2.
在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2，在Rt△CPD中，CD2=CP2+DP2，在Rt△CPB中，BC2=CP2+BP2，即可得结论；
3.
过点D作DE⊥CP，交CP的延长线于点E，过点A作AF⊥BP，于点F，易证△DEP≌△AFPAAS，设AP=PD=x，BP=CP=y，EP=FP=a，DE=AF=b，根据AB2=y−a2+b2，CD2=y+a2+b2，AD2=2x2，BC2=2y2，a2+b2=x2，即可得到结论；
4.
(4)将△BDC沿着CA向上平移，使得C与A重合，连接DB′，B′C，由结论可求DB′的值，由三角形的三边关系可求解．
如图6，将△BDC沿着CA向上平移，使得C与A重合，连接DB′，B′C，
∴AB′=CB，AB′//BC.
∴四边形ACBB′是平行四边形．
∵∠ACB=90 ∘，
∴四边形ACBB′是矩形．
∴AB=B′C.
由结论可得，AD2+DB2=CD2+DB′2，
∴DB′2=AD2+DB2−CD2=9+16−4=21.
∴DB′= 21.
∵CD+DB′≥CB′，
∴CB′的最大值为2+ 21，
∴AB的最大值为2+ 21.