天津市河西区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份天津市河西区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项：本卷共9题，每小题3分，共27分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列中，，，，则等于（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】用递推公式，代入逐个计算即可.
【详解】数列中，，，，
则，则.
故选：A.
2. 准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解.
【详解】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为.
因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为．
故选：D.
3. 数列的一个通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定条件归纳得到通项公式即可.
【详解】因为数列，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正，
而分母可归纳为，分子可归纳为，
故数列的一个通项公式是，故B正确.
故选：B
4. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，，即可求出a的值.
【详解】根据双曲线渐近线公式知道，，则.
故选：C.
5. 如图给出一个“直角三角形数阵”满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，则第8行第3列的数为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由第1列是首项为，公差为的等差数列，得到第8行第1列的数，再由第8行是以公比为的等比数列求解.
【详解】解：因为第1列是首项为，公差为的等差数列，
所以第8行第1列的数为，
又第8行是首项为2，公比为等比数列，
所以第8行第3列的数为，
故选：C
6. 已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且，则C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可.
【详解】如图所示：，，
由椭圆的定义得.①
在中，.②
由①②得，则，
所以椭圆C的方程为.

故选：B.
7. 若实数k满足，则曲线与曲线的（ ）
A. 离心率相等B. 虚半轴长相等
C. 实半轴长相等D. 焦距相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求出基本量，再进行比较即可.
【详解】因为，所以，，
得到和都是双曲线，
对于曲线，，，，
此时其焦距为，离心率为，
对于曲线，，，，
此时其焦距为，离心率为，
故两条曲线离心率不相等，虚半轴长不相等，实半轴长不相等，焦距相等，故D正确.
故选：D
8. 设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A. 12B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用过抛物线焦点的弦长公式求解；
【详解】解：因为过抛物线C：的焦点，且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，
所以，
故选：A
9. 设数列的前n项和为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将给定数列化简后，利用公式法求和即可.
【详解】给定数列，且设该数列为，
故，
则，故D正确.
故选：D
Ⅱ卷
注意事项：本卷共11题，共73分.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.
10. 已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据焦点在轴或轴上分类讨论．
【详解】焦点在轴时，，，长轴长为,
焦点在轴时，，，长轴长为,
故答案为：或．
11. 已知数列满足，，则的前10项和等于______.
【答案】
【解析】
【分析】根据数列满足，得到数列是等比数列求解.
【详解】因数列满足，且，则，
数列是以4为首项，以为公比的等比数列，
则的前10项和等于，
故答案为：.
12. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离.
【详解】由题意得，，准线方程为：，
设，，，
因此，
线段的中点到轴的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，将到焦点的距离转化为其到准线的距离是关键，考查分析运算能力，属于基础题.
13. 已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，得出通项公式，进而得到数列的通项，然后利用裂项相消法求出前 100 项和.
【详解】因为，，可得：
解得,，所以
因为，
设数列的前 100 项和为 ,
则：.
故答案为：.
14. 设双曲线的半焦距为c，直线经过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】利用给定条件得到关于的方程，结合因式分解法得到它们的关系，再结合条件并利用双曲线中基本量的性质求解即可.
【详解】因为直线经过，两点，
所以设直线方程为，化简得，
设原点到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，
因为原点到直线的距离为，所以，
故，即，
得到，解得或，
因为，所以符合题意，此时，
故.
故答案为：2
15. 在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到数列是递减数列，由求解.
【详解】因为等差数列中，当且仅当时取得最大值，
所以数列递减数列，
又，所以 ，
解得，
所以d的取值范围为.
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可.
（2）利用双曲线的性质求解目标元素即可.
【小问1详解】
因为双曲线的两个焦点在轴上，
所以设双曲线方程为，
因为双曲线的两个焦点分别为，，
所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，
故，由双曲线的定义得，解得，
得到，故双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为，
焦距为，离心率为,
渐近线方程为，顶点为.
17. 解答下列各题
（1）在等差数列中，，，求通项及数列的前项和；
（2）在等比数列中，，，求通项及数列的前项和.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的性质建立方程，求出基本量，再求通项公式和前项和即可.
（2）利用等比数列的性质建立方程，求出基本量，再求通项公式和前项和即可.
【小问1详解】
设首项为，公差为，因为，，
所以，，解得，，
故，.
【小问2详解】
设首项为，公比为，因为，，
所以，，解得，，
故，.
18. 已知等比数列的首项为，前n项和为，若，求公比.
【答案】
【解析】
【分析】对公比分类讨论，再依据等比数列求和公式建立方程，求解参数即可.
详解】当时，，与题意不符，故排除，
当时，，
因为，所以，解得，故公比为.
19. 已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与E相交于两点.当的面积最大时，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用给定条件结合椭圆基本量的性质求解出所有基本量，得到椭圆方程即可.
（2）先对直线进行分类讨论，确定其斜率存在，再结合给定条件求出斜率范围，再依据题意将三角形面积表示为一元函数，利用换元法结合基本不等式求解最大面积，结合取等条件解出斜率值，检验后满足条件，得到直线方程即可.
【小问1详解】
设，因为直线的斜率为，
所以，解得，而椭圆的离心率为，
故，解得，则，故椭圆方程为.
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，不符合题意，排除，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，，得到，
因为直线与E相交于两点，所以，
解得或，且设，
由韦达定理得，
由弦长公式得，
，
设点到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，
故，
令，则，
得到，
当且仅当时取等，此时解得(负根舍去)，
此时，解得，满足或，
此时得到直线方程为.
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定条件表示出三角形面积，然后利用换元法结合基本不等式找到最值，再利用取等条件得到直线斜率，进而得到所要求的直线方程即可．
20. 数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式；
（3）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据时，，验证，从而得到的通项；（2）由，得到，通过作差得到的通项公式；（3）根据错位相减法得结果.
【小问1详解】
因为，所以当时，，
当时，
又也满足上式，所以.
又.
【小问2详解】
∵①
∴②
②－①得：，，故．
【小问3详解】
，
∴，
令，①
则②
①－②得： ，
∴
∴．
∴数列的前项和.