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2023-2024学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合P={x|−1A. {x|−12.命题p：∀x∈R，x2+1≥1，则￢p是( )
A. ∀x∈R，x2+1<1B. ∀x∈R，x2+1≥1
C. ∃x∈R，x2+1<1D. ∃x∈R，x2+1≥1
3.已知函数f(x)=|x−1|，则下列函数与f(x)相等的函数是( )
A. g(x)=|x2−1||x+1|B. g(x)=|x2−1||x+1|,x≠−12,x=−1
C. g(x)=x−1,x>01−x,x≤0D. g(x)=x−1
4.若函数y=lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
A. B.
C. D.
5.设a=(34)0.5,b=(43)0.5,c=lg34(lg34)，则( )
A. c6.命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5
7.已知曲线C：f(x)=x3−ax+a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为( )
A. 278B. −2C. 2D. −278
8.已知函数f(x)=lg2x,x>0lg12(−x),x<0，若af(−a)>0，则实数a的取值范围是( )
A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)
9.已知函数f(x)=−x+1,x<0x−1,x≥0，则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )
A. {x|−1≤x≤ 2−1}B. x|x≤1
C. {x|x≤ 2−1}D. {x|− 2−1≤x≤ 2−1}
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.函数f(x)=1 1−x+lg2(2x−1)的定义域是___ __．
11.已知f(x)=sinx−2x，x∈R，且f(2a)12.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则a= ．
13.给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若a>b，则1a<1b；
③若a，b是非零实数，且a④若aab>b2，
其中正确的命题是______．
14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N∗)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为______时，营运的年平均利润最大．
15.已知函数f(x)=|x|,x>0−x2−2x+1,x≤0，若函数g(x)=f(x)+2m有三个零点，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
求下列各式的值：
(Ⅰ)lg535+2lg12 2−lg5150−lg514；
(Ⅱ)0.75−1×( 32)12×(634)14+10( 3−2)−1+(1300)−12+1614．
17.(本小题10分)
(1)已知0(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y的最小值．
18.(本小题10分)
已知函数f(x)=12x3+cx在x=1处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的极值．
19.(本小题10分)
函数f(x)的定义域为(0,+∞)且对一切x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)−f(y)，当x>1时，有f(x)>0．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)=1，解不等式f(x+5)−f(1x)<2．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=xlnx−x+m(m∈R)．
(1)若y=f(x)的图象恒在x轴上方，求m的取值范围；
(2)若存在正数x1，x2(x12．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.B
6.C
7.A
8.A
9.C
10. (12,1)
11.(−1,+∞)
12.−32
13.③④
14.5
15.(−1,−12]
16.解：(Ⅰ)原式=lg535+lg550−lg514+2lg12212=lg535×5014+lg122=lg553−1=2；
(Ⅱ)原式=43×( 32)12×(3 32)12+10×1 3−2+(13)−12×10+2=43×( 32×3 32)12−10×(2+ 3)+10 3+10 3+2
=2−20+2=−16．
17.解：(1)∵0(2)∵点(x,y)在直线x+2y=3上移动，
∴2x+4y≥2 2x⋅4y=2 2x+2y=2 23=4 2，当且仅当x=2y=32时取等号．
∴2x+4y的最小值为4 2．
18.解：(1)f′(x)=32x2+c，当x=1时，f(x)取得极值，
则f′(1)=0，即32+c=0，得c=−32.故f(x)=12x3−32x.
(2)f′(x)=32x2−32=32(x2−1)=32(x−1)(x+1)，
令f′(x)=0，得x=−1或1．
x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此，f(x)的极大值为f(−1)=1，极小值为f(1)=−1．
19.解：(1)∵对一切x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)−f(y)，
∴令x=y=1.则f(1)=f(1)−f(1)=0；
(2)f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数．
理由如下：令01，当x>1时，有f(x)>0．
∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
则f(x)在定义域(0,+∞)上递增；
(3)若f(6)=1，则f(6)=f(366)=f(36)−f(6)，f(36)=2f(6)=2，
∴f(x+5)−f(1x)<2即f[x(x+5)]∵f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数，
∴x(x+5)<36，且x+5>0,1x>0，
∴x>0且−9∴0故原不等式的解集为(0,4)．
20.(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，
当0当x>1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，
因此，当x=1时，f(x)min=f(1)=m−1，
因为y=f(x)的图象恒在x轴上方，
所以f(x)>0恒成立
则f(x)min>0，即m−1>0，解得m>1，
所以m的取值范围为(1,+∞)；
(2)证明：由(1)及f(x)的单调性可知，0构造函数g(x)=f(x)−f(2−x)，0则g′(x)=lnx+ln(2−x)=ln[1−(x−1)2]，
当0所以g(x)在区间(0,1)上单调递减，
因为x1<1，所以g(x1)>g(1)=0，即f(x1)>f(2−x1)，
由题意f(x2)=f(x1)，所以f(x2)>f(2−x1)，
因为f(x)在(1,+∞)，且单调递增，x2>1，2−x1>1，
所以x2>2−x1，即x1+x2>2． x
(−∞,−1)
−1
(−1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
1.已知集合P={x|−1
A. ∀x∈R，x2+1<1B. ∀x∈R，x2+1≥1
C. ∃x∈R，x2+1<1D. ∃x∈R，x2+1≥1
3.已知函数f(x)=|x−1|，则下列函数与f(x)相等的函数是( )
A. g(x)=|x2−1||x+1|B. g(x)=|x2−1||x+1|,x≠−12,x=−1
C. g(x)=x−1,x>01−x,x≤0D. g(x)=x−1
4.若函数y=lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
A. B.
C. D.
5.设a=(34)0.5,b=(43)0.5,c=lg34(lg34)，则( )
A. c
A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5
7.已知曲线C：f(x)=x3−ax+a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为( )
A. 278B. −2C. 2D. −278
8.已知函数f(x)=lg2x,x>0lg12(−x),x<0，若af(−a)>0，则实数a的取值范围是( )
A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)
9.已知函数f(x)=−x+1,x<0x−1,x≥0，则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )
A. {x|−1≤x≤ 2−1}B. x|x≤1
C. {x|x≤ 2−1}D. {x|− 2−1≤x≤ 2−1}
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.函数f(x)=1 1−x+lg2(2x−1)的定义域是___ __．
11.已知f(x)=sinx−2x，x∈R，且f(2a)
13.给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若a>b，则1a<1b；
③若a，b是非零实数，且a
其中正确的命题是______．
14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N∗)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为______时，营运的年平均利润最大．
15.已知函数f(x)=|x|,x>0−x2−2x+1,x≤0，若函数g(x)=f(x)+2m有三个零点，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
求下列各式的值：
(Ⅰ)lg535+2lg12 2−lg5150−lg514；
(Ⅱ)0.75−1×( 32)12×(634)14+10( 3−2)−1+(1300)−12+1614．
17.(本小题10分)
(1)已知0
18.(本小题10分)
已知函数f(x)=12x3+cx在x=1处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的极值．
19.(本小题10分)
函数f(x)的定义域为(0,+∞)且对一切x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)−f(y)，当x>1时，有f(x)>0．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)=1，解不等式f(x+5)−f(1x)<2．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=xlnx−x+m(m∈R)．
(1)若y=f(x)的图象恒在x轴上方，求m的取值范围；
(2)若存在正数x1，x2(x1
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.B
6.C
7.A
8.A
9.C
10. (12,1)
11.(−1,+∞)
12.−32
13.③④
14.5
15.(−1,−12]
16.解：(Ⅰ)原式=lg535+lg550−lg514+2lg12212=lg535×5014+lg122=lg553−1=2；
(Ⅱ)原式=43×( 32)12×(3 32)12+10×1 3−2+(13)−12×10+2=43×( 32×3 32)12−10×(2+ 3)+10 3+10 3+2
=2−20+2=−16．
17.解：(1)∵0
∴2x+4y≥2 2x⋅4y=2 2x+2y=2 23=4 2，当且仅当x=2y=32时取等号．
∴2x+4y的最小值为4 2．
18.解：(1)f′(x)=32x2+c，当x=1时，f(x)取得极值，
则f′(1)=0，即32+c=0，得c=−32.故f(x)=12x3−32x.
(2)f′(x)=32x2−32=32(x2−1)=32(x−1)(x+1)，
令f′(x)=0，得x=−1或1．
x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此，f(x)的极大值为f(−1)=1，极小值为f(1)=−1．
19.解：(1)∵对一切x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)−f(y)，
∴令x=y=1.则f(1)=f(1)−f(1)=0；
(2)f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数．
理由如下：令0
∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
则f(x)在定义域(0,+∞)上递增；
(3)若f(6)=1，则f(6)=f(366)=f(36)−f(6)，f(36)=2f(6)=2，
∴f(x+5)−f(1x)<2即f[x(x+5)]
∴x(x+5)<36，且x+5>0,1x>0，
∴x>0且−9
20.(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，
当0
因此，当x=1时，f(x)min=f(1)=m−1，
因为y=f(x)的图象恒在x轴上方，
所以f(x)>0恒成立
则f(x)min>0，即m−1>0，解得m>1，
所以m的取值范围为(1,+∞)；
(2)证明：由(1)及f(x)的单调性可知，0
当0
因为x1<1，所以g(x1)>g(1)=0，即f(x1)>f(2−x1)，
由题意f(x2)=f(x1)，所以f(x2)>f(2−x1)，
因为f(x)在(1,+∞)，且单调递增，x2>1，2−x1>1，
所以x2>2−x1，即x1+x2>2． x
(−∞,−1)
−1
(−1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
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