2025年九年级（中考数学）一轮复习考点复习讲义：图形的变换 [有答案]

这是一份2025年九年级（中考数学）一轮复习考点复习讲义：图形的变换 [有答案]，共16页。学案主要包含了图形的对称，图形的平移等内容，欢迎下载使用。
一、图形的对称
1．轴对称图形与中心对称图形
2.轴对称与中心对称
3.图形的折叠
二、图形的平移、旋转
1．平移
2.旋转
思考辨析
下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)关于某条直线成轴对称的两个图形一定能完全重合．( )
(2)全等的两个三角形一定关于某条直线成轴对称．( )
(3)轴对称图形的对称轴至少有一条．( )
(4)等边三角形是中心对称图形．( )
(5)旋转改变图形的形状和大小．( )
(6)正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×
易混易错
1．对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段．
2．轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条，如：正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴．
3．轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之一，如：若已知两个图形关于某条直线对称，则它们的对应边相等，对应角相等．
4．旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点．
5．旋转中，对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径．
6．旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此，特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
错点小练
1．如图，△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，P为MN上任一点(P不与AA1共线)，下列结论不正确的是( )
A．AP＝A1P
B．△ABC与△A1B1C1的面积相等
C．MN垂直平分线段AA1
D．直线AB，A1B1的交点不一定在MN上
答案：D
2．如图，△ADE是由△ABC绕点A旋转得到的，若∠C＝40°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角为( )
A．60° B．50°
C．40° D．10°
答案：A
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为( )
A．(0，4) B．(1，1)
C．(1，2) D．(2，1)
答案：C

考点一 平移、旋转与对称识别
典题例证
(2024·合肥一模)下列标志图中，是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
[解析] A．不是中心对称图形，故选项错误；B.是中心对称图形，故选项正确；C.不是中心对称图形，故选项错误；D.不是中心对称图形，故选项错误．
[答案] B
提分特训
1．(2024·贵州)“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
答案：B
2．(2024·自贡)我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是( )
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
答案：B
3．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫格点).
(1)图①经过一次________变换(选填“平移”“旋转”或“轴对称”)可以得到图②；
(2)图③可以由图②经过一次旋转变换得到，其旋转中心是点________(选填“A”“B”或“C”).
解析：(1)根据平移的定义可知图①向右上平移可以得到图②.
(2)将图②绕着点A旋转后能与图③重合，可知旋转中心为点A.
答案：(1)平移 (2)A
提分技法
理解概念，正确判断
(1)抓住图上的“关键点”平移，以“点”带动“整个图形”的平移．平移不改变图形的形状与大小．
(2)将图形沿某条直线对折，两旁的部分重合，即为轴对称图形．
(3)中心对称图形沿对称中心旋转180°后与原图形重合．
考点二 平移、旋转与对称性质的应用
典题例证
如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4 cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为________cm2.
[答案] 4
提分特训
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为________．
答案：15
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝ eq \f(3,5) ，BC＝8，D是边BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点F处．请完成下列问题：
(1)AB＝________；
(2)当FD⊥AB时，AE的长为________．
答案：(1)10 (2)8
提分技法
抓住图形变化中的不变性
从“动”的角度去思考，明确“动中不动”．
(1)对应线段相等，对应角相等，形状、大小不变．
(2)把握住平移方向、平移距离，旋转中心、旋转角度及旋转方向．
考点三 网格作图及图形的变化与点的坐标变化
典题例证
命题角度1 平移与坐标变化
(2024·合肥模拟)网格中每个小方格均是边长为1个单位长度的小正方形，菱形ABCD的位置如图所示，且A(3，－1)，B(6，0).
(1)画出平面直角坐标系xOy，写出点C的坐标；
(2)将菱形ABCD向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，画出平移后的菱形A1B1C1D1，若点P(a，b)在菱形ABCD内，其平移后的对应点为P′，写出点P′的坐标．
[解] (1)平面直角坐标系xOy如图，由图可知点C(7，3).
(2)如图，菱形A1B1C1D1即为所求作．
因为菱形ABCD向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，
所以点P(a，b)也向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，
则点P′(a－3，b＋4).
命题角度2 中心对称与坐标变化
(2024·安徽模拟)如图，在平面直角坐标系中，单位长度为1，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，其中A(0，1).
(1)画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1；
(2)写出顶点C1的坐标；
(3)用无刻度的直尺画出AC的中点M.
[解] (1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)由(1)所作图形可得，点C1的坐标为(－4，－4).
(3)如图，点M即为所求作．
命题角度3 旋转与坐标变化
(2024·安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4).
(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
[解] (1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)如图，连接BC1，CB1.
因为点B与点B1，点C与点C1分别关于点D成中心对称，
所以DB＝DB1，DC＝DC1，
所以四边形BC1B1C是平行四边形，
所以S▱BC1B1C＝2S△CC1B1＝2× eq \f(1,2) ×10×4＝40.
(3)根据网格信息可得出AB＝5，AC＝ eq \r(32＋42) ＝5，
所以△ABC是等腰三角形，
所以AE也是线段BC的垂直平分线．
因为B，C的坐标分别为(2，8)，(10，4)，
所以点E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋10,2)，\f(8＋4,2))) ，
即E(6，6).(答案不唯一)
命题角度4 轴对称与坐标变化
(2024·安徽押题卷)如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C，并直接写出点B2的坐标．
[解] (1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)如图，△A2B2C即为所求作．
点B2的坐标为(1，－5).
提分特训
6．(2024·合肥模拟)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在小正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′(点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′)，并写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)在第三象限内的格点上找一点D，连接A′D，B′D，使得∠A′DB′＝45°.(保留作图痕迹，不写作法)
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求作．
A′(0，－1)，B′(3，－2)，C′(1，－4).
(2)如图，点D即为所求作．
7．(2024·安徽模拟)如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，0)，B(－5，3)，C(－1，1).
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
(2)P(a，b)是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点为P′(a＋4，b＋2)，请画出平移后的△A2B2C2；
(3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，求对称中心的坐标．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)如图，△A2B2C2即为所求作．
(3)(2，1)
8．(2022·安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)将△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)如图，△A2B2C2即为所求作．
9．(2023·安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点(网格线的交点).
(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
(2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB.
解：(1)如图，线段A1B1即为所求作．
(2)如图，线段A2B2即为所求作．
(3)如图，直线MN即为所求作．
提分技法
1．网格中平移、旋转作图的要点
(1)确定图形平移的方向、距离．
(2)确定图形旋转的旋转中心、旋转方向、旋转角．
(3)借助网格确定图形上的关键点，以局部思考整体．
(4)利用网格确定平移的距离和旋转角．
2．图形变化与点的坐标变化的解题方法
(1)解答此类题目的关键是抓住各类图形变化的特征，找出图形变化前后坐标的关系，同时注意对图形变化的性质的应用．
(2)在平面直角坐标系中，图形向右(或左)平移m(m>0)个单位长度，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上(或减去)m；图形向上(或下)平移n(n>0)个单位长度，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上(或减去)n.
(3)求对称引起的坐标变化，依据关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律求解．
(4)求与旋转有关的坐标变化，通常构造直角三角形，利用勾股定理求相关线段的长度．

1．(2024·甘肃)围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．(填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上)
答案：A或C
2．综合与实践
【问题情境】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，在直角三角尺EDF中，∠EDF＝90°，将三角尺的直角顶点D放在Rt△ABC的斜边BC的中点处，并将三角尺绕点D旋转，三角尺的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N.
【猜想证明】
(1)如图1，在三角尺旋转的过程中，当M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
【问题解决】
(2)如图2，在三角尺旋转的过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
(3)如图3，在三角尺旋转的过程中，当AM＝AN时，请直接写出线段AN的长．
eq \(\s\up7(),\s\d5(图1)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图2))
eq \(\s\up7(),\s\d5(图3))
解：(1)四边形AMDN为矩形．理由如下：
因为点M为AB的中点，点D为BC的中点，所以MD∥AC，
所以∠AMD＋∠A＝180°.
又因为∠A＝90°，
所以∠AMD＝90°.
又因为∠EDF＝90°，
所以∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
所以四边形AMDN为矩形．
(2)如图，过点N作NG⊥BC于点G.
因为在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
所以∠B＋∠C＝90°，
BC＝ eq \r(AB2＋AC2) ＝10.
因为点D是BC的中点，
所以CD＝ eq \f(1,2) BC＝5.
因为∠EDF＝90°，
所以∠MDB＋∠1＝90°.
因为∠B＝∠MDB，
所以∠1＝∠C，所以ND＝NC.
因为∠CGN＝90°，
所以CG＝ eq \f(1,2) CD＝ eq \f(5,2) .
因为∠C＝∠C，∠CGN＝∠CAB＝90°，
所以△CGN∽△CAB，
所以 eq \f(CG,CA) ＝ eq \f(CN,CB) ，
即 eq \f(\f(5,2),8) ＝ eq \f(CN,10) ，
所以CN＝ eq \f(25,8) .
(3) eq \f(25,7)
轴对称图形
中心对称图形
图形
判断
方法
(1)找对称轴——直线．
(2)图形沿对称轴折叠，对称轴两边的部分完全重合
(1)找对称中心——点．
(2)图形绕对称中心旋转180°，旋转前后的图形完全重合
拓展
(1)常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、正五边形、正六边形、圆等．
(2)常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．
(3)常见的既是轴对称图形，又是中心对称图形：矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等
轴对称
中心对称
图形
性质
(1)成轴对称的两个图形是全等图形．
(2)对称点所连线段被对称轴垂直平分
(1)成中心对称的两个图形是全等图形．
(2)对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分
作图
方法
(1)找出原图形的关键点，作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点．
(2)根据原图形依次连接各对称点即可
性质
(1)位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称．
(2)折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积均相等．
(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分
概念
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移．平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小
要素
平移方向和平移距离
性质
(1)平移前后的两个图形全等．
(2)图形上的每一个点沿同一个方向移动相同的距离．
(3)对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等
概念
在平面内，把一个图形绕着一个定点转动一个角度，得到另一个图形的变换叫做旋转．这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角
要素
旋转中心、旋转方向和旋转角
性质
(1)旋转前后的图形全等．
(2)对应点到旋转中心的距离相等．
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
拓展
旋转模型
(1)等腰直角三角形模型
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，将△APC绕点C按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合，则得到的△P′CP为等腰直角三角形．
图1
(2)等边三角形模型
如图2，在等边三角形ABC中，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合，则得到的△APP′为等边三角形．
eq \(\s\up7(),\s\d5(图2)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图3))
(3)正方形模型
如图3，在正方形ABCD中，P为正方形内一点，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合，则得到的△PBP′为等腰直角三角形