一次函数 菱形存在性问题(2)讲义九年级中考数学复习 有答案

这是一份一次函数 菱形存在性问题(2)讲义九年级中考数学复习 有答案，共9页。学案主要包含了菱形存在性问题解题策略等内容，欢迎下载使用。
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形也是轴对称图像，有两条对称轴（对角线所在的直线）.
3、菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边都相等的四边形是菱形.
二、菱形存在性问题解题策略
若将菱形放入坐标系中，则菱形四个点的坐标需满足：
，
一般情况下，我们解决菱形存在性问题有两种思路：①先证平行四边形，再证菱形；②先等腰，再菱形.
【例】如图，在坐标系中，已知A（1，1）、B（5，4），点C在x轴上，在平面内任取一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形.
【解答】见解析
【解析】思路1：设点C的坐标为，点D的坐标为，
①当AB为对角线时，即AB与CD互相平分，且AC＝BC，则
，解得，如图所示：
②当AC为对角线时，即AC与BD互相平分，且BA＝BC，则
，解得，如图所示：
③当AD为对角线时，则
，解得，如图所示：
思路2：先用等腰三角形存在性方法确定点C，再确定点D.
①当AB＝AC时，如图所示：
C点的坐标为，对应的点D的坐标为；
C点的坐标为，对应的点D的坐标为.
②当BA＝BC时，如图所示：
C点的坐标为，对应的点D的坐标为；
C点的坐标为，对应的点D的坐标为.
③当AC＝BC时，如图所示：
【练习】
1.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（OA＜OB）是方程组的解，点C是直线y＝2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD＝
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形（邻边相等的平行四边形）？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△PBM的面积为15．
（1）求直线CD解析式和点P的坐标；
（2）如图2，当点P为线段CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及OQ的最小值．
（3）在（1）的条件下，直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【参考答案】
【分析】（1）解方程组求出x、y，利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据两直线交点的求法求出点C的坐标；
（2）根据勾股定理求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式；
（3）求出∠OAD＝45°，根据题意画出图形，根据菱形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1），
解得，，
∵OA＜OB，
∴OA＝6，OB＝12，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+12，
，
解得，，
∴点C的坐标为（3，6）；
（2）设点D的坐标为（a，2a），
∵OD＝2，
∴a2+（2a）2＝（2）2，
解得，a＝±2，
∵由题意得，a＞0，
∴a＝2．
∴D（2，4），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
把A（6，0），D（2，4）代入，
得，
解得，，
∴直线AD的解析式为：y＝﹣x+6；
（3）存在，
理由如下：∵点D的坐标为（2，4），点A的坐标为（6，0），
∴∠OAD＝45°，
当四边形OAPQ为菱形时，OQ＝OA＝6，
∴点Q的坐标为（﹣3，3），
当四边形OAP′Q′为菱形时，OQ′＝OA＝6，
∴点Q′的坐标为（3，﹣3），
直线AD与y轴的交点P′′的坐标为（0，6），
∴OP′′＝OA＝6，
当四边形OAQ′′P′′为菱形时，点Q′′的坐标为（6，6），
当四边形OPAQ是以OA为对角线的菱形时，点Q的坐标为（3，﹣3），
综上所述，以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣3，3）或（3，﹣3）或（6，6）或（3，﹣3）．
2.
【分析】（1）PBM的面积＝S△BDM+S△BDP＝×BD×（xM﹣xP）＝15，即可求解；
（2）证明△BGP≌△QHB（AAS），求出点Q（5﹣m，3+m），当OQ⊥SR时，OQ最小，即可求解；
（3）分BD为边、BD为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可．
【解答】解：（1）将点M的坐标代入y＝﹣x+3并解得：a＝1，故点M（4，1），
将点M的坐标代入y＝kx﹣2并解得：k＝，
故直线CD的表达式为：y＝x﹣2，则点D（0，﹣2），
△PBM的面积＝S△BDM+S△BDP＝×BD×（xM﹣xP）＝×（3+2）（4﹣xP）＝15，
解得：xP＝﹣2，故点P（﹣2，﹣）；
（2）如下图，分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，
设点P（m，m﹣2），
∵∠HQB+∠HBQ＝90°，∠HBQ+∠GBP＝90°，
∴∠HQB＝∠GBP，∠QHB＝∠BGP＝90°，
BP＝BQ，
∴△BGP≌△QHB（AAS），
∴HQ＝GB，HB＝GP＝m，
故HQ＝BG＝3﹣（m﹣2）＝5﹣m，OH＝OB+BH＝m+3，
故点Q（5﹣m，3+m），
令x＝5﹣m，y＝3+m，
则y＝﹣x+，设该直线与坐标轴的交点分别为R、S，则R（，0）、S（0，），
即OR＝，OS＝，
当OQ⊥SR时，OQ最小，
则S△ORS＝×OR×OS＝×OQ×SR，
即×＝OQ×，
解得：OQ＝，
即OQ的最小值为；
（3）设点F的坐标为（m，﹣m+3），点N（a，b），
由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2），则BD＝5，
①当BD是边时，
当点F在点N的上方时，则BD＝BF，即52＝m2+（﹣m）2，解得m＝±2，
则点F的坐标为（2，﹣+3）或（﹣2，+3）
点N在点F的正下方5个单位，则点N（2，﹣﹣2）或（﹣2，﹣2）；
当点F在点N的上方时，则BD＝DF，即52＝m2+（﹣m+3+2）2，解得m＝0（舍去）或4，
同理可得，点N（4，6）；
②当BD是对角线时，则BD的中点即为NF的中点且BF＝BN，
则，解得，
故点N的坐标为（﹣5，0.5）；
综上，点N的坐标为（2，﹣﹣2）或（﹣2，﹣2）或（4，6）或（﹣5，0.5）．