2026年高考数学一轮复习专题课件：等差数列

　等差数列2026年高考数学一轮复习专题课件★★　 回归教材等差数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列___________，每一项与它的前一项的___________________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，定义的表达式为_____________________．(2)a，b的等差中项为_________．(3)通项公式：an＝_______________＝am＋__________ (m，n∈N*)．从第2项起差都等于同一个常数an＋1－an＝d，d为常数a1＋(n－1)d(n－m)d等差数列的性质设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则有如下的性质：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，当m＋n＝2p时，则am＋an＝2ap.其中，m，n，p∈N*，ap称为am和an的等差中项．推广：若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk(m1，m2，…，mk，n1，n2，…，nk∈N*)，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.(2)在等差数列中下标成等差数列的项组成的新数列仍为等差数列．(3)若{an}，{bn}都为等差数列，则{man＋kbn}也为等差数列(其中m，k均为常数)．(4)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…也成等差数列．常用结论(1)数列{an}为等差数列的充要条件是an＝kn＋b(k，b∈R)．(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是“Sn＝an2＋bn(a，b∈R)”．(3)在等差数列{an}中，Sn为前n项和，若a1>0，d0，则数列{an}为递增数列；若d0，则其前n项和Sn不存在最大值．答案　(5)√　 (6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．答案　(6)×2．某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕会，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告．已知该报告厅有15排，共390个座位，并且从第2排起，每排比前一排多2个座位，则最后一排的座位数为(　　)A．12　　　　　　　　　　 B．26C．40 D．50√解析　方法一：设从第1排到第15排每排的座位数构成的数列为{an}，由题意可知，数列{an}为等差数列，公差d＝2，且{an}的前15项和S15＝390，所以S15＝15a1＋ ×2＝390，解得a1＝12，所以a15＝a1＋14d＝12＋14×2＝40，即最后一排的座位数为40，故选C.方法二：设从第15排到第1排每排的座位数构成的数列为{an}，由题意可知，数列{an}为等差数列，公差d＝－2，且{an}的前15项和S15＝390，所以S15＝15a1＋ ×(－2)＝390，解得a1＝40，即最后一排的座位数为40，故选C.方法三：设从第1排到第15排每排的座位数构成的数列为{an}，由题意可知，数列{an}为等差数列，公差d＝2，且{an}的前15项和S15＝390，所以S15＝15a8＝390，所以a8＝26，则a15＝a8＋7d＝26＋7×2＝40，即最后一排的座位数为40，故选C.3．(1)(课本习题改编)设a≠b，且数列a，x1，x2，b和a，y1，y2，y3，y4，b分别是等差数列，则 ________．(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a4＝5，则S6＝________．154．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．解析　方法一(基本量法)：设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95.955．已知数列{an}满足2an＋1＝2an＋1，其中a8＝ ，则a3＝________．2题型一　 等差数列基本量计算 已知数列{an}是等差数列．(1)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；【答案】　(1)29　方法二：由S5＝5a3＝40，得a3＝8.所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.所以a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29. (2)若a1＝2，an＝－26，Sn＝－84，求公差d； (3)若{an}的各项均为正数，且满足a1＋a5＝ ，S7＝63.求数列{an}的通项公式．【答案】　(3)an＝2n＋1状元笔记　等差数列基本量的求法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知量是常用方法．√思考题1　(1)【多选题】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)A．a2＋a3＝0　　　　　 B．an＝2n－5C．Sn＝n2－4n D．d＝－2√√ (2)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝(　　)A．72 B．88C．92 D．98√(3)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a4＝11，且S3，S5，a22成等差数列，则S10＝(　　)A．145 B．150C．155 D．160√【解析】　设等差数列{an}的公差为d，因为a4＝11，所以S3＝ ＝3a2＝3(11－2d)，S5＝5a3＝5(11－d)，a22＝11＋18d，因为S3，S5，a22成等差数列，所以3(11－2d)＋11＋18d＝10(11－d)，所以d＝3，a1＝a4－3d＝11－9＝2，所以S10＝10a1＋45d＝20＋135＝155.故选C.题型二　 等差数列的性质(微专题)微专题1　等差数列项的性质 (1)在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝36，a11＋a12＋a13＝84，则a5＋a9＝(　　)A．30 B．35C．40 D．45√方法二：由a1＋a2＋a3＝3a2＝36，得a2＝12，由a11＋a12＋a13＝3a12＝84，得a12＝28，所以a5＋a9＝a2＋a12＝12＋28＝40.故选C. (2)若数列{an}满足an＋1＋an－1＝2an，且a3＋a15＝14，则其前17项和S17＝(　　)A．136 B．119C．102 D．85√ (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝34，则a11－b11＝(　　)A．－17 B．－15C．17 D．15√状元笔记等差数列项的性质(1)等差数列中最常用的性质：① (p，q∈N*且p≠q)，②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又迅速．√ 思考题2　(1)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a2＋a6＋a7＝27，则S9的值为(　　)A．36 B．45C．72 D．81 【解析】　因为a2＋a6＋a7＝a4＋a6＋a5＝3a5＝27，所以S9＝9a5＝81.故选D.√微专题2　等差数列和的性质√ (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于(　　)A．110 B．150C．210 D．280【解析】　因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.√(3)(人教A版选修二P23T5改编)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列中间一项的值以及数列的项数．【答案】　29，19【解析】　设等差数列为{an}，共有2n＋1项，奇数项的和记为S奇，偶数项的和记为S偶，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)·an＋1.S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝n·an＋1.∴n＝9，∴9·an＋1＝261.∴an＋1＝29.∴此数列中间一项的值为29，数列的项数为19. (4)设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列 的前n项和，求Tn.方法二：设Sn＝An2＋Bn，∵S7＝7，S15＝75，下同方法一．状元笔记等差数列和的性质在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：(1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列．(2) 也为等差数列．(3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．(4)S2n－1＝(2n－1)an.(5)若n为偶数，则 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．√思考题3　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(　　)A．－50 B．－60C．－70 D．－80【解析】　由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32，所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56，因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80.A．2 025 B．－2 025C．4 050 D．－4 050√ (4)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)A．10 B．20C．30 D．40√【解析】　设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即该数列的项数为10.微专题3　等差数列的最值问题 等差数列{an}的首项a1>0，其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？【答案】　当n＝8或9时，Sn有最大值又n∈N*，所以当n＝8或9时，Sn有最大值．方法四：同方法二得d＝ 0，S20