四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

这是一份四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题 p : x  2 ， x2 1  0 ，则命题 p 的否定形式是（ ）
x  2 ， x2 1  0
C x  2 ， x2 1  0
x  2 ， x2 1  0
D. x  2 ， x2 1  0
已知集合 A  x 1  x  2， B  x a  x  a 1 ，则“ a  1 ”是“ A  B ”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
以下函数中，在0, ∞ 上单调递减且是奇函数的是（）
f  x  3x
f  x  x
f  x  2x2
f  x   1
x

x2  x  25
设 x0 ，则函数 y 的最小值为（ ）
x
A. 6B. 7C. 10D. 11
《南京照相馆》､《浪浪ft小妖怪》､《长安的荔枝》位列 2025 年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有 28 名同学，有 15 人观看了《南京照相馆》，有 8 人观看了《浪浪ft小妖怪》，有 14 人观看了《长安的荔枝》，有 3 人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪ft小妖怪》，有 3 人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
已知关于 x 的不等式 ax2  bx  c  0 的解集是{x x  1或 x  3}，则不等式bx2  ax  c ≥ 0 的解集是
（）
A. x 1  x  3 B. x  3  x  
4
1
4
A. 6 人
B. 7 人
C. 8 人
D. 9 人
6. 幂函数 f  x  m2
 3m  3 xm 在区间
0, ∞ 上单调递减，则下列说法正确的是（）
A. m  4
C. f  x 是奇函数
B. m  4 或 m  1
D. f  x 是偶函数
C.  ,  3 1, D.  , 1 3 , 
44

x2  ax  5, x  1

f  x   f  x 
已知函数 f  x  
，满足对任意 x , x  R ， x  x ，都有12  0 成
 a , x  1
1212
x  x
 x12
立，则 a 的取值范围是（）
（∞， 2]
[2, 0)
[3, 0)
[3， 2]
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法错误的是（）
若 a  b ，则 ac2  bc2B. 若 ac2  bc2 ，则 a  b
若a  b, c  d ，则 ac  bd
若 a  b ，则
1  1
ab
下列说法正确的是（）
函数 f  x 1 的定义域为2, 2 ，则函数 f  x 的定义域为1, 3
x
2
f  x 和 g  x  x 表示同一个函数
x
函数 y 
1的值域为 0, 1 

x2  3
3
定义在R 上的函数 f  x 满足2 f  x  f x  x 1 ，则 f  x  x 1
3
已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x  y)  f (x)  f ( y) ，当 x  0 时，f (x)  0 ，f (2)  4 ，则（ ）
f (5)  10
f (x) 为奇函数
f (x) 在 R 上单调递减D. 当 x  1时， f (x)  2  f (2x)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
​
1
 2 1 2  (2)0   27 
 22
3   3 .
 4  8  2 

2kx2  kx  3
4
已知函数 f  x 
的定义域为实数集R ，则实数 k 的取值范围为.
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 x ，符号x 表示不超过 x 的最大整 数，则 y  x称为高斯函数，例如π  3 ， 1.08  2 ，定义函数 f  x  x x，则下列命题中正确的序号是．
①函数 f  x 的最大值为1；②函数 f  x 的最小值为0 ；
③函数 y 
f  x 的图象与直线 y  1 有无数个交点④ f  x 1 
2
f  x
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知集合 A  {x | 3  x  4}，集合 B  x | k 1  x  2k 1 .
（1）当 k  2 时，求 A  B, ðR A  B ；
（2）若 A ∪ B  A ，求 k 的取值范围．
已知函数 f  x 为一次函数，且对x  R 均满足 f  f  x  x  4 .
求函数 f  x 的解析式；
已知 x  0 ， y  0 ，且 f  x  2 f  y   8 ，求 1  2  1  2  的最小值.
 x 2 y

已知函数 f (x)  ax  b 是定义在[3, 3] 上的奇函数，满足 f (1)  1 .
x2  95
求函数 f (x) 的解析式；
判断 f (x) 的单调性，并利用定义证明.
若 f (t 2 1)  f (1 4t)  0, 求实数t 的取值范围.
已知函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，且当 x  0 时， f (x)  x2  4x ，函数 f (x) 在 y 轴左侧的图象如图所示，请根据图象；
画出 f (x) 在 y 轴右侧的图象，并写出函数 f (x)(x  R) 的单调区间；
写出函数 f (x)(x  R) 的解析式；
若函数 g(x)  f (x)  (3  a)x  4(x [2, 4]) ，求函数 g(x) 的最小值.
某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100 平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他报价共计6400 元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为 x 6  x  12 米，原有墙体足够长.
当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
320a 1 x x
a  0 元，若无论
左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求 a 的取值范围.
内江一中 2025-2026 学年高一上数学期中测试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
命题 p : x  2 ， x2 1  0 ，则命题 p 的否定形式是（ ）
x  2 ， x2 1  0
C. x  2 ， x2 1  0
x  2 ， x2 1  0
D. x  2 ， x2 1  0
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题 p : x  2 ， x2 1  0 ，为全称量词命题，则该命题的否定为： x  2 ， x2 1  0 .
故选：C．
已知集合 A  x 1  x  2， B  x a  x  a 1 ，则“ a  1 ”是“ A  B ”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.
【详解】当 a  1 时， B  x 1  x  2，此时 A  B ，即 a  1 可以推出 A  B ，
a  1

若 A  B ，所以a 1  2 ，得到a  1 ，所以 A  B 推不出 a  1 ，
即“ a  1 ”是“ A  B ”的充分不必要条件，故选：A.
以下函数中，在0, ∞ 上单调递减且是奇函数的是（）
f  x  3x
f  x  x
f  x  2x2
f  x   1
x
【答案】A
【解析】
【分析】A 选项，根据解析式直接得到函数在0, ∞ 上单调递减，且为奇函数；BC 选项，判断出函数为偶函数，D 选项，函数不满足在0, ∞ 单调递减.
【详解】A 选项， f  x  3x 在 R 上单调递减，且 f x  3x   f  x ，故 f  x  3x 是奇函数，满足要求，A 正确；
B 选项， f  x  x 定义域为 R，且 f x  x  x  f  x ，故 f  x  x 为偶函数，B 错误；
C 选项， f  x  2x2 定义域为 R，且 f x  2 x2  2x2  f  x ，
故 f  x  x 为偶函数，C 错误；
D 选项， f  x   1 在0, ∞ 上单调递增，D 错误.
x
故选：A
x2  x  25
设 x  0 ，则函数 y 的最小值为（ ）
x
A. 6B. 7C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求解可得答案.
x  25
x
x2  x  2525
【详解】Q x >
0 ， y  x 1  2
xx
1  11，
当且仅当 x  25 ，即 x  5 时，等号成立，
x
x2  x  25
所以函数 y 的最小值为11，
x
故选：D.
《南京照相馆》､《浪浪ft小妖怪》､《长安的荔枝》位列 2025 年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有 28 名同学，有 15 人观看了《南京照相馆》，有 8 人观看了《浪浪ft小妖怪》，有 14 人观看了《长安的荔枝》，有 3 人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪ft小妖怪》，有 3 人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A. 6 人B. 7 人C. 8 人D. 9 人
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解.
【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪ft小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合 A, B,C 表示，设同时观看了《浪浪ft小妖怪》和《长安的荔枝》有 x 人，
在相应的位置填上数字，则9  3  3  (8  3  x)  x  (14  3  x)  28 ，解得 x  3 ，因此同时观看了《浪浪ft小妖怪》和《长安的荔枝》有3 人，
所以只观看了《长安的荔枝》的人数为14  3  3  8 人.
故选：C
幂函数 f  x  m2  3m  3 xm 在区间0, ∞ 上单调递减，则下列说法正确的是（）
A m  4
B. m  4
或 m  1
C. f  x 是奇函数D. f  x 是偶函数
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的定义和单调性可求m 的值，故可判断 AB 的正误，再根据奇偶性的定义可判断 CD 的正误.
【详解】函数 f  x  m2  3m  3 xm 为幂函数，则 m2  3m  3  1 ，解得 m  4 或 m  1.
当 m  4 时， f  x  x4 在区间0, ∞ 上单调递增，不满足条件，排除 A，B；
所以 f  x  1 ，定义域x | x  0 关于原点对称，且 f (x)  1
xx
所以函数 f (x) 是奇函数，不是偶函数，故 C 正确，D 错误.
  f (x) ，
故选：C.
已知关于 x 的不等式 ax2  bx  c  0 的解集是{x x  1或 x  3}，则不等式bx2  ax  c ≥ 0 的解集是
（）
A. x 1  x  3 B. x  3  x  
4
1
4
C.  ,  3 1, D.  , 1 3 , 
44

【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知 a  0 ，且 x  1 和 x  3 是方程的 ax2  bx  c  0 的两个根，利用韦达定理，对所求不等式进行变形求解即可.
【详解】Q关于 x 的不等式 ax2  bx  c  0 的解集是{x x  1或 x  3}，
∴1 和 3 是方程 ax2  bx  c  0 的两个实数根，且 a  0 ．
  
1
3b ,
a
b  4a,

则

 1 3  c ,
a
解得 c  3a.
所以不等式bx2  ax  c ≥ 0 等价于4ax2  ax  3a  0(a  0) ，即4x2  x  3  0 ，
解得 3  x  1．
4
3
所以不等式bx2  ax  c ≥ 0 的解集是x   x  1
4
故选:B．
x2  ax  5, x  1
f  x   f  x 
已知函数 f  x  
，满足对任意 x , x  R ， x  x ，都有
12  0 成
 a , x  1
1212
x  x
 x12
立，则 a 的取值范围是（）
（∞， 2]
[2, 0)
[3, 0)
[3， 2]
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得 a 的取值范围.
x2  ax  5, x  1
f  x   f  x 
【详解】由于函数 f  x  
满足对任意 x  x ，都有12  0 成立，
 a , x  1
12x  x
 x12
所以 f  x 在R 上单调递增，
 a  1
 2

所以a  0
，解得3≤ a ≤ 2 ，
2a
1

 a  5 
1
所以 a 的取值范围是3, 2.
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法错误的是（）
若 a  b ，则 ac2  bc2B. 若 ac2  bc2 ，则 a  b
若a  b, c  d ，则 ac  bd
若 a  b ，则
1  1
ab
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可.
【详解】对于 A，当c  0 时， ac2  bc2 显然不成立，错误；对于 B，由 ac2  bc2 ，可知c2  0 ，所以 a  b ，正确；
对于 C，取 a  2, b  1, c  1, d  2 ，此时 ac  bd ，错误；
对于 D，取 a  2, b  1 ，此时 1  1 ，错误；
ab
故选：ACD
下列说法正确的是（）
函数 f  x 1 的定义域为2, 2 ，则函数 f  x 的定义域为1, 3
x
2
f  x 和 g  x  x 表示同一个函数
x
函数 y 
1的值域为 0, 1 

x2  3
3
定义在R 上的函数 f  x 满足2 f  x  f x  x 1 ，则 f  x  x 1
3
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域可判断 A 选项，根据具体函数的定义域可判断 B 选项，直接法可得函数
1
y  x2  3 的值域，可判断 C 选项，消元法求函数解析式可判断 D 选项.
【详解】A 选项，对于 f  x 1 ，令t  x 1，则 x  t 12, 2 ，则t 1, 3 ，所以 f t  ，即 f  x 的定义域为1, 3 ，A 选项正确；
对于 B， f  x 的定义域为x x  0 ， g  x  的定义域为R ，不是同一个函数，B 选项不正确；
对于 C，因为 x2  3  3 ，所以0 1 1 ，即函数 y 1的值域为 0, 1  ，C 选项正确；

x2  33
x2  3
3
对于 D，由2 f  x  f x  x 1 可得2 f x  f  x  x 1 ，
2 f  x  f x  x 1x

所以由2 f x  f  x  x 1 可得 f  x  3 1 ，D 选项正确；故选：ACD.
已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x  y)  f (x)  f ( y) ，当 x  0 时，f (x)  0 ，f (2)  4 ，则（ ）
f (5)  10
f (x) 为奇函数
f (x) 在 R 上单调递减D. 当 x  1时， f (x)  2  f (2x)
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项，赋值法得到 f 1  2 ， f (4)  f (2)  f (2)  8， f (5)  10 ；B 选项，先赋值得到
f 0  0 ，令 y  x 得 f (x)  f (x)  0 ，故 B 正确；C 选项，令 x  x1, y  x2  x1 ，且 x2  x1 ，当
x  0 时， f (x)  0 ，故 f (x2 )  f (x1)  f (x2  x1)  0 ，从而 f (x) 在 R 上单调递增；D 选项，先变形
得到 f (x)  2  f x  f 1  f (x 1) ，又 x  1，故 x  1  2x ，由函数单调性得到 D 正确.
【详解】A 选项， f (x  y)  f (x)  f ( y) 中，
令 f (x  y)  f (x)  f ( y) 中，令 x  y  2 得 f (4)  f (2)  f (2)  8，
令 x  4, y  1得 f (4 1)  f (4)  f (1)  8  2  10 ，即 f (5)  10 ，A 正确；
B 选项， f (x  y) 
f (x)  f ( y) 中，令 x  y  0 得 f (0) 
f (0)  f (0) ，解得 f 0  0 ，
f (x  y) 
f (x)  f ( y) 中，令 y  x 得 f (x)  f (x) 
f 0  0 ，
故 f (x) 为奇函数，B 正确；
C 选项， f (x  y) 
f (x)  f ( y) 中，令 x  x1, y  x2  x1 ，且 x2  x1 ，
故 f (x1  x2  x1)  f (x1) 
f (x2  x1) ，即 f (x2 )  f (x1) 
f (x2  x1) ，
当 x  0 时， f (x)  0 ，故 f (x2 )  f (x1)  f (x2  x1)  0 ，
即 f (x2 )  f (x1) ，故 f (x) 在 R 上单调递增，C 错误；
D 选项， 由 A 知 f 1  2 ， f (x)  2  f x  f 1  f (x 1) ，
又 x  1，故 x  1  2x ，又 f (x) 在 R 上单调递增，所以 f (x)  2  f (2x) ，D 正确.故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
​
1
 2 1 2  (2)0   27 
 22
3   3 .
 4  8  2 

【答案】 1
2
【解析】
【分析】直接利用指数幂的运算法则求解即可，求解过程注意避免计算错误.
1
【详解】 2 1 2  (2)0   27 
 22
3   3 
 4  8  2 

13  2 2
2 3 
  9 
1  3 
   2 
423
   

 3 1
2
 1 ．
2
故答案为： 1
2
【点睛】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的
先后顺序，属于较易题目．
2kx2  kx  3
4
已知函数 f  x 
的定义域为实数集R ，则实数 k 的取值范围为.
【答案】0, 6
【解析】
【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解.
【详解】要使 f  x 有意义，则有2kx2  kx  3  0 ，
4
Q函数 f  x 的定义域为实数集R ， 2kx2  kx  3  0 在R 上恒成立，
4
当 k  0 时， 3  0 ，恒成立；
4
2k  0

当 k  0 时，则有  k 2  4  2k  3  0 ，解得0  k  6 ；
4
综上，实数 k 的取值范围为0, 6.
故答案为： 0, 6.
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 x ，符号x 表示不超过 x 的最大整 数，则 y  x称为高斯函数，例如π  3 ， 1.08  2 ，定义函数 f  x  x x，则下列命题中正确的序号是．
①函数 f  x 的最大值为1；②函数 f  x 的最小值为0 ；
③函数 y 
f  x 的图象与直线 y  1 有无数个交点④ f  x 1 
2
f  x
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据高斯函数定义可得 f  x 的解析式和图象，由图象判断各个选项即可.


x  2, 2  x  1


【详解】由题意得： f  x  x x  



x 1, 1  x  0
x, 0  x  1，
x 1,1  x  2
x  2, 2  x  3


由解析式可得函数图形如下图所示，
对于①，函数 f  x 1，①错误；对于②：函数 f  x 的最小值为0 ，②正确；
对于③，函数 y 
f (x) 的图象与直线 y  1 有无数个交点，③正确；
2
对于④，函数 f  x 满足 f  x 1  f  x ，④正确；
故答案为：②③④
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知集合 A  {x | 3  x  4}，集合 B  x | k 1  x  2k 1 .
（1）当 k  2 时，求 A  B, ðR A  B ；
（2）若 A ∪ B  A ，求 k 的取值范围．
【答案】（1） A  B  {x | 3  x  4}， ðR A I
（2） k  5 .
2
B   ；
【解析】
【分析】（1）利用集合的交、并、补运算求集合；
（2）由题设 B  A ，讨论 B   、 B   分别求参数范围，最后取并集.
【小问 1 详解】
由题设 B  3 ，则 A  B  {x | 3  x  4}，
ðR A  {x | x  3 或 x  4}，则ðR A I B   .
【小问 2 详解】
由 A  B  A  B  A ，
若 B   时， k 1  2k 1  k  2 ，满足；
k 1  2k 1

若 B   时， k 1  3

2k 1  4
 2  k  5 ；
2
综上， k  5 .
2
已知函数 f  x 为一次函数，且对x  R 均满足 f  f  x  x  4 .
求函数 f  x 的解析式；
已知 x  0 ， y  0 ，且 f  x  2 f  y   8 ，求 1  2  1  2  的最小值.
 x 2 y

【答案】（1） f  x  x  2
（2）最小值为 9
【解析】
【分析】（1）设 f  x  kx  b k  0 ，根据题意列式求 k, b 即可；
（2）根据题意可得 x  2 y  2 ，法一：利用基本不等式可得 xy  1 ，化简整理即可得结果；法二：利用乘
2
“1”法结合基本不等式运算求解.
【小问 1 详解】
设 f  x  kx  b k  0 ，则 f  f  x  k kx  b  b  k 2 x  kb  b  x  4 ，
 k 2  1

可得kb  b  4 ，解得 k  1 ， b  2 ，所以 f  x  x  2 .
【小问 2 详解】
因为 f  x  x  2 ，所以 f  x  2 f  y    x  2  2  y  2  8 ，即 x  2 y  2 ；
法一：所以2  x  2 y  2
，化简得 xy  1 ，当且仅当 x  2 y  1 时取等，
2xy
2
所以 1  2  1  2   1  2  1  4  1  x  2 y  4  5  4  5  4  9 ，
 x 2 y2xyxy
2xyxy
2xy

故 1  2  1  2  的最小值为 9；
 x 2 y

法二：  1  2  1  2   2x 1  4 y 1  4x   x  2 y   8 y   x  2 y 
 x 2 yx2 y2x4 y

5x2  4 y2   52xy20xy  52xy
 9 ，
8xy8xy
当且仅当 x2  4 y2 且 x  2 y  2 ，即 x  1 ， y  1 时取等号，
2
故 1  2  1  2  的最小值为 9.
 x 2 y

已知函数 f (x)  ax  b 是定义在[3, 3] 上的奇函数，满足 f (1)  1 .
x2  95
求函数 f (x) 的解析式；
判断 f (x) 的单调性，并利用定义证明.
若 f (t 2 1)  f (1 4t)  0, 求实数t 的取值范围.
【答案】（1） f (x) 
2x
x2  9
（2） f (x) 
（3） 0,1
2x
x2  9
在[3, 3] 上为增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据 f (0)  0 ， f (1)  1 求出b  0 ， a  2 ，再检验即得解；
5
函数 f (x) 在[3, 3] 为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；
根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得t 的取值范围.
【小问 1 详解】
函数 f (x) 是定义在[3, 3] 上的奇函数，
则 f (0)  0 ，即 b  0 ，解得b  0 ，
9
a
又因为 f (1)  1 ，即 f (1)  1 ，解得 a  2 ，
5510
经检验可得， a  2 符合题意．
所以当3 ≤
x ≤ 3 时， f (x) 
2x
，
x2  9
【小问 2 详解】
函数 f (x) 在[3, 3] 上是增函数．证明如下：
任取x1 ， x2 [3, 3] 且 x1  x2 ，
则 f (x1 )  f (x2 ) 
2x1 
x2  9
2x2
x2  9
12
2x x2  18x  2x x2  18x2x x (x  x )  18(x  x )
 1 212 12  1 22121
1212
(x2  9)(x2  9)(x2  9)(x2  9)
 2(x2  x1 )(x1 x2  9) ，
12
(x2  9)(x2  9)
因为3  x1  x2  3 ，
所以 x2  x1  0 ， x1x2  9  0 ，
则 2(x2  x1 )(x1 x2  9)  0 ，即 f (x ) 
f (x ) ，
12
(x2  9)(x2  9)12
故 f (x) 
2x
x2  9
在[3, 3] 上为增函数；
【小问 3 详解】
函数 f  x 是定义在[3, 3] 上的奇函数，且 f (t 2 1)  f (1 4t)  0, ．
则 f t 2 1   f 1 4t   f 4t 1 ，
因为函数 f  x 在3, 3 上单调递增．
3  t 2 1  3,
2  t  2,
所以3  4t 1  3, ，则 1  t  1, 解得0   ，
2
t1
 t 2 1  4t 1,
 0  t  4,
所以 t 的取值范围是0,1．
已知函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，且当 x  0 时， f (x)  x2  4x ，函数 f (x) 在 y 轴左侧的图象如图所示，请根据图象；
画出 f (x) 在 y 轴右侧的图象，并写出函数 f (x)(x  R) 的单调区间；
写出函数 f (x)(x  R) 的解析式；
若函数 g(x)  f (x)  (3  a)x  4(x [2, 4]) ，求函数 g(x) 的最小值.
【答案】（1）图象见解析，单调递减区间为(, 2), (0, 2) ，单调递增区间为2, 0 ,[2, )
x2  4x, x  0

（2） f (x)  x2  4x, x  0
（3） g(x)
6  2a, a  3

15  a2  2a

, 3  a  7
min
4
16  4a, a  7
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的图象关于 y 轴对称作出图象，由图象得单调区间；
根据偶函数的定义求解析式；
用二次函数性质分类讨论即可求得最小值．
【小问 1 详解】
函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，即函数的图象关于 y 轴对称，则函数 f (x) 图象如图所示，
故函数的单调递减区间为(, 2), (0, 2) ，单调递增区间为2, 0,[2, ) ．
【小问 2 详解】
令 x  0 ，则x  0 ，则 f (x)  (x)2  4x  x2  4x ，
又因为函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，所以 f (x)  f (x) ，
则 f (x)  f (x)  x2  4x, x  0 ，
x2  4x, x  0

所以 f (x)  x2  4x, x  0 ．
【小问 3 详解】
当 x 2, 4时， f ( x)  x2  4x ，
则 g(x)  x2  4x  (3  a)x  4  x2  (a 1)x  4 ，其对称轴为 x  a 1 ，
2
因为 x 2, 4，
当 a  1  2 ，即 a  3 时， g(x)
2
min
 g(2)  6  2a ，
当2  a 1  4 ，即3  a  7 时， g(x)
2
min
 g(
a 1)
2
15  a2  2a
，
4
当 a 1  4 ，即 a  7 时， g(x)
2
6  2a, a  3
15  a2  2a
min
 g(4)  16  4a ，

故 g(x)

min
4
, 3  a  7 ．
16  4a, a  7
某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100 平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他报价共计6400 元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为 x 6  x  12 米，原有墙体足够长.
当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
320a 1 x x
a  0 元，若无论
左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求 a 的取值范围.
【答案】（1）左面墙的长度为 10 米
（2） 0, 36
【解析】
【分析】（1）设甲工程队的总报价为 y 元，根据题意可得出 y 关于 x 的函数关系式，利用基本不等式可求出 y
的最小值，利用等号成立的条件求出 x 的值，即可得出结论；

（2）根据题意可得出320  x 
100   6400 
320a 1 x
，可知，a 
 x 102
对任意的 x 6,12 恒成

x x
x 1
立，利用基本不等式求出
【小问 1 详解】
 x 102
x 1
 x 6,12 的最小值，即可得出实数 a 的取值范围.
解：设甲工程队的总报价为 y 元，依题意，左、右两面墙的长度均为 x 6  x  12 米，
则长方体前面新建墙体的长度为
100
米，
x
所以 y  160  2x 1 320  100 1 6400 ，
x
即 y 
  100   6400  320  2
 6400  12800 ，
x  100
x
320  xx 

当且仅当 x  100 时，即 x  10 时，等号成立.
x
故当左面墙的长度为10 米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800 元.
【小问 2 详解】
100 
320a 1 x
解：由题意可知， 320  x  x   6400 x，

即 x  100   20  a 1 x 对任意的 x 6,12 恒成立，
x x

 x 102 a 1 x
 x 102
 x 102 
所以，可得 a 
xx
x 1
，即 a  

x 1
.
min
 x 102
x 1
 x 1 81 18  2
 x 1 81
x 1
x 1
81
18  36 ，
 x 102
当且仅当 x 1 
x 1
时，即 x  8 时， 取最小值36 ，
x 1
则0  a  36 ，即 a 的取值范围是0, 36 .