四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷

这是一份四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
下列说法正确的是（） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
，， ， ，
C．数1，0，5 1 2 41 组成的集合中有 7 个元素
3 3 69
D．由不大于 4 的自然数组成的集合的所有元素为 1，2，3，4
命题x  1， x2  x  1 的否定是（ ）
A． x  1， x2  x  1
C． x  1， x2  x  1
B． x  1， x2  x  1
D． x  1， x2  x  1
已知集合 A  x  N | x2  2x  3  0 ，则集合 A 的子集个数是（ ）
A．3B．4C．8D．无数个
若用列举法表示集合 A  ( x, y) | 2x  y  6 ，则下列表示正确的是（ ）
 x  y  3 

{x  3, y  0}B．{(3, 0)}C．{3, 0}D．{0, 3}
已知集合 A  {1, 2, a2  2}， B  {1,3a}，若 B  A ，则a 等于（ ）
A．2B．1 或 2C．1 或 2 或 2
3
D． 2
3
集合 A  {x |1  x  6}, B  {x | x  a}，若 A  B ，则a 的取值范围为（ ）
A． a  6
C． a  6
a  1
D． a  1
对任意的集合 A、B，下列命题中正确的是（ ）
A．若 A   ，则 A  B ；B．若 A   ，则  A ；
若 A ∩ B   ，则 A、B 至少有一个为空集；D．若 A ∪ B   ，则 A、B 至多有一个为空集.
若a  b  0, 1  1  0 ，下列不等式：① 1  1 ；② c  d ；③ a  b ；④ ab.成立的有（ ）
cdab
个
cda  cb  d
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
已知集合 A  x x  1 ， B  {x x  2}，则（ ）
A． x  A ， x  B
C． x  A ， x  B
B． x  B ， x  A
D． x  B ， x  A
下列结论正确的是（ ）
命题“若 x  4 ，则 x2  3x  4  0 ”为真命题.
“ x  4 ”是“ x2  3x  4  0 ”的充分不必要条件
已知命题 p “若m  0 ，则方程 x2  x  m  0 有实数根”，则命题 p 的否定为真命题
命题“若m2  n2  0 ，则m  0 且n  0 ”的为真命题
已知a ， b  R ， 4a  b  1 ，则（ ）
ab 的最大值为 1
16
1  1 的最小值为8
ab
ab a  b
1
的最大值为
9
ab  1  4 的最小值为2
ab
三、填空题
已知集合 A  x 2  x  2， B  2, 0,1, 2，则 A ∩ B 
如果30  x  42 ，16  y  24 ，则2x  y 的取值范围是.
已知命题 p : x  R, x2  2x  m  0 ，命题q : x  R, x2  mx 1  0 ，若命题 p 、q 一真一假，则实数m
的取值范围为．
四、解答题
15．（1）比较大小： x2  y2 2与2  x  2 y  2 ；
（2）解不等式 x  x  2  x 3  x 1 ；
（3）解不等式 x  2  1.
3x 1
已知集合 A  x 2  x  4, B  x x  a
若a  3 ，求ðR B ；
若 A ∩ B  A ，求实数a 的取值范围．
设全集为实数集R ，集合 A  x∣a 1  x  a 1， B  x x2  4x 12  0
当a  2 时，求 A ∪ B ；
若命题 p : x  A ，命题q : x  B ，且 p 是q 的充分且不必要条件，求实数a 的取值范围．
已知关于 x 的不等式ax2  3x  2  0 的解集为x x  1 或 x  b.
求a, b 的值；
当 x  0, y  0 且满足 b  a  1时，有2x  y  k 2  k  3 恒成立，求实数k 的取值范围.
xy
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a （单位： m ）、宽为b （单位： m ）（ a, b 都为正数）．
现有36m 长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
若使每间虎笼面积为24m2 ，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
若使用的钢筋网材料总长为28m ，求 2a  3b 的最小值．
ab
1．B
根据集合概念逐一判断即可.
【详解】对于 A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误；
对于 B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确；
，， ， ，
对于 C，因为 2  4 ，1  1 ，故数1，0，5 1 2 41 组成的集合中只有 5 个元素，错误；
36933 3 69
对于 D，由不大于 4 的自然数组成的集合的元素有 0，1，2，3，4，错误.
故选：B 2．A
由全称命题的否定，将任意改为存在并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为x  1， x2  x  1.
故选：A 3．C
解不等式得到集合 A，由集合中元素个数判断子集个数.
【详解】解不等式 x2  2x  3  0 ，得1  x  3 ，所以 A  x  N | x2  2x  3  0  0,1, 2 ，则集合 A 的子集个数是23  8 .
故选：C.
4．B
【详解】由2x  y  6 解得x  3 所以 A  {(3, 0)}.


x  y  3 y  0
故选：B 5．C
【详解】解：m B  {1, 3a} ，由 B  A ，可得1 A 且3a  A ，
m 集合 A  {1, 2, a2  2}，
 当3a  2 时， a  2 ，
3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
C
A
B
C
AD
ABD
题号
11
答案
AC
当3a  a2  2 时，则a  1 或 2，经检验均符合要求，
故a  1 或
2 或 2 ，
3
故选：C 6．A
【详解】集合 A  {x |1  x  6}, B  {x | x  a}，
若 A  B ，如图，有下面两种情形，
或 ，
由图可得a  6 .
故选：A.
7．B
利用为任何集合的子集，为任何非空集合的真子集，判断选项 A，B，利用特殊值法结合交集定义判断
选项 C，利用并集定义结合含义判断选项 D.
【详解】若 A   ，则 A 是任何非空集合的真子集，当 B   时， A 不是 B 的真子集，故 A 错误；因为为任何集合的子集，所以当 A   ，   A 成立，故 B 正确；
当 A  1 ， B  2时， A ∩ B   ，但 A, B 均为非空集合，故 C 错误；若 A ∪ B   ，则必须 A   且 B   ，故原表述错误，D 错误.
故选：B.
8．C
对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知 a  b  0 ，结合不等式性质分析判
cd
断.
【详解】对于①：因为a  b  0 ，则 1
ab
 0 ，所以 1  1 ，故①正确；
ab
对于②：因为 1  1  0 ，则d  c  0 ，所以 c  d ，故②错误；
cd
对于③：因为a  b  0, 1  1  0 ，则a  b  0,  1   1  0 ，
cdcd
所以 a  b  0 ，故③正确；
cd
对于④：因为 a  b  0 ，则0  c  d ，可得0  1  1 c  1 d ，
cdabab
即0  a  c  b  d ，所以 ab，故④正确；
aba  cb  d
综上所述：成立的有 3 个.
故选：C.
AD
由集合与元素的关系可判断 ABD，举反例可得 C.
【详解】对于 A， x  A ， x  B ，故 A 正确；
对于 B、D， x  B ， x  A ，故 B 错误，D 正确；对于 C，当 x  3 ， x  A ， x  B ，故 C 错误.
故选：AD.
ABD
对于 A：把 x=4 代入 x2  3x  4  0 ,即可判断；对于 B：利用集合法判断； 对于 C：先判断出命题 p 为真命
题，可以得到命题 p 的否定为假命题；对于 D：直接判断.
【详解】对于 A：把 x=4 代入 x2  3x  4  0 成立，
所以命题“若 x=4 ，则 x2  3x  4  0 ”为真命题.故 A 正确；
对于 B：由 x2  3x  4  0 解得： x  1, x  4 .而4 是1, 4 的真子集,
所以“ x=4 ”是“ x2  3x  4  0 ”的充分不必要条件.故 B 正确；
对于 C：因为m  0 ，所以  1 4m  0 ，所以方程 x2  x  m  0 有实数根.
故命题 p 为真命题，所以命题 p 的否定为假命题.故 C 错误；对于 D：因为m2  n2  0 ，所以m=0 且n=0 .故 D 正确.
故选：ABD
AC
ab 1
根据题意，由基本不等式即可判断选项 A；结合“1”的妙用及基本不等式即可判断选项 B；由 a  b
1  1 ，
ba
结合 B 选项的结论即可判断选项 C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且注意等号是否可以取到，进而即可判断选项 D．
【详解】由a ， b  R ， 4a  b  1 ，
4a  b
对于选项 A，由1  4a  b  2
 4 ab ，即4
 1 ，
ab
所以ab  1 ，当且仅当4a  b ，即a  1 ， b  1 时等号成立，即ab 的最大值为 1 ，故 A 正确；
168216
b  4a a b
对于选项 B，由 1  1   1  1 4a  b  4  b  4a 1  5  2
 9 ，
ab
 
abab
当且仅当 b  4a ，即a  1 ， b  1 时等号成立，即 1  1 的最小值为 9，故 B 错误；
ab63ab
11ab 1 1
对于选项 C，由 B 选项可知，
  9 ，所以 a  b
ab
1  19 ，
ba
当且仅当a  1 ， b  1 时等号成立，即 ab 的最大值为 1 ，故 C 正确；
63a  b9
对于选项 D，由ab  1  4  ab  b  4a  ab  1
 2
 2 ，
ab  1
ab
ababab
则ab  1  4  2 ，当且仅当ab 
ab
4a  b  1
1 ，即ab  1 且4a  b  1 时等号成立，
ab
联立

ab  1
，整理得到4a2  a 1  0 ，由  116  15  0 ，则a ， b 无实数解，
所以等号取不到，即ab  1  4  2 ，即ab  1  4 的最小值不是 2，故 D 错误．
abab
故选：AC．
0,1
根据交集的定义求解即可.
【详解】因为 A  x 2  x  2， B  2, 0,1, 2，所以 A ∩ B  0,1 .
故答案为：0,1 .
(36, 68)
根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围.
【详解】m30  x  42 ,
60  2x  84 ,
又m16  y  24 ,
24   y  16 ,
两式相加得36  2x  y  68 ,
故答案为: (36, 68) .
m  2 或1  m  2
先求出命题 p 、q 分别为真命题时实数m 的取值范围，然后分 p 真q 假，或 p 假q 真两种情况可求得结果.
【详解】由命题 p : x  R, x2  2x  m  0 为真命题，得  4  4m  0 ，解得m ≤1 ，
由命题q : x  R, x2  mx 1  0 为真命题，得Δ  m2  4  0 ，解得2  m  2 ，因为命题 p 、q 一真一假，所以 p 真q 假，或 p 假q 真，
m  2或m  2
当 p 真q 假时， m  1

，得m  2 ，
2  m  2
当 p 假q 真时， m  1

综上， m  2 或1  m  2 .
，得1  m  2 ，
故答案为： m  2 或1  m  2 . 15．
（1） x2  y2  2  2  x  2 y  2 （2）{x x 1或 x   1}（3）{x | 1  x  3}
232
利用作差法即可比较大小；
直接因式分解法解一元二次不等式即可；
移项通分，然后转化为一元二次不等式即可.
【详解】（1） x2  y2  2  2  x  2 y  2   x 12   y  22 1  0 ， 所以 x2  y2  2  2  x  2 y  2 ；
（2） x  x  2  x 3  x 1  2x2  x 1  0  2x 1 x 1  0  x  1或 x   1 ；
2
所以不等式的解集为{x x 1或 x   1}；
2
（3） x  2  1  x  2  3x 1  0  2x  3  0  2x  33x 1  0  1  x  3 ,

3x 13x 13x 1
所以不等式的解集为{x | 1  x  3}
32
3x 1  032
16．(1) ðR B  x x  3
(2)a a  4
根据集合的补集定义进行求解即可；
根据交集的定义，子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为a  3 ，则 B  {x∣x  3} ，
所以ðR B  x x  3；
（2）因为 A ∩ B  A ，则 A  B ，所以a  4 ，
所以实数a 的取值范围为a a  4
17．(1) A  B  x∣ 2  x  6
(2) 1  a  5
首先解一元二次不等式求出集合 B ，再根据并集的定义计算可得；
依题意可得集合 A 是集合 B 的真子集，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由 x2  4x 12  0 可得 x  2 x  6  0 ，解得2  x  6 ，所以 B  x x2  4x 12  0  x∣ 2  x  6，
当a  2 时， A  x∣1  x  3 ，
所以 A  B  x∣ 2  x  6 ；
（2）由（1）知 B  x∣ 2  x  6 ，而 A  x∣a 1  x  a 1必为非空集合，因为 p 是q 的充分不必要条件，则集合 A 是集合 B 的真子集，
 a 1  6
所以2  a 1（等号不同时成立），解得1  a  5 ．

18．(1) a  1, b  2
(2) 3, 2
得到1, b 为方程ax2  3x  2  0 的两个根，由韦达定理求出答案；
在（1）的基础上，利用基本不等式“1”的妙用得到2x  y  9 ，只需9  k 2  k  3 ，求出答案.
【详解】（1）由题意得1, b 为方程ax2  3x  2  0 的两个根，
则1 b  3 ,1 b  2 ，解得a  1, b  2 ；
aa
（2）由（1）得 2  1  1，
xy
2 y  2x xy
则2x  y  2x  y  2  1   4 1 2 y  2x  5  2
 9 ，
xy
xy
 

当且仅当 2 y  2x ，即 x  y  3 时，等号成立，
xy
要想2x  y  k 2  k  3 恒成立，只需9  k 2  k  3 ，解得3  k  2 ，
故实数k 的取值范围是3, 2 .
19．(1)长为 9 m ，宽为3m
2
每间虎笼的长设计为6m 、宽设计为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为48m ．
12 ．
7
【详解】（1）由题得4a  6b  36 ，即2a  3b  18 ， a  0 ， b  0 ，设每间虎笼的面积为S ，则S  ab ，
2a  3b
因为18  2a  3b  2 2 6ab ，当且仅当2a  3b  9 时等号成立，
所以
 18
 9
，即ab  27 ，
2
ab
2 6
6
所以每间虎笼的长为 9 m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大，最大为 27 m2 ．
22
由题意可得ab  24 ， a  0 ， b  0 ，设钢筋网总长为l ，则l  4a  6b ，
4a  6b
因为4a  6b  2
 4
 48 ，
6ab
当且仅当4a  6b ，即2a  3b  12 时等号成立，所以每间虎笼的长设计为6m 、宽设计为4m 时，
可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为48m ．
依题意，得2a  3b  14 ．
方法一：
2a  3b  3  2  1  3  2 2a  3b  1 (12  9b  4a   1 12  2
  12 ，
9b  4a ab
abab
14  ab 
14ab 
14 7

当且仅当 9b  4a ，即2a  3b  7 时取等号，所以 2a  3b 的最小值为12 ．
abab7
方法二： 2a  3b  14  2 6ab ，则ab  49 ， 1  6 ，
6ab49
当且仅当2a  3b  7 时等号成立．
故 2a  3b  14  14  6
 12 ，当且仅当2a  3b  7 时等号成立．
abab
2a  3b
497
12
所以的最小值为．
ab7