四川省内江市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省内江市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．已知，，与的夹角是，则( )
A.B.C.D.
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则( )
A.B.C.D.
4．如图，向量，，，则向量可以表示为( )
A.B.C.D.
5．在中，已知，是关于x的方程，则( )
A.3B.C.1D.
6．为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度
7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若D是的中点，，，则( )
A.3B.4C.5D.6
8．如图，在扇形中，半径，圆心角，P是扇形弧上的动点，过P作于，作于R，记，，则( )
A.在上单调递增B.在上单调递增
C.是定值D.是定值1
二、多项选择题
9．下列条件能使的是( )
A.B.C.D.，
10．已知函数，下列四个结论中，正确的有( )
A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称
C.函数的图象关于点对称D.函数在上单调递增
11．下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若，则
D.
12．若平面向量，，满足，，，且，则( )
A.的最大值为5B.的最小值为2
C.的最大值为D.的最小值为2
三、填空题
13．已知梯形中，，，且三个顶点坐标分别为，，，则顶点C的坐标为_________.
14．若，，则_________.
15．已知，，均为单位向量，且满足，则_________.
四、双空题
16．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则_________，面积的取值范围为_________.
五、解答题
17．已知，是两个不共线的向量.
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）若和共线，求实数的值.
18．已知，，且.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）β的值.
19．已知函数，
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，求的面积S.
20．如图，在直角梯形中，，，，点E为中点，与相交于F.
（1）当时，求；
（2）设，求的值.
21．已知函数（，）的一个最高点的坐标为，
（1）求的解析式；
（2）将的图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变，得到的图象，且在区间上至少有2个零点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当取得最小值时，对，都有成立，求t的取值范围.
22．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形.设，.
（1）当时，求：①小路AC长度；②草坪的面积；
（2）当草坪的面积最大时，求此时小路BD的长度.
参考答案
1．答案：A
解析：.
故选：A.
2．答案：C
解析：由题意，.
故选：C
3．答案：A
解析：因为在中，，，，
由正弦定理得，则，
因为，所以，则，
故选：A
4．答案：C
解析：由题图可知，.
故选：C.
5．答案：A
解析：由已知，，
因为A，B，C是三角形内角，
则.
故选：A.
6．答案：D
解析：运用函数图像平移规律“左加右减”，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度即可.
故选：D.
7．答案：B
解析：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
若D是的中点，则，
两边平方可得，即，
若，则，解得或（舍去）.
故选：B.
8．答案：C
解析：由题意，，
由余弦定理有
，，
故ABD错误，C正确.
故选：C.
9．答案：BC
解析：对于A，向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误；
对于B，能保证向量共线，且它们的模也相等，故B正确；
对于C，等价于是零向量，而零向量可以和任何向量共线，故C正确；
对于D，不存在任何实数使得，即方程组不可能成立，这意味着，不能共线，故D错误.
故选：BC.
10．答案：AD
解析：函数，最小正周期，A选项正确；
由，解得函数的图象的对称轴方程为，
当时，得函数的图象关于直线对称，BC选项错误；
时，，是正弦函数的单调递增区间，所以函数在上单调递增，D选项正确.
故选：AD
11．答案：BD
解析：A.由平方关系和两角和余弦公式得：，故错误；
B.，故正确；
C.若，则，故错误；
D.，
，故正确；
故选：BD
12．答案：AC
解析：若平面向量，，满足，，，且，
则，即，，
不妨设，，，，，
所以，，
，，
因为，所以，的取值范围分别为，，
所以，的取值范围分别为，，
故AC正确，BD错误.
故选：AC.
13．答案：
解析：由题意，设顶点C的坐标为，则，，
所以，解得，所以顶点C的坐标为.
故答案为：.
14．答案：
解析：，因为，则，
，则，故.
故答案为：.
15．答案：或
解析：由题意，所以，解得.
故答案为：.
16．答案：①.，②.
解析：在锐角中，，且，
由余弦定理得：，解得；
由余弦定理得，
因为是锐角三角形，所以，
即，解得，
所以，
故答案为：，
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1），
又，
，，又，
A，B，D三点共线；
（2）
向量和共线，
存在实数k使，
又，是不共线，，
解得.
18．答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
解析：（Ⅰ），，
，，
，，
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，
又，.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1），运用两角和差正弦得到，
，
运用辅助角公式得到，.
令，解得.
故的单调递减区间为
（2），则，即，，则.
由余弦定理知道，即.（∗）
而，两边平方得到与（∗）联立得到.
故的面积.
20．答案：（1）4；
（2）
解析：（1）因为，
所以以点B为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
若，，则，，，，，
所以，，
所以；
（2）设，，则，，，
则，，，
由题意，
因为A，C，F三点共线，所以，解得.
21．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）由题意，，，又，
所以，，所以；
（2）由题意，当时，，
在区间上至少有2个零点，
则，解得，所以的取值范围为；
（3）的最小值为，即，
因当时，，，，
所以的最大值为3，故，，
解得：或.
22．答案：（1），；
（2）
解析：（1）由，，故，
由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
即，
则，
故有，
故，
；
（2），
，
故，
则，
其中，，则当，
即时，草坪的面积最大，
此时，
即此时小路BD的长度为.