黑龙江省哈尔滨市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析

这是一份黑龙江省哈尔滨市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试说明：
（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；
（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题
（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合或，则（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集和补集的定义求解即可.
【详解】由题可得：，则，
故选:A
2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由奇函数定义及选项单调性可得正确答案.
【详解】对于A：函数定义域为，且为奇函数，
但是函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于B：函数定义域为，
且，所以为奇函数，
又与均在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确；
对于C，函数，定义域为，且，所以是偶函数；故C不正确；
对于D，函数，定义域为，则为非奇非偶函数，故D不正确；
故选：B
3. 已知函数是幂函数，则实数的值为（ ）
A. 3B. C. 3或D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的定义求解即可.
【详解】由题可得：，解得：或；
故选：C
4. 已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由奇函数的性质进行求解即可．
【详解】当时，得，
因为为定义在上的奇函数，所以，
则当时，，
故选：B
5. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性判断即可.
【详解】由题可得：，解得：或，所以函数的定义域为：，
令，则在上单调递减，在上单调递增；
则在上单调递减；结合复合函数单调性可得函数的单调递减区间是；
故选：D
6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数，在上是增函数，则每一段都为增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】因为函数，在上是增函数，
所以，解得，
故选：C
7. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.
【详解】设，故且，
所以，故，
由于，，
所以，即，
故选：A.
8. 若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为，结合函数单调性求出在的最大值大于等于即可求解.
【详解】将不等式变形为：，令，所以是关于的函数；
当时，满足条件；
当时，满足条件；
当时，即时，在上单调递减，
若，使得关于的不等式成立，则，解得：或，
由于，则；
当时，即或时，在上单调递增，
若，使得关于的不等式成立，则，解得：或，
由于或，则或；
综上，实数的取值范围为：或；
故选：A
（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列命题中，是假命题的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】由不等式的基本性质直接判断即可.
【详解】由不等式的基本性质可知，若，则，故A正确；
若，显然，两边同除一个正数得，故B正确；
若，则，C选项中，没有正数条件，故C错误；
若，则，所以，，所以，，所以，故，故D错误.
故选：CD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数的值域为
C. 函数的值域为
D. 函数的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由于即可求解；对于B，换元，利用对勾函数性质即可求解；对于C，利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，对于D，结合基本不等式即可求解.
【详解】对于A，由于，所以，则函数的值域为，故A正确；
对于B，令，则，
由对勾函数性质，单调递增，所以，
所以函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，
所以，
则，即函数值域为，故C正确；
对于D，由于，所以函数的定义域为，
当时，，
当时，，当且仅当时取等号；
当时，，当且仅当时取等号；
综上函数的值域为，所以D不正确；
故选：AC
11. 已知定义在上的函数满足是奇函数，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称B. 是增函数
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性检验各选项即可求解.
【详解】若定义在上的函数满足为奇函数，
则的图象关于对称，即，则，A正确，D正确；
因为对任意的，都有，
所以在上单调递增，根据函数的对称性可知，在上单调递增，无法确定与附近值的关系，所以B不正确；
由可得，由于未知，故未知，故C不正确.
故选：AD.
第II卷（非选择题，共92分）
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.）
12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由抽象函数与具体函数定义域求解即可.
【详解】由题可得：，解得：或，
所以函数的定义域为
故答案为：
13. 已知集合.若，使得，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，再利用集合的包含关系求解作答
【详解】因为，，使得，则，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围是．
故答案为：
14. 若，且，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】凑项利用基本不等式求解即可.
【详解】，
由，，得，当且仅当时，即时取等号；
所以，
由于，则，
当且仅当，即时取等号；
所以的最小值为.
故答案为：
三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. （1）求值：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）用指数幂运算法则化简各项再计算；
（2）对指数变形后代入已知求值.
【详解】（1）原式
（2），所以
16. 已知函数满足，
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并证明.
【答案】（1）
（2）在单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）用替换已知式中的后解方程组得解析式；
（2）由单调性的定义证明．
【小问1详解】
，
得，
两式相加，得，
得．
【小问2详解】
设，
由，得，
，且
则，得
则在单调递减．
17. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）分别讨论，和三种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可.
【小问1详解】
当时，.
，即
.
设方程的两根分别为，解得,，
不等式的解为
函数的解集为.
【小问2详解】
由题意，得，
①当时，不等式化为，解得；
②当时，开口向上，此时，
（i），即时，方程无解，不等式解集为；
（ii），即时，方程有唯一解，不等式解集为；
（iii），即时，方程有两解，
，且，
则不等式解集为.
③时，开口向下，此时，显然，方程有两解，
，且，不等式解集为.
综上所述，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
18. 已知定义在上的函数满足以下条件：
①对任意实数，恒有；
②当时，的值域为；
③.
（1）求，的值；
（2）时，求的值域，判断并证明在上的单调性；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1），
（2）；在上单调递增；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法即可求解；
（2）当时，，则,令，代入化简可得即可求出值域；利用作差法即可证明在上单调性；
（3）由化简可得，从而将不等式转化为，令，解不等式，结合函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
令，则，
解得或.
时，令
有，与题干信息不符，故
令.
【小问2详解】
当时，，则
令，有
化简得：，
因为，所以，
所以当时，的值域为，
所以当时，，
则
由于，则，则
，故在上单调递增；
【小问3详解】
由于
，由于，
.
，
化简得，
令，则，
解得：，即.
又因在上单调递减，所以.
所以不等式的解集.
19. 已知函数.
（1）若，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最大值为8，求实数的值；
（3）若函数在上单调递增，求实数的取值范围，并证明：当正实数，满足时，.
【答案】（1）
（2）或
（3）或，证明见解析
【解析】
【分析】（1）分离参数结合基本不等式即可求解；
（2）分类讨论的范围，结合二次函数的图像与性质分析即可求解；
（3）结合（2）问图像即可得到实数取值范围，令,可得当时，恒成立；
由,结合即可证明结论.
【小问1详解】
若，恒成立，则在恒成立
当且仅当时取等，
【小问2详解】
令,解得：,
①时，的图像如下：
所以在单调递增，，解得：（舍）
当时，的图像如下：
令,解得：,或,或,
②当时，在上单调递增，则时，,解得：（舍）;
③当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，
则时，,解得满足条件；
④当时，即时，结合图像可得当时,,解得(舍)，
⑤当,即时，结合图像可得当时,,解得：满足条件；
综上，或
【小问3详解】
结合（2）问图像，要使函数在上单调递增，则或，
取时，，在单调递减
时，，此时,
时，,此时,
所以当时，恒成立；
由于正实数，满足，则,
所以，
由于,