黑龙江省大庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出指数函数的值域可得集合,求出根式函数得定义域可得集合，再由集合的并集定义计算即得.
【详解】因，，
故.
故选：A.
2. 下列是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可．
【详解】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题；
对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意；
对于D，时，，则是真命题，符合题意．
故选：D．
3. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质或取特殊值判断各选项即可.
【详解】解：对于A选项，取，满足且，但不成立，故错误；
对于B选项，因为，，所以由不等式的性质得，故正确；
对于C选项，当时，，不满足，故错误；
对于D选项，取，则，不满足，故错误.
故选：B
4. “”是“函数的定义域为R”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式恒成立求出的取值范围，根据充分条件、必要条件的概念得解.
【详解】由的定义域为，得.
当时，40恒成立；
当时，由，解得.
所以当函数的定义域为时，的取值范围为，
所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件.
故选：B
5. 函数的大致图像如图，则其解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】要解决这个问题，我们需要根据函数图像的特征，逐一分析每个选项中的函数，看是否符合图像特点.
【详解】由已知函数的图象知：函数的定义域为，且函数值恒大于等于零，
对于A选项，的图象是两条射线，
与已知图象不符，故不正确.
对于B选项,的定义域为，与已知图象不符，故不正确.
对于C选项,当时,是一个单调递增的曲线，当时,是一个单调递减的曲线，整体图象关于对称，且在处平滑连接,与已知图象相符，故正确.
对于D选项,当时，，增长速度较快，当时，，下降速度也较快，与已知图象不符，故不正确.
故选：C
6. 若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数为偶函数可知在的单调性，再根据幂函数性质和指数函数性质判断出，根据函数的单调性即可判断大小.
【详解】为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减.
根据幂函数在上单调递增，得，再
由指数函数单调递增可知，，则，
故，即.
故选：B.
7. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，画出函数的图象，数形结合可得的范围，即可得解.
【详解】当时，，
则在上单调递减，此时，
当时，，
则函数在上单调递增，此时，在上单调递减，此时，
当时，由，即，得，
当时，由，即，得，
画出函数的图象，如图，

若在区间上既有最大值，又有最小值，
得，因此，
则的最大值为3.
故选：C.
8. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，其中，分析该函数单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可.
【详解】构造函数，其中，则，
故函数为偶函数，
当且时，都有成立，
不妨设，则，
则，即，
故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，
因为，则，
当时，由得，即，解得；
当时，由得，即，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数运算逐项计算判断.
【详解】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，由，得，则，B正确；
对于C，由，得，于是，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10. 已知，，则（ ）
A. ab的最大值为B. 的最小值为8
C. 的最大值为D. 的最小值为2
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，由基本不等式即可判断选项A；结合“1”的妙用及基本不等式即可判断选项B；由，结合B选项的结论即可判断选项C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且注意等号是否可以取到，进而即可判断选项D．
【详解】由，，
对于A，由，即，
所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确；
对于B，由，
当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误；
对于C，由B选项可知，，所以，
当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确；
对于D，由，
则，当且仅当，即且时等号成立，
联立，整理得到，由，则，无实数解，
所以等号取不到，即，即的最小值不是2，故D错误．
故选：AC．
11. 已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法可判断A和C；结合函数单调性的定义可判断B；利用单调性解不等式可判断D.
【详解】函数的定义域为且，
对于A，取，则，
再取，则，故A错误；
对于B，且，有，
因为时，，所以，于是，
即，所以函数在上单调递增，故B正确；
对于C，取，，则，
即，
则有，
因此，故C正确；
对于D，由选项C知，，
则，，
所以不等式等价于，
因为函数在上单调递增，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点______
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数的定义及单调性可得，再结合指数型函数定点问题求解即可．
【详解】为幂函数，
，解得或，
又在上单调递减，
所以，则，
当，即时，，
所以的图象过定点．
故答案为：.
13. 已知，若，则a的取值范围为_______
【答案】
【解析】
【分析】化简不等式得，再对分类讨论即可.
【详解】，即，即，
当时，得，解得，
当时，得，解得，
综上所述，a的取值范围为.
故答案为：.
14. 设函数，正实数满足，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】首先推导出，再说明的单调性，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
又在定义域上单调递增，且值域，
在上单调递增，所以在定义域上单调递增，
因为正实数满足，所以，即，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求值：
（1）；
（2）；
（3）已知，，求.
【答案】（1）；
（2）11； （3）20.
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则计算得解.
（2）利用对数运算性质及换底公式计算得解.
（3）利用指数运算化简计算即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
由，，得，，
所以.
16. 已知函数.
（1）当，求函数的值域；
（2）当时，是否存在实数a，使的图象都在函数的图象的下方？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）对x分类讨论，利用基本不等式法求最值，即可得到值域；
（2）假设存在a符合题意，利用分离参数法和基本不等式即可求出a的范围.
【小问1详解】
当，函数的定义域为R.
若，则y=0；
若，函数，所以；
若，则，函数，所以，即；
综上所述：，即函数的值域为
【小问2详解】
假设存在实数a符合题意，即对任意实数，都有恒成立，
即对任意实数，
因为在时，，所以，
即存在实数满足题意.
17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值，并求函数的值域.
【答案】（1）
（2），值域为
【解析】
【分析】（1）设，根据条件，利用奇函数的性质，即可求解；
（2）利用二次函数的性质，分，，三种情况，即可求出，进而可求出的值域.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，则，
又当时，，设时，则，所以，
得到，所以当时，，
则的解析式为.
【小问2详解】
因为，又由（1）知时，，
又的对称轴为，
当，即时，在区间上单调递增，
此时
当，即时，，
当时，在区间上单调递减，此时，
综上，，
又因为时，，对称轴为，此时，
当时，，
当时，，对称轴为，此时，
综上所述，函数的值域.
18. 已知为奇函数，且定义域为，.
（1）求的值，判断的单调性，并用定义法证明；
（2）若，求的取值范围；
（3）若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围.
【答案】（1），增函数，证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质求参数，进而判断函数的单调性，应用单调性定义证明即可；
（2）由（1）所得单调性列不等式求参数范围；
（3）由题设可得，且令，则能成立，结合二次函数的性质列不等式求参数范围.
【小问1详解】
因为为奇函数，定义域为，
所以，得，经验证满足题设，
在定义域上为增函数，证明如下：
任取，，且，，
，
所以，在定义域上为增函数；
【小问2详解】
由（1）得，解得；
【小问3详解】
，
，
，即，
，
，，
令，，，
，
，则存在一个实数，使成立，
只需或，解得或，
综上：.
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，）
（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
（2）求证：；
（3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)根据，函数为上的奇函数，为上的偶函数得联立方程组即可求解；
（2）由（1）得函数和解析式代入即可得证；
（3）由（1）知，函数为上的单调增函数， 函数在区间上的值域是，得关于的方程有两个互异实根，令，方程有两个互异正根，根据一元二次方程根的分布即可求解.
【小问1详解】
函数为上的奇函数，为上的偶函数，且，
即
解得.
函数均为上的增函数，
函数为上的增函数，合乎题意.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
，
.
又，则.
由（1）知，函数为上的单调增函数.
函数在区间上的值域是，
即
关于的方程有两个互异实根.
令方程有两个互异正根.
解得.
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布求解．