黑龙江省哈尔滨市某校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市某校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的定义求解.
【详解】因为集合，
所以，
所以.
故选：D
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在命题的否定即可求解.
【详解】命题“”的否定是，
故选：D
3. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形、的面积即可得解.
【详解】由题意可得，扇形的面积是，
扇形的面积是．
则扇面（曲边四边形）的面积是.
故选：C
4. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶次根式下被开方数非负以及真数大于零列方程组，解之即得.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
则函数定义域为.
故选：D．
5. 已知函数则（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】直接代值计算即可.
【详解】由题意，.
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数单调性得到，，且，从而比较出大小
【详解】，即，
由于为第二象限角，故，故.
故选：D.
7. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由指数函数单调性可得，求出函数的定义域，结合函数的性质和图象的平移变换即可求解.
【详解】因为函数且在上为减函数，
所以，
函数的定义域为，故排除，；
且函数为偶函数，
当时，，
的图象由的图象向右平移一个单位得到，
且在定义域范围内是减函数， 故正确.
故选：.
8. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性画出的大致图象，进而得到fx−1的大致图象，结合图象求得的取值范围.
【详解】依题意，是定义在R上的奇函数，
在上单调递减，则在0,+∞上单调递减，
，由此画出的大致图象如下图所示，
的图象向右平移个单位长度，得到fx−1的图象，如下图所示，
由图可知满足的的取值范围是.
故选：D
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．）
9. 下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据偶函数定义和单调性概念判断即可.
【详解】因为函数的定义域是，所以函数无奇偶性；
函数的定义域是，又，
所以函数为奇函数；
函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，
又因为时，在上单调递增；
函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，在上单调递增.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数（且）的图象恒过定点
B. 若，则
C. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则
D. 的零点所在的一个区间为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A. 利用对数函数过定点求解判断；B.由判断；C.利用三角函数的定义求解判断；D.利用零点存在定理判断.
【详解】A. 令，得，所以函数（且）的图象恒过定点，故正确；
B.当时， ，故错误；
C.角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，
若角的终边上有一点，则，故正确；
D. 因为在上单调递增，
，
所以的零点所在的一个区间为，故正确；
故选：ACD
11. 已知函数，函数满足，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 若实数、满足，则
D. 若函数与图象的交点为x1,y1，x2,y2，，…，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】计算得出，可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；举出反例，可判断C选项；利用函数的对称性可判断D选项.
【详解】由，得，
所以函数的定义域为，
因为
所以，故A错误；
因为，
所以，
所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；
对于C，由f−1=ln2+1+4>4，
则f−1+f0=7>6，此时，故C错误；
对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点0,3对称，
若函数与图象的交点个数为偶数，
且x1,y1与，x2,y2与都关于点0,3对称，
所以，，
所以，
若函数与图象的交点个数为奇数，
且x1,y1与，x2,y2与都关于点0,3对称，
则，，
且，，
所以，故D正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则，②函数的图象关于直线对称，则.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算：______.
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的意义和底的对数等于1得到结果.
【详解】因为：，，所以原式.
故答案：2
13. 已知函数为奇函数.则_______.
【答案】1
【解析】
【分析】因为奇函数且定义域为R，故可由求得的值，再利用奇函数的定义验证即可.
【详解】因为函数为奇函数，定义域为R，所以，即
此时，
，
即为奇函数，符合题意.
故答案为：1.
14. 若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是__________________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值即得.
【详解】由正数满足，得，
则，当且仅当时取等号，
由使恒成立，得，
所以实数的最大值是9.
故答案为：9
四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 已知函数（且）的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把已知点的坐标代入求解即可；
（2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件．
【小问1详解】
因为函数（且）的图象过点.
，所以，即；
【小问2详解】
因为单调递增，所以，
即不等式的解集是．
16. 已知集合，，.
（1）若，求实数a取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【详解】（1）若，则，得；
（2）由，得，即，
所以，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，
即，解得.
即实数a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键．
17. 已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由诱导公式即可化简；
（2）由诱导公式结合计算即可得解；
（3）结合诱导公式将代入计算可得解.
【小问1详解】
【小问2详解】
因为，所以，
又因为是第三象限角，所以，
所以.
【小问3详解】
当时，.
18. 近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求.
（1）求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式；
（2）当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）年产量为10（千件），最大利润是8万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件即可得到利润关于产量的关系式；
（2）由二次函数的值域即可得到的最值，再结合基本不等式代入计算，即可得到时的最值.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
所以
【小问2详解】
若，，即，
当时，万元；
若，，
当且仅当时，即时，万元，
因为，所以年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
19. 已知．
（1）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（2）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）存在，
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）换元令，代入后利用一元二次函数的图象和性质分类讨论即可；
（2）根据的单调性联立方程组可得，从而得到，再利用换元法结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由题意，令，因为，所以，
则令，，对称轴为，
①当，即时，函数在为增函数，
，解得，
②当，即时，
，解得，不符合题意，舍去，
③当，即时，函数在为减函数，
，解得，不符合题意，舍去，
综上所述：存在使得的最小值为．
【小问2详解】
由题意，则在定义域范围内为减函数，
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，
②-①得：，
所以，即③，
将③代入②得，
令，所以，
因为，，所以，
所以，在区间单调递减，所以，
故存在实数，使函数在上的值域为，
实数的取值范围且为．