2025-2026学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，四象限内，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列不是y关于x的反比例函数的是( )
A. y=3x−1B. y=−x3C. xy=5D. y=12x
2.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A. a=4cm，b=6cm，c=5cm，d=10cm
B. a=2cm，b=3cm，c=4cm，d=6cm
C. a=2cm，b=3cm，c=4cm，d=1cm
D. a= 2cm，b=3cm，c=2cm，d= 3cm
3.学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择(每人购一份).某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是( )
A. 15元
B. 16元
C. 17元
D. 18元
4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中正确的是( )
A. sinB=BCAB
B. csB=ADAB
C. tanC=ABBC
D. tanC=ADCD
5.如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是( )
A. △BCD∽△ACD
B. △BCD∽△ABC
C. △ACD∽△ABC
D. 以上都不对
6.已知反比例函数y=−2x，下列说法错误的是( )
A. 在每个象限内，y的值随x的值增大而增大
B. 是轴对称图形，也是中心对称图形
C. 过原点的直线与y=−2x交于(1,−2)点，则该直线与y=−2x一定还交于(2,−1)点
D. 图象分别位于第二、四象限内
7.如图，在△ABC中，∠A=88∘，∠C=42∘，AB=6，则点A到BC的距离是( )
A. 6sin50∘
B. 6sin50∘
C. 6cs50∘
D. 6tan50∘
8.如图，反比例函数y=6x的图象经过菱形ABCD的对角线AC与BD的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，AC//y轴，BD//x轴，则△ABD的面积为( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
9.随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是( )
A. 平均数是9B. 众数是9C. 中位数是9D. 方差是9
10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30∘，则劣弧BC的长等于( )
A. 2π3
B. π3
C. 2 3π3
D. 3π3
11.设x1，x2是一元二次方程x2−2x−5=0的两根，则x12+x22的值为( )
A. 6B. 8C. 14D. 16
12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE//CB.若AB=10，CD=6，则DE的长为( )
A. 9 105
B. 12 105
C. 6
D. 245
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.关于x的一元二次方程x2+bx−8=0的根的情况是 .
14.在△ABC中，∠B，∠C都是锐角，tanB=1，csC= 22，写出△ABC最确切的形状是 .
15.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E.设BD=1，∠D=30∘，则图中阴影部分的面积为 .
16.汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力.小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣.如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为1.4m，车宽AF=1.8m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3DF=2AF，点A，F分别在PB，PE上，点C，D在EB上，则汽车盲区EB的长度为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
解方程：
(1)x2+8x−20=0；
(2)2x2−3x=1.
18.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=60∘，求∠DEB的度数；
(2)在(1)的条件下，⊙O的半径为2，求AB的长.
19.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB交AB于点E，连接BD，若BE=13AB，求cs∠DBE的值.
20.(本小题8分)
四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G.
(1)若AC=8，求AG的长；
(2)如果AB=AC，求证：△AFG∽△ACF.
21.(本小题9分)
活动背景：制作无盖方形纸盒.
现有相同的长方形硬纸板2张(如图①)，已知纸板的长与宽之比是2：1.小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形(如图②)，围成一个无盖的方形纸盒(如图③).
任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是10cm、容积12000cm3的方形纸盒.求原硬纸板的长和宽分别是多少？
任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作.他能否做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒.若可以，请求出剪裁的小正方形的边长.若不可以，请说明理由.
22.(本小题9分)
如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30∘方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60∘方向上，测得港口C位于B的北偏东45∘方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上.
(1)填空：∠AMB=______度，∠BCM=______度；
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；
(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).
23.(本小题11分)
如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连接AD.
(1)写出图中一个与∠C相等的角；
(2)判断△ABF的形状，并说明理由；
(3)若AF=2，BE= 3，求DE的长.
24.(本小题12分)
如图，正比例函数y=k1x图象与反比例函数y=k2x(x>0)图象交于点A(4,3)，直线BC//OA，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接AC，AB.
(1)求正比例函数，反比例函数解析式；
(2)求△ABC的面积.
(3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵y=3x−1=3x，
∴y=3x是反比例函数，故A选项不符合题意；
∵y=−x3=−13x，
∴y=−13x是正比例函数，故B选项符合题意；
∵xy=5，
∴y=5x是反比例函数，故C选项不符合题意；
y=12x是反比例函数，故D选项不符合题意；
故选：B.
根据反比例函数的定义逐一判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.5×6≠4×10，这四条线段不成比例，故不符合题意；
B.3×4=2×6，这四条线段成比例；符合题意；
C.3×4≠1×2，这四条线段不成比例，故不符合题意；
D.2×3≠ 2× 3，这四条线段不成比例，故不符合题意；
故选：B.
由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断．
本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
3.【答案】C
【解析】解：15×40%+18×50%+20×10%=17(元)，
即当天学生购买盒饭费用的平均数是17元．
故选：C.
根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
4.【答案】D
【解析】解：由题知，
∵∠BAC=90∘，AD⊥BC，
∴∠B+∠C=∠B+∠BAD，
∴∠C=∠BAD.
同理可得，∠B=∠CAD.
在Rt△ABD中，
sinB=ADAB.
在Rt△ABC中，
sinB=ACBC.
在Rt△ACD中，
sin∠CAD=CDAC，
∴sinB=sin∠CAD=CDAC，
则sinB=ADAB=ACBC=CDAC.
故A选项不符合题意．
同理可得，csB=BDAB=ABBC=ADAC.
故B选项不符合题意．
同理可得，tanC=ABAC=ADCD=BDAD.
故C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D.
根据正弦，余弦及正切的定义对所给选项依次进行判断即可．
本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦，余弦及正切的定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据作图可知：∠ACD=∠ABC，
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
故选：C.
根据作图可知∠ACD=∠ABC，即可证明△ACD∽△ABC.
该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定．
6.【答案】C
【解析】解：A、因为k=−2，图象在二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，说法正确，故本选项不符合题意；
B、反比例函数y=−2x的图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，故本选项不符合题意；
C、过原点的直线与y=−2x交于(1,−2)点，则该直线与y=−2x一定不交于(2,−1)点，说法错误，故本选项符合题意；
D、图象分别位于第二、四象限内，说法正确，故本选项不符合题意．
故选：C.
根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7.【答案】A
【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
∵∠C=42∘，∠BAC=88∘，
∴∠B=50∘.
在Rt△ABM中，
sinB=AMAB，
∴AM=6sin50∘.
故选：A.
过点A作BC的垂线，垂足为M，借助于三角函数表示出AM的长即可解决问题．
本题主要考查了解直角三角形及点到直线的距离，过点A作BC的垂线构造出直角三角形是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接OP，
∵AC//y轴，BD//x轴，
∴四边形OCPB是矩形，
∵点P在反比例函数图象上，
∴S△POC=S△BPC=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABD=2S△BPC=6.
故选：B.
根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义、矩形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、平均数是：150×(2×7+12×8+20×9+16×10)=9，故此选项说法正确；
B、众数是9，故此选项说法正确；
C、中位数是9，故此选项说法正确；
D、方差是：150×[2×(7−9)2+12×(8−9)2+20×(9−9)2+10×(10−9)2]=0.6，故此选项说法错误．
故选：D.
利用加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义即可求解．
本题考查了加权平均数公式、方差公式以及众数、中位数的定义，理解方差的计算公式是关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角定理得到∠BOC=60∘是解题的关键所在.连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60∘，然后利用弧长公式l=nπr180来计算劣弧BC的长.
【解答】
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=30∘，
∴∠BOC=2∠BAC=60∘，
又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=2，
∴劣弧BC的长为：60π×2180=2π3.
故选A.
11.【答案】C
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−2x−5=0的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=−5
∴原式=(x1+x2)2−2x1x2
=4+10
=14
故选：C.
由根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
12.【答案】A
【解析】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE//BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴DG=MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM=EM=12DE，BN=CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE//CB.
∴CH=DH=12CD=3，
∴OH= OD2−DH2= 52−32=4，
∴BH=9，
∴BC= BH2+CH2=3 10，
∴BN=12BC=3 102，
∴ON= OB2−BN2= 102，
∵sin∠BCH=BHBC=DGCD，即93 10=DG6，
∴DG=9 105，
∴MN=DG=9 105，
∴OM=MN−ON=13 1010，
∴DM= OD2−OM2=9 1010，
∴DE=2DM=9 105.
故选：A.
设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN=DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE.
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
13.【答案】有两个不相等的实数根
【解析】解：∵关于x的一元二次方程为x2+bx−8=0，
∴Δ=b2−4×1×(−8)=b2+32>0，
∴所以此方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
14.【答案】等腰直角三角形
【解析】解：∵在△ABC中，∠B，∠C都是锐角，tanB=1，csC= 22，
∴∠B=45∘，∠C=45∘，
∴∠B=∠C=45∘，∠A=180∘−45∘−45∘=90∘，
∴AB=AC，∠A=90∘，
即△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
根据特殊锐角三角函数值求出∠B，∠C，再根据三角形内角和定理求出∠A进而判断三角形形状即可．
本题考查锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值以及等腰三角形、直角三角形的判定是正确解答的关键．
15.【答案】π3− 34
【解析】解：如图，AB是⊙O的直径，连接OC，
∴∠ACB=90∘，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴BC=BD，
∵∠A=∠D=30∘，
∴∠ABC=60∘，AB=2BC=2，
∴∠AOC=120∘，
∵∠BEC=90∘，
∴BE=12BC=12，
在直角三角形BCE中，由勾股定理得：CE= BC2−BE2= 32，
∴图中阴影部分的面积=120⋅π×1360−12×1× 32=π3− 34，
故答案为：π3− 34.
连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90∘，求得BC=BD，根据圆周角定理得到∠A=∠D=30∘，∠AOC=120∘，根据勾股定理得到CE= BC2−BE2= 32，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算，将求非规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
16.【答案】12.6m
【解析】解：如图2，过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M.
∵3DF=2AF，AF=1.8m，
∴DF=1.2m，
∵∠FDC=90∘，AF//CD，
∴DF⊥DC
∵MN⊥DC，
∴DF=MN=1.2m，
∵PN=1.4m，
∴PM=PN−MN=1.4−1.2=0.2(m)，
∵AF//EB，
∴∠PFA=∠E，∠PAF=∠B，
∴△PAF∽△PBE，
根据相似三角形的性质可得：
AFBE=PMPN，
∴1.8EB=0.21.4，
∴EB=12.6m
答：汽车盲区EB的长度为12.6m，
故答案为：12.6m.
过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M.理由相似三角形的性质求解．
本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题．
17.【答案】(1)x1=−10，x2=2 (2)x1=3+ 174，x2=3− 174
【解析】解：(1)x2+8x−20=0，
因式分解得：(x+10)(x−2)=0，
∴x+10=0或x−2=0，
解得：x1=−10，x2=2.
(2)原式移项得：2x2−3x−1=0，
∴b2−4ac=(−3)2−4×2×(−1)=17，
∴x=3± 172×2，
∴x1=3+ 174，x2=3− 174.
(1)利用因式分解法求解即可；
(2)利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】30∘；
2 3
【解析】(1)∵OA=OB，OD⊥AB，
∴OD平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD=60∘，
∴∠DEB=12∠DOB=30∘；
(2)∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，
∵OD⊥AB，∠AOC=60∘，
∴∠OAC=30∘，AB=2AC，
∴OC=12OA=1，
∴AC= OA2−OC2= 3，
∴AB=2AC=2 3.
(1)三线合一，得到∠BOD=∠AOD，圆周角定理，得到∠DEB=12∠DOB，即可得出结果；
(2)根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可．
本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
19.【答案】 66.
【解析】解：设AB=3x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=3x，
∵BE=13AB，
∴BE=x，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△ADE中，AE=AB−BE=3x−x=2x，
由勾股定理可得DE= AD2−AE2= (3x)2−(2x)2= 5x，
在Rt△BDE中，BD= DE2+BE2= ( 5x)2+x2= 6x，
∴cs∠DBE=BEBD=x 6x= 66，
故答案为： 66.
本题可先根据菱形的性质设出边长，再结合已知条件得出线段长度，最后利用三角函数的定义求解cs∠DBE的值．
本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
20.【答案】2；
证明：∵F为边AB的中点，
∴AF=12AB，
∵AB=AC，
∴AFAC=12，
又∵AG=14AC，
∴AGAF=14AC12AB=AC2AC=12，
∴AFAC=AGAF，
在△AFG和△ACF中，
又∵∠FAG=∠CAF，
∴△AFG∽△ACF
【解析】(1)解：如图，连接BD交AC于点O，
∵点E和点F分别为边AD，AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，AF=FB，
∴EF//BD，
∴AGGO=AFFB=1，
∴AG=GO，
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=8，
∴AO=OC，
∴AO=12AC，
∴AG=12AO=12×12AC=14×8=2，
∴AG的长为2；
(2)证明：∵F为边AB的中点，
∴AF=12AB，
∵AB=AC，
∴AFAC=12，
又∵AG=14AC，
∴AGAF=14AC12AB=AC2AC=12，
∴AFAC=AGAF，
在△AFG和△ACF中，
又∵∠FAG=∠CAF，
∴△AFG∽△ACF.
(1)根据三角形中位线定理得EF//BD，由平行线分线段成比例定理得AGGO=AFFB=1，继而得到AG=GO，根据平行四边形性质得AO=OC，推出AG=14AC，可得结论；
(2)根据中点的定义及已知得AFAC=12，由(1)知AG=14AC，推出AGAF=12，即可得证．
本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，属于中档题．
21.【答案】任务1：原硬纸板的长是80cm，宽是40cm；
任务2：剪裁的小正方形的边长为12cm时，小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒．
【解析】解：任务1：设原硬纸板的宽是x cm，则长是2x cm，
根据题意得：10(2x−20)(x−20)=12000，
整理得：x2−30x−400=0，
解得：x1=40，x2=−10(不符合题意，舍去)，
∴2x=80，
答：原硬纸板的长是80cm，宽是40cm；
任务2：小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒，理由如下：
设剪裁的小正方形的边长为y cm，
根据题意得：(80−2y)(40−2y)=896，
整理得：y2−60y+576=0，
解得：y1=12，x2=48(不符合题意，舍去)，
答：剪裁的小正方形的边长为12cm时，小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒．
任务1：设原硬纸板的宽是x cm，则长是2xcm，根据围成一个高是10cm、容积12000cm3的方形纸盒，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
任务2：设剪裁的小正方形的边长为ycm，根据做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：分别过点C、M，作CD⊥AB，ME⊥AB，垂足分别为D、E.
(1)∵∠DBM=∠A+∠AMB=60∘，∠A=30∘，
∴∠AMB=30∘.
∵AB、CM都是正北方向，
∴AB//CM.
∵∠DBC=45∘，
∴∠BCM=45∘.
故答案为：30，45.
(2)由(1)知∠A=∠AMB，
∴AB=BM=20海里．
在Rt△EBM中，
∠EBM=60∘，
∴∠EMB=30∘，
∴BM=2BE，
∵BE2+EM2=BM2，
∴EM= 32BM，
= 32×20
=10 3(海里).
答：灯塔M到轮船航线AB的距离为10 3海里．
(3)∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，
∴四边形DEMC是矩形．
∴CD=EM=10 3海里，DE=CM.
在Rt△CDB中，
∵∠DBC=45∘，
∴∠DBC=∠DCB.
∴DB=DC=10 3海里．
在Rt△EMB中，
∠EBM=60∘，
∴∠EMB=30∘，
∴BM=2BE，
∴BE=12×20
=10(海里).
∴CM=DE=DB−EB
=10 3−10
=10( 3−1)海里．
答：港口C与灯塔M的距离为10( 3−1)海里．
【解析】本题主要考查了勾股定理的应用，方向角，掌握勾股定理是解决本题的关键．
(1)先说明AB//CM，再利用三角形的外角性质、平行线的性质得结论；
(2)先利用等腰三角形的判定说明BM与AB的关系，再在Rt△EBM中利用勾股定理得结论；
(3)先说明四边形DEMC是矩形，再利用等腰三角形的判定、勾股定理得结论．
23.【答案】(1)∠ABC(答案不唯一) (2)△ABF是等腰三角形;理由如下：
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90∘，
∴∠BAE+∠ABE=90∘，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90∘，
∴∠D+∠ABE=90∘，
∴∠D=∠BAE，
又∵∠C=∠D，
∴∠C=∠BAE，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABF，
∴∠BAF=∠ABF，
∴△ABF是等腰三角形． (3)3 3
【解析】解：(1)∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC(答案不唯一)；
(2)△ABF是等腰三角形；理由如下：
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90∘，
∴∠BAE+∠ABE=90∘，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90∘，
∴∠D+∠ABE=90∘，
∴∠D=∠BAE，
又∵∠C=∠D，
∴∠C=∠BAE，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABF，
∴∠BAF=∠ABF，
∴△ABF是等腰三角形．
(3)如图，连接OA，
在等腰△ABF中，∠BAF=∠ABF，且AF=2，
∴AF=BF=2.
∵AE⊥BD，BE= 3，
在Rt△FEB中，由勾股定理得：EF= BF2−BE2=1，
∴AE=AF+EF=2+1=3，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OE=r− 3，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OE2+AE2=OA2，
∴(r− 3)2+32=r2，
解得：r=2 3，
∴BD=2 3×2=4 3，
∴DE=BD−BE=4 3− 3=3 3.
(1)根据圆周角定理即可推出；
(2)根据直角三角形的性质推出∠D=∠BAE，再结合∠C=∠D，AB=AC即可证明；
(3)根据勾股定理求出AE=AF+EF=2+1=3，再利用勾股定理OE2+AE2=OA2，即可求解．
本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵正比例函数y=k1x的图象过点A(4,3)，
∴4k1=3，
解得k1=34，
∴正比例函数的解析式为y=34x，
∵反比例函数y=k2x(x>0)图象过点A(4,3)，
∴k24=3，
解得：k2=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x；
(2)连接OC，如图，
∵C点横坐标为8，
∴当x=8时，y=128=32，
∴C(8,32)，
∵OA//BC，
∴设直线BC的解析式为y=34x+n，
∴32=34×8+n，
∴n=−92，
∴直线BC的解析式为y=34x−92，
∴B(0,−92)，
∴OB=−92，
∵OA//BC，
∴S△OAC=S△OAB，
∴S△ABC=S△OBC=12OB⋅xC=12×92×8=18；
(3)在y=34x−92中，令y=0，则x=6，
∴D(6,0)，
∴BD= 62+(92)2=152，
①当DP=DB时，设P(0,y)，
∵OD⊥BP，
∴OP=OB=92，
∴y=92，
∴P(0,92)；
②当BP=DB=152时，
∴OP=BP−OB=152−92=3或OP=BP+OB=12，
∴P(0,−12)或P(0,3)；
③当PB=PD时，则(y+92)2=62+y2，
解得y=74，
∴P(0,74)；
综上所述．满足条件的点P的坐标为(0,92)或(0,−12)或P(0,3)或(0,74).
【解析】(1)根据待定系数法即可求解；
(2)连接OC，C点横坐标为8，解方程得到C(8,32)，设直线BC的解析式为y=34x+n，解方程得到直线BC的解析式为y=34x−92，求得B(0,−92)，得到OB=−92，根据三角形的面积公式得到结论；
(3)分三种情况讨论：①当DP=DB时，②当BP=DB时，③当PB=PD时，根据等腰三角形的性质即可求解．
此题属于反比例综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质以及分类讨论思想的运用是解本题的关键．