2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系为( )
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 无法确定
2.一元二次方程x2−8x+1=0配方后可变形为( )
A. (x−4)2=15B. (x+4)2=15C. (x−4)2=17D. (x+4)2=17
3.甲、乙两名同学在5次数学测试中，他们的成绩的平均分相同，方差分别为s甲2=3，s乙2=7，则成绩比较稳定是( )
A. 甲B. 乙C. 两人一样稳定D. 无法确定
4.若代数式2x2−3的值与x的值相等，则x的值是( )
A. −1B. 32C. −32或1D. 32或−1
5.某地农村人居住环境显著改善，农村卫生厕所普及率两年内实现翻一番，若设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为x，则可列方程为( )
A. (1+x)2=12B. (1+x)2=1C. (1+x)2=2D. (1+x)2=4
6.下列说法正确的是( )
A. 三角形的外心到三角形的三边的距离相等B. 垂直于弦的直径平分弦
C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等D. 长度相等的弧是等弧
7.设方程2x2+x−1=0的两个根为m、n，那么2m2+m+mn的值为( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
8.如图，扇形OAB的半径是1，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A. π
B. 12
C. 32
D. 3π2
9.如图，正六边形ABCDEF的半径为4，则这个正六边形的面积为( )
A. 8
B. 12 3
C. 24 3
D. 36
10.如图，在正方形ABCD内任取一点O，连接OA，OB.如果正方形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，则△OAB是钝角三角形的概率为( )
A. π2
B. π4
C. π6
D. π8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一元二次方程x2=4的解是______.
12.若一元二次方程x2−2x+n=0有一个根为x=1，则n= .
13.已知圆弧所在圆的半径为24，所对圆心角为60∘，则这条弧长为 .
14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为BC延长线上一点，若∠DCE=60∘，则∠A的度数为 ∘.
15.若圆锥的母线长为5cm，其侧面积为20πcm2，则圆锥底面半径为 cm.
16.要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料(两种材料都要用到)密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个(m个)正三角形的内角与若干个(n个)正六边形的内角的和等于360∘，则m= .
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：
(1)4x2−1=0；
(2)x+3=x(x+3).
18.(本小题6分)
已知：关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根是另一个根的3倍，求k的值.
19.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=24cm，点M从点A出发沿AD以3cm/s的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿CB以5cm/s的速度向点B移动.经过多长时间，M、N两点之间的距离是13cm？
20.(本小题6分)
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90∘.
(1)求作：⊙O，使点O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若AC=4，BC=3，求则⊙O的半径长为______.
21.(本小题6分)
小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口.假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同.
(1)小明通过第一个十字路口，刚好是绿灯的概率是______；
(2)小明通过这3个十字路口，至少遇到1次红灯的概率是多少？(用列表法或画树状图分析)
22.(本小题8分)
某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下(单位：件)：
(1)求该公司营销人员该月销售量的平均数；
(2)该公司营销人员该月销售量的中位数是______，众数是______；
(3)假设你是销售部负责人，你认为应怎样制定每位营销人员的月销售指标？说说你的理由.
23.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，点D是弦AC的延长线上一点，且CD=AC，DB的延长线交⊙O于点E.
(1)请问：CD与CE相等吗？为什么？
(2)若∠ABE=50∘，则∠E=______ ∘.
24.(本小题8分)
某商店的一种服装，每件成本为50元.经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件.设该服装每件售价为x元.
(1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______件；
(2)若商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？
25.(本小题8分)
如图，四边形ACBD内接于⊙O，且AB为直径，过点D作CB的垂线，交CB的延长线于点H，且BD平分∠ABH.
(1)求证：DH是⊙O的切线；
(2)若DH=6，BC=16，求AB、BD的长.
26.(本小题12分)
阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上.
【课本理解】
(1)如图1，在△ABC中，∠C=90∘，求证：A，B，C三点在同一个圆上.
【初步运用】
一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简.
(2)如图2，AB=AC=AD，若∠BCD=16∘，求∠BAD的度数.若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，由AB=AC=AD可得点C、D必在⊙A上，∠BCD是⊙A的圆周角，且∠BAD是圆心角，从而得到∠BAD=______ ∘.
(3)如图3，AB=AC=AD，求证：∠1+∠ADB=90∘.
【深入理解】
(4)如图4，平行四边形ABCD中，AB=4 2，BC=4，∠B=45∘，P是AB边的中点，Q是BC边上的一个动点，将△BPQ沿PO所在直线翻折得到△MPQ，连接DM，则DM的长度的最小值为______.
(5)如图5，在平面直角坐标系中，点N是y轴上一点.若点A(3,0)，B(7,0)，当∠ANB最大时，点N的坐标为______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径是6，点P到圆心O的距离是5，6>5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内．
故选：A.
直接根据点与圆的位置关系解答即可．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d90∘的概率是πa28a2=π8.
故选：D.
设正方形的边长为a，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11.【答案】x1=2，x2=−2
【解析】解；x2=4，
两边直接开平方得：
x=±2，
∴x1=2，x2=−2，
故答案为：x1=2，x2=−2.
利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12.【答案】1
【解析】解：由题意得：把x=1代入方程x2−2x+n=0中得：12−2×1+n=0，
解得：n=1，
故答案为：1.
根据题意可得：把x=1代入方程x2−2x+n=0中得：12−2×1+n=0，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13.【答案】8π
【解析】解：此扇形的弧长为60π×24180=8π.
故答案为：8π.
直接利用弧长公式L=nπR180计算可得．
本题主要考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式L=nπR180.
14.【答案】60
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180∘，
∵∠DCE+∠BCD=180∘，
∴∠A=∠DCE=60∘，
故答案为：60.
根据圆内接四边形的性质、邻补角的定义计算．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：由题知，
设圆锥底面半径为r cm，
则π×r×5=20π，
解得r=4，
所以圆锥底面半径为4cm.
故答案为：4.
根据圆锥的侧面积公式即可解决问题．
本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键．
16.【答案】2或4
【解析】解：正三角形的每个内角是60∘，正六边形的每个内角是120∘，
根据题意得60m+120n=360，即m+2n=6(m、n为正整数)，
解得m=2n=2，m=4n=1，
∴m的值是2或4，
故答案为：2或4.
先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出60m+120n=360，再求正整数解即可．
本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键．
17.【答案】(1)x1=12，x2=−12 (2)x1=−3，x2=1
【解析】解：(1)4x2−1=0，
4x2=1，
x2=14，
x=± 14=±12，
x1=12，x2=−12；
(2)x+3=x(x+3)，
(x+3)−x(x+3)=0，
(x+3)(1−x)=0，
x+3=0或1−x=0，
x1=−3，x2=1.
(1)先移项，再把x的系数化为1，利用直接开方法求解即可；
(2)先移项，再利用因式分解法求解即可．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0，
∴Δ=(k+2)2−4×2k
=k2+4k+4−8k
=k2−4k+4
=(k−2)2，
∵(k−2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴该方程总有两个实数根 (2)k=23或k=6
【解析】(1)证明：∵关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0，
∴Δ=(k+2)2−4×2k
=k2+4k+4−8k
=k2−4k+4
=(k−2)2，
∵(k−2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴该方程总有两个实数根；
(2)解：∵方程的一个根是另一个根的3倍，
∴设方程的一个根为x，则另一个根为3x，
∴根据根与系数的关系得：x+3x=−−(k+2)1=k+2，x⋅3x=2k，
∴4x=k+2，3x2=2k.
∴3(k+24)2=2k.
∴k=23或k=6.
(1)利用一元二次方程的根的判别式即可求解；
(2)利用根与系数的关系建立关于k的方程即可求解．
此题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于k的方程解决问题．
19.【答案】经过32秒或92秒，M、N两点之间的距离是13cm.
【解析】解：24÷5=4.8(秒)，
设经过t秒时，M、N两点之间的距离是13cm，
则AM=3tcm，CN=5tcm，
如图，过点N作NE⊥AD于点E，则四边形ABNE是矩形，
∴NE=AB=5cm，AE=BN=(24−5t)cm，
∴ME=|AE−AM|=|24−5t−3t|=|24−8t|(cm)，
根据题意得：ME2+NE2=MN2，
即(24−8t)2+52=132，
解得：t1=32，t2=92，
答：经过32秒或92秒，M、N两点之间的距离是13cm.
设经过t秒时，M、N两点之间的距离是13cm，则AM=3tcm，CN=5tcm，过点N作NE⊥AD于点E，则四边形ABNE是矩形，得NE=AB=5cm，AE=BN=(24−5t)cm，则ME=|24−8t|cm，然后根据勾股定理列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的性质等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】(1) 32
【解析】解：(1)先作∠ABC的平分线BO，交AC于点O，再以O为圆心，OC长为半径画圆，⊙O即为所求；
(2)作OD⊥AB于点D，如上图所示，
∵AC=4，BC=3，∠ACB=90∘，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
∵S△ABC=S△AOB+S△COB，
∴3×42=5⋅OD2+3⋅OC2，
解得OD=OC=32，
故答案为：32.
(1)根据角平分线的性质和圆的特点，画出相应的图形即可；
(2)根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法即可求得⊙O的半径长．
本题考查勾股定理、作图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】12 (2)78
【解析】解：(1)由题意知，共有2种等可能的结果，其中刚好是绿灯的结果有1种，
∴小明通过第一个十字路口，刚好是绿灯的概率是12.
故答案为：12.
(2)画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中至少遇到1次红灯的结果有7种，
∴小明通过这3个十字路口，至少遇到1次红灯的概率为78.
(1)由题意知，共有2种等可能的结果，其中刚好是绿灯的结果有1种，利用概率公式可得答案．
(2)画树状图可得出所有等可能的结果数以及至少遇到1次红灯的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】(1)该公司营销人员该月销售量的平均数为360件 350;300 (3)300件
【解析】解：(1)(600×1+500×4+400×4+350×6+300×7+200×3)÷(1+4+4+6+7+3 )=360(件)，
答：该公司营销人员该月销售量的平均数为360件；
(2)将这组数据按大小顺序排列后，其中位数为350件；
∵300出现了7次，次数最多，
∴众数是300件．
故答案为：350，300；
(3)制定月销售量指标时，要能使大部分员工达标，应以众数为参考依据，将每位营销人员的月销售量定为300件．
(1)运用平均数的求法计算该公司营销人员该月销售量的平均数即可；
(2)结合众数的定义，即在一组数据中出现次数最多的即是众数，中位数是将一组数据按大小排列后，最中间的1个或两个的平均数，求出即可；
(3)结合实际，应以众数为参考依据，分析得出合理的答案．
此题主要考查了一组数据平均数的求法，以及众数与中位数的求法，又结合了实际问题，此题比较典型．
23.【答案】(1)CD=CE相等，理由如下：
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵CD=AC，
∴BC垂直平分AD，
∴AB=BD，
∴∠A=∠D，
∵∠A=∠E，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE 25
【解析】解：(1)CD=CE相等，理由如下：
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵CD=AC，
∴BC垂直平分AD，
∴AB=BD，
∴∠A=∠D，
∵∠A=∠E，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE；
(2)∵∠A+∠D=∠ABE=50∘，∠A=∠D，
∴∠A=12∠ABE=25∘，
∴∠E=∠A=25∘.
故答案为：25.
(1)由圆周角定理推出∠ACB=90∘，得到BC垂直平分AD，推出AB=BD，得到∠A=∠D，由圆周角定理推出∠A=∠E，因此∠D=∠E，即可证明CD=CE；
(2)由三角形的外角性质得到∠A=12∠ABE=25∘，由圆周角定理得到∠E=∠A=25∘.
本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握圆周角定理．
24.【答案】(800−x−605×100) (2)70元或80元
【解析】解：(1)若设该服装每件售价为x元，则每件服装的销售利润为(x−50)元，平均每天的销售量为(800−x−605×100)件．
故答案为：(800−x−605×100)；
(2)根据题意得：(x−50)(800−x−605×100)=12000，
整理得：x2−150x+5600=0，
解得：x1=70，x2=80.
答：这种服装每件售价是70元或80元．
(1)利用平均每天的销售量=800−该服装每件售价−605×100，即可用含x的代数式表示出平均每天的销售量；
(2)利用总利润=每件的销售利润×平均每天的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】(1)连接OD，则OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵BD平分∠ABH，
∴∠ABD=∠HBD，
∴∠ODB=∠HBD，
∴OD//CB，
∵DH⊥CB交CB的延长线于点H，
∴∠H=90∘，
∴∠ODH=180∘−∠H=90∘，
∵OD是⊙O的半径，且DH⊥OD，
∴DH是⊙O的切线． (2)AB、BD的长分别是20、2 10
【解析】(1)证明：连接OD，则OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵BD平分∠ABH，
∴∠ABD=∠HBD，
∴∠ODB=∠HBD，
∴OD//CB，
∵DH⊥CB交CB的延长线于点H，
∴∠H=90∘，
∴∠ODH=180∘−∠H=90∘，
∵OD是⊙O的半径，且DH⊥OD，
∴DH是⊙O的切线．
(2)解：作OE⊥BC于点E，
∵DH=6，BC=16，
∴BE=CE=12BC=8，
∵∠OEH=∠ODH=∠H=90∘，
∴四边形ODHE是矩形，
∴OE=DH=6，
∴EH=OD=OB= BE2+OE2= 82+62=10，
∴AB=2OB=20，BH=EH−BE=10−8=2，
∴BD= DH2+BH2= 62+22=2 10，
∴AB、BD的长分别是20、2 10.
(1)连接OD，由∠ABD=∠ODB，∠ABD=∠HBD，推导出∠ODB=∠HBD，则OD//CB，由DH⊥CB交CB的延长线于点H，得∠H=90∘，则∠ODH=180∘−∠H=90∘，即可证明DH是⊙O的切线．
(2)作OE⊥BC于点E，由DH=6，BC=16，得BE=CE=8，可证明四边形ODHE是矩形，则OE=DH=6，求得EH=OD=OB= BE2+OE2=10，所以AB=2OB=20，BH=EH−BE=2，则BD= DH2+BH2=2 10.
此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：取AB的中点O，连接CO，如图，
∵∠C=90∘，OA=OB，
∴CO=OA=OB=12AB，
∴A，B，C三点在以AB的中点为圆心，12AB为半径圆上 32 (3)证明：以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，延长DA交⊙A于点E，连接BE，如图，
∵AB=AC=AD，
∴点C、D必在⊙A上，
∴∠1=∠E，
∵AE为圆的直径，
∴∠DBE=90∘，
∴∠ADB+∠E=90∘，
∴∠1+∠ADB=90∘. 2 10−2 2 (0, 21)
【解析】(1)证明：取AB的中点O，连接CO，如图，
∵∠C=90∘，OA=OB，
∴CO=OA=OB=12AB，
∴A，B，C三点在以AB的中点为圆心，12AB为半径圆上；
(2)解：如图2，以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，
∵AB=AC=AD，
∴点C、D必在⊙A上，
∵∠BCD是⊙A的圆周角，且∠BAD是圆心角，
∴∠BAD=2∠BCD=32∘.
故答案为：32；
(3)证明：以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，延长DA交⊙A于点E，连接BE，如图，
∵AB=AC=AD，
∴点C、D必在⊙A上，
∴∠1=∠E，
∵AE为圆的直径，
∴∠DBE=90∘，
∴∠ADB+∠E=90∘，
∴∠1+∠ADB=90∘.
(4)解：∵将△BPQ沿PO所在直线翻折得到△MPQ，
∴△BPQ≌△MPQ，
∴PB=PM=12AB=2 2，
∴点M在以P为圆心，2 2为半径的圆上运动，
以P为圆心，PB=2 2为半径作圆P，如图，
则点P，M，D在一条直线上时，DM的长度取得最小值，
连接PD，过点P作PE⊥AD，交DA的延长线于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB=4，AD//CB，
∴∠BAE=∠ABC=45∘，
∴△PAE为等腰直角三角形，
∴PE=AE= 22AP=2，
∴DE=6，
∴PD= DE2+PE2=2 10，
∴DM的长度的最小值为2 10−2 2.
故答案为：2 10−2 2；
(5)解：由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，∠ANB最大，作出该圆，如图，
设圆心为C，连接CN，过点C作CE⊥AB于点E，连接CA，则AE=BE，
∵A(3,0)，B(7,0)，
∴OA=3，OB=7，
∴AB=OB−OA=4，
∴AE=BE=2，
∴OE=OA+AE=5，
∵⊙C与y轴相切于点N，
∴CN⊥ON，
∵∠NOB=90∘，CE⊥AB，
∴四边形NOEC为矩形，
∴NC=OE=5，ON=EC，
∴CA=CN=5，
∴CE= CA2−AE2= 21，
∴ON=CE= 21，
∴点N的坐标为(0, 21).
故答案为：(0, 21).
(1)取AB的中点O，连接CO，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可；
(2)以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，利用圆周角定理解答即可；
(3)以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，延长DA交⊙A于点E，连接BE，利用直径所对的圆周角为直角的性质解答即可；
(4)利用折叠的性质得到点M在以P为圆心，2 2为半径的圆上运动，以P为圆心，PB=2 2为半径作圆P，则点P，M，D在一条直线上时，DM的长度取得最小值，连接PD，过点P作PE⊥AD，交DA的延长线于点E，利用平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可；
(5)由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，∠ANB最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，点的坐标的特征，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的关键．月销售量
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