江苏省镇江市丹徒区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省镇江市丹徒区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝3B．ax2+bx+c＝0
C．D．x2﹣3＝1
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（3分）已知⊙O的半径为3，平面内有一点M．若OM＝5，则点M与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定
4．（3分）如图，在⊙O中，∠BAC＝50°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
5．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADC＝35°，则的度数为（ ）
A．70°B．100°C．140°D．240°
6．（3分）学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延长线分别交CD、EF于点M，N，则∠HMC的度数是（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
7．（3分）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（ ）
A．B．C．4D．
8．（3分）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如x2﹣3x+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为（ ）
A．2B．2或5C．4或6D．2或6
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分.）
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有一个根为1，则实数k的值为 ．
10．（3分）若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为 ．
11．（3分）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是 ．
12．（3分）《九章算术》第一章“方田”介绍了扇形面积计算方法，其中这样一道题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：有一块扇形状的田，弧长为30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为 平方步．
13．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ACB＝∠BDC＝60°，BC＝5，则△ABC的周长为 ．
14．（3分）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次进行了降价促销，已知两次降价后的单价为12.8元．设平均两次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
15．（3分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（x﹣2024）2+2（x﹣2024）﹣3＝0的解是 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，M，N为线段BC上的两个动点，BM＝CN，AM交对角线BD于点E，连接CE，交DN于点F，连接BF，则线段BF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有8小题，共计72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（20分）解下列方程：
（1）（x+2）2＝16；
（2）x2﹣6x﹣6＝0；
（3）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（4）．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求该方程的根．
19．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，AD、BC的延长线交于点G，若∠F＝30°，∠G＝50°，求∠A的度数．
20．（6分）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？
21．（8分）如图，网格中有四个格点A、B、C、M，⊙O经过点A、B、C三点．
（1）在图中画出圆心O；
（2）⊙O的半径是 ；
（3）画出，连接AO、CO得扇形AOC，将其围成一个圆锥的侧面，那么该圆锥的底面半径为 ；
（4）连接MA，则直线MA与⊙O的位置关系为 ．
22．（8分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．
23．（8分）【原题呈现】
【深入思考】
上面是书本中的某一道习题（原题不需解答），请在原题条件不变的基础上进一步思考：假设运动时间为t（s）（0＜t＜6）
（1）移动过程中，四边形DFCE的面积能否为40cm2？若能，请求出此时的t，若不能请说明理由；
（2）移动过程中，四边形DFCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积，若不存在，请说明理由；
（3）移动过程中，连接EF，以EF为直径作⊙O，当⊙O与△ABC的其中一条边相切时，请直接写出t的值．
24．（10分）【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，，请在纸片上找一点P，使得∠APB＝45°．
【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以AB为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点．
体会小明的思考过程，回答下列问题：
（1）∠AOB＝ °；
（2）所在的圆的半径长为 ；
（3）△ABP面积的最大值为 ．
【类比】
请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题：
如图2，若【问题】中纸片ABCD上有一点Q，且∠AQB＝30°．
（4）请在纸片ABCD上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）；
（5）连接DQ，则线段DQ的最小值为 ；
（6）过点Q作QH⊥AB，垂足为H．若△QAB的面积的最小值为，则AH长的范围是 ．
2024-2025学年江苏省镇江市丹徒区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求.）
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝3B．ax2+bx+c＝0
C．D．x2﹣3＝1
【分析】一元二次方程必须满足三个条件：（1）含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；由此判断即可．
【解答】解：A．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；
D．该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题利考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，故可得出关于k的方程，求出k的值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．
3．（3分）已知⊙O的半径为3，平面内有一点M．若OM＝5，则点M与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定
【分析】设圆的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，当d＞r时，则点P在圆外；当d＝r时，点P在圆上；当d＜r时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与⊙O位置关系进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，OM＝5
∴点M到圆心的距离大于圆的半径，
∴点M在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
4．（3分）如图，在⊙O中，∠BAC＝50°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
【分析】连接OB、OC，由切线的性质得∠OBP＝∠OCP＝90°，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝100°，则∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB、OC，
∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C，
∴PB⊥OB，PC⊥OC，
∴∠OBP＝∠OCP＝90°，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
∴∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝80°，
故选：B．
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
5．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADC＝35°，则的度数为（ ）
A．70°B．100°C．140°D．240°
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理可得：∠AOC＝70°，再根据垂径定理可得：＝，从而可得∠AOC＝∠BOA＝70°，然后利用角的和差关系可得：∠BOC＝140°，即可解答．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠ADC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝70°，
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOA＝70°，
∴∠BOC＝∠AOC+∠BOA＝140°，
∴的度数为140°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（3分）学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延长线分别交CD、EF于点M，N，则∠HMC的度数是（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
【分析】根据正方形、正六边形的性质求出∠ABC，∠C，∠HAB，由四边形的内角和是360°进行计算即可．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF，
∴∠ABC＝∠C＝＝120°，
又∵正方形ABHG，AH是对角线，
∴∠HAB＝45°，
在四边形ABCM中，
∠HMC＝360°﹣120°﹣120°﹣45°＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正方形、正六边形的性质以及四边形内角和是360°是正确解答的关键．
7．（3分）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（ ）
A．B．C．4D．
【分析】根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，
∵点O为△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，点B和点C的位置如图所示，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．（3分）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如x2﹣3x+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为（ ）
A．2B．2或5C．4或6D．2或6
【分析】用因式分解法求解方程得出x1＝3，x1＝n+1，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解．
【解答】解：x2﹣（n+4）x+3n+3＝0，
（x﹣3）[x﹣（n+1）]＝0，
x﹣3＝0或x﹣（n+1）＝0，
解得：x1＝3，x1＝n+1，
∵y2﹣5y+n＝0总有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×n＞0，
解得n＜，
∵n是正整数，
∴n＝1，2，3，4，5，6
∵方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”，
∴3能被n+1整除或n+1能被3整除，
∴n＝2或5．
故选：B．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分.）
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有一个根为1，则实数k的值为 1 ．
【分析】将x＝1代入方程得关于k的方程，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有一个根为1，
故将x＝1代入x2﹣2x+k＝0，得：1﹣2+k＝0，
解得：k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
10．（3分）若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为 20π ．
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【解答】解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，
则圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π．
故答案为：20π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算问题，是基础题．
11．（3分）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是 1 ．
【分析】直接根据根与系数的关系可得答案．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，
∴x1+x2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．（3分）《九章算术》第一章“方田”介绍了扇形面积计算方法，其中这样一道题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：有一块扇形状的田，弧长为30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为 120 平方步．
【分析】利用扇形面积公式即可计算的解．
【解答】解：∵扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，
∴这块田的面积S＝＝120（平方步），
故答案为：120．
【点评】本题是扇形面积公式的应用，考查了推理能力，是基础题．
13．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ACB＝∠BDC＝60°，BC＝5，则△ABC的周长为 15 ．
【分析】根据圆周角定理得到∠A＝∠BDC＝60°，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：由圆周角定理得：∠A＝∠BDC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC＝5，
∴△ABC的周长为15，
故答案为：15．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14．（3分）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次进行了降价促销，已知两次降价后的单价为12.8元．设平均两次降价的百分率为x，则可列方程为 20（1﹣x）2＝12.8 ．
【分析】利用该款玩具经过两次降价后的售价＝该款玩具的原价×（1﹣平均两次降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：20（1﹣x）2＝12.8．
故答案为：20（1﹣x）2＝12.8．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（3分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（x﹣2024）2+2（x﹣2024）﹣3＝0的解是 x1＝2025，x2＝2021 ．
【分析】利用换元法对所给一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：令x﹣2024＝m，
则方程（x﹣2024）2+2（x﹣2024）﹣3＝0可转化为m2+2m﹣3＝0，
又因为方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
所以x﹣2024＝1或﹣3，
则x1＝2025，x2＝2021．
故答案为：x1＝2025，x2＝2021．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程的解，熟知换元法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，M，N为线段BC上的两个动点，BM＝CN，AM交对角线BD于点E，连接CE，交DN于点F，连接BF，则线段BF的最小值为 2﹣2 ．
【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠BCE＝∠CDN，求得∠DFC＝90°，得到点F在以CD为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接OB交⊙O于点F′，此时BF′最小，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CDN，
在△CEB和△AEB中，
，
∴△CEB≌△AEB（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE＝∠CDN，
∵∠BCE+∠DCF＝90°，
∴∠CDN+∠DCE＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴点F在以CD为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接OB交⊙O于点F′，此时BF′最小，
∴BF′＝OB﹣OF′＝﹣2＝2﹣2．
∴线段BF的最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查正方形的性质、圆、勾股定理，全等三角形的判定和性质，等知识，解题的关键是证明点F在以CD为直径的圆上运动，找到点F的位置，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共有8小题，共计72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（20分）解下列方程：
（1）（x+2）2＝16；
（2）x2﹣6x﹣6＝0；
（3）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（4）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用配方法求解可得；
（3）利用因式分解法求解可得；
（4）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵（x+2）2＝16，则x+2＝±4，
解得x1＝2，x2＝﹣6；
（2）x2﹣6x﹣6＝0，
x2﹣6x+9＝6+9，
（x﹣3）2＝15，则x﹣3＝±，
解得x1＝3+，x2＝3﹣；
（3）x（x+4）＝﹣3（x+4），
∴x（x+4）+3（x+4）＝0，
则（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣3；
（4）x2﹣x﹣15＝0，
x2﹣4x﹣45＝0，
（x+5）（x﹣9）＝0，
∴x+5＝0或x﹣9＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝9．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求该方程的根．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝42﹣4×2m＞0，然后解不等式即可；
（2）先确定m＝1得到方程为2x2+4x+1＝0，然后利用公式法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝42﹣4×2m＞0，
解得m＜2，
∴m的取值范围为m＜2；
（2）∵m为正整数，
而m＜2，
∴m＝1，
此时方程为2x2+4x+1＝0，
∵a＝2，b＝4，c＝1，
∴Δ＝42﹣4×2×1＝8＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了公式法解一元二次方程．
19．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，AD、BC的延长线交于点G，若∠F＝30°，∠G＝50°，求∠A的度数．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补、三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：∵∠ABG是△BFC的外角，
∴∠ABG＝∠BCF+∠F，
∵∠ADF是△BFC的外角，
∴∠ADF＝∠DCG+∠G，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADF+∠ABG＝180°，
∵∠BCF＝∠DCG，
∴∠BCF+∠F+∠DCG+∠G＝180°，
∵∠F＝30°，∠G＝50°，
∴2∠BCF＝100°，
∴∠BCF＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BCD+∠BCF＝180°，
∴∠A＝∠BCF＝50°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
20．（6分）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？
【分析】要求服装的单价，就要设服装的单价为x元，则每件服装的利润是（x﹣50）元，销售服装的件数是[800﹣20（x﹣60）]件，以此等量关系列出方程即可．
【解答】解：设单价应定为x元，根据题意得：
（x﹣50）[800﹣（x﹣60）÷5×100]＝12000，
（x﹣50）[800﹣20x+1200]＝12000，
x2﹣150x+5600＝0，
解得x1＝70，x2＝80．
答：这种服装的单价应定为70元或80元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21．（8分）如图，网格中有四个格点A、B、C、M，⊙O经过点A、B、C三点．
（1）在图中画出圆心O；
（2）⊙O的半径是 ；
（3）画出，连接AO、CO得扇形AOC，将其围成一个圆锥的侧面，那么该圆锥的底面半径为 ；
（4）连接MA，则直线MA与⊙O的位置关系为 相切 ．
【分析】（1）线段BC，AB的垂直平分线的交点O即为所求；
（2）利用勾股定理求解；
（3）设圆锥的底面半径为r，根据圆锥底面圆周长＝弧长，构建方程求解；
（4）证明∠MAO＝90°，可得结论．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）OA＝＝．
故答案为：；
（3）设圆锥的底面半径为r，则有2πr＝，
∴r＝，
故答案为：；
（4）结论：AM是⊙O的切线．
理由：∵AM＝AO＝，OM＝＝，
∴AM2+OA2＝OM2，
∴∠MAO＝90°，
∴MA⊥OA，
∴MA是⊙O的切线．
故答案为：相切．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，直线与圆的位置关系，圆锥的计算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（8分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）连接OA，
∵∠ADE＝25°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝50°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣50°﹣90°＝40°；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
答：⊙O半径的长是3．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出∠OAC和∠AOC的度数是解此题的关键．
23．（8分）【原题呈现】
【深入思考】
上面是书本中的某一道习题（原题不需解答），请在原题条件不变的基础上进一步思考：假设运动时间为t（s）（0＜t＜6）
（1）移动过程中，四边形DFCE的面积能否为40cm2？若能，请求出此时的t，若不能请说明理由；
（2）移动过程中，四边形DFCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积，若不存在，请说明理由；
（3）移动过程中，连接EF，以EF为直径作⊙O，当⊙O与△ABC的其中一条边相切时，请直接写出t的值．
【分析】【原题呈现】依题意得四边形DFCE是平行四边形，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，则AD＝2t cm，BD＝（12﹣2t）cm，根据四边形DFCE的面积为20cm2得2t（12﹣2t）＝20，解此方程即可得出答案；
【深入思考】（1）假设运动时间为t（s）（0＜t＜6）时，四边形DFCE的面积是40cm2，由【原题呈现】得2t（12﹣2t）＝40，整理得t2﹣6t+10＝0，根据该方程没有实数根即可得出结论；
（2）由（1）得S四边形DFCE＝AD•BD＝2t（12﹣2t）＝﹣4（t﹣3）2+36，由此可求出移动过程中，四边形DFCE的面积的最大值；
（3）先求出AD＝DE＝CF＝2t cm，BD＝AB﹣AD＝（12﹣2t）cm，再分两种情况进行讨论：①当⊙O与AB相切时，设且点为M，连接OM，设⊙O于BC的另一个交点为N，连接EN交OM于H，证明四边形DBNE是矩形得BN＝DE＝2t cm，EN＝BD（12﹣2t）cm，进而得FN＝（12﹣4t）cm，再证明OH是△EFN的中位线得OH＝FN＝（6﹣2t）cm，由此得OM＝OH+HM＝6cm，则EF＝2OM＝12cm，然后在Rt△EFN中，由勾股定理即可求出t的值；②当⊙O与BC相切时，则且点是F，证明四边形DBFE是正方形得BD＝DE＝AD，则12﹣2t＝2t，解此方程可得t的值；综上所述即可得出答案．
【解答】解：【原题呈现】在Rt△ABC中，AB＝BC＝12cm，
∴∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，
∵点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，
∴AD＝2t cm，
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣2t）cm，
∵S四边形DFCE＝AD•BD＝20cm2，
∴2t（12﹣2t）＝20，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5，
答：点D出发1或5秒后四边形DFCE的面积为20cm2；
【深入思考】（1）四边形DFCE的面积不能为40cm2，理由如下：
假设运动时间为t（s）（0＜t＜6）时，四边形DFCE的面积是40cm2，
由【原题呈现】得：AD＝2t cm，BD＝（12﹣2t）cm，
∵S四边形DFCE＝AD•BD＝40cm2，
∴2t（12﹣2t）＝40，
整理得：t2﹣6t+10＝0，
∵该方程的判别式为：（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，
故移动过程中，四边形DFCE的面积不能为40cm2；
（2）由（1）得：S四边形DFCE＝AD•BD＝2t（12﹣2t）＝﹣4（t﹣3）2+36，
∴当t＝3时，S四边形DFCE为最大，最大值为36cm2，
故移动过程中，四边形DFCE的面积存在最大值，最大面积是36cm2；
（3）∵∠A＝∠C＝45°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE＝2t cm，
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣2t）cm，
又∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝CF＝2t cm，
∴在移动过程中，以EF为直径作⊙O，当⊙O与△ABC的其中一条边相切时，有以下两种情况：
①当⊙O与AB相切时，设且点为M，连接OM，设⊙O于BC的另一个交点为N，连接EN交OM于H，如图1所示：
∵∠AED＝∠C＝45°，
∵EF是⊙O的直径，
∴∠ENF＝90°，
∵DE∥BC，∠B＝90°，
∴∠EDB＝∠B＝∠ENB＝90°，
∴四边形DBNE是矩形，
∴BN＝DE＝2t cm，EN＝BD＝AB﹣AD＝（12﹣2t）cm，
∴FN＝BC﹣BN﹣CF＝（12﹣4t）cm，
∵AB与⊙O相切于点M，
∴EF＝2OM，OM⊥AB，
∴∠PMA＝∠B＝90°，
∴OM∥AB，HN＝DE＝2t cm，
∴OH是△EFN的中位线，
∴OH＝FN＝（12﹣4t）＝（6﹣2t）cm，
∴OM＝OH+HM＝6﹣2t+2t＝6（cm），
∴EF＝2OM＝12（cm），
在Rt△EFN中，由勾股定理得：EN2+FN2＝EF2，
∴（12﹣2t）2+（12﹣4t）2＝122，
整理得：5t2﹣36t+36＝0，
解得：t1＝1.2，t2＝6（不合题意，舍去）；
②当⊙O与BC相切时，则且点是F，如图2所示：
则EF⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝EFD＝90°，
∴四边形DBFE是矩形，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠A＝45°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴BD＝BF，
∴矩形DBFE是正方形，
∴BD＝DE＝AD，
∴12﹣2t＝2t，
解得：t＝3，
综上所述：在移动过程中，以EF为直径作⊙O，当⊙O与△ABC的其中一条边相切时，t的值为1.2或3s．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，切线的性质，熟练掌握理解平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，切线的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
24．（10分）【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，，请在纸片上找一点P，使得∠APB＝45°．
【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以AB为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点．
体会小明的思考过程，回答下列问题：
（1）∠AOB＝ 90 °；
（2）所在的圆的半径长为 2 ；
（3）△ABP面积的最大值为 2+2 ．
【类比】
请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题：
如图2，若【问题】中纸片ABCD上有一点Q，且∠AQB＝30°．
（4）请在纸片ABCD上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）；
（5）连接DQ，则线段DQ的最小值为 ﹣4 ；
（6）过点Q作QH⊥AB，垂足为H．若△QAB的面积的最小值为，则AH长的范围是 1≤AH≤3 ．
【分析】（1）由∠AOB、∠APB分别为的圆心角和圆周角，即可求解；
（2）所在的圆的半径长＝OA＝AB＝2，即可求解；
（3）当点P在AB的中垂线上时，△ABP面积的最大，即可求解；
（4）分别以点A、B为圆心，以AB长度为半径作弧，交于点O，以O为圆心，AB长度为半径作圆O，分别交AD、BC于点M、N，则上的任意点即为点Q；
（5）当点D、Q、N共线时，DQ最小，即可求解；
（6）△QAB的面积＝AB×QH＝QH＝，则QH＝2+，而PH＝2，则PQ＝，得到OP＝＝＝1，则BH＝2﹣1＝1，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠APB＝45°，∠AOB、∠APB分别为的圆心角和圆周角，
则∠AOB＝2∠APB＝90°，
故答案为：90；
（2）所在的圆的半径长＝OA＝AB＝2，
故答案为：2；
（3）当点P在AB的中垂线上时，△ABP面积的最大，
延长PO交AB于点G，则GO⊥AB，
在等腰Rt△AOB中，AB＝4，则OG＝AG＝BG＝2，OA＝2，
则PG＝2+2，
则△ABP面积的最大值＝AB×PG＝（2）×2＝2+2，
故答案为：2+2；
（4）分别以点A、B为圆心，以AB长度为半径作弧，交于点O，以O为圆心，AB长度为半径作圆O，分别交AD、BC于点M、N，
则上的任意点即为点Q；
（5）当点D、Q、N共线时，DQ最小，
连接OQ，过点O作OP⊥QH，作OG⊥AB于点G，作OT⊥AD于点T，
由（4）知，OA＝OB＝AB＝4，则BG＝2，OG＝2＝PH＝AT，AG＝AB＝2＝OT，
则DT＝AD﹣AT＝5﹣2＝3，
则OD＝＝＝，而圆O的半径（r）为4，
则DQ的最小值OD﹣r＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（6）∵△QAB的面积＝AB×QH＝QH＝，
则QH＝2+，而PH＝2，则PQ＝，
则OP＝＝＝1，则BH＝2﹣1＝1，
即若△QAB的面积的最小值为，则AH长的范围是1≤AH≤3，
故答案为：1≤AH≤3．
【点评】本题考查了切圆的综合知识，涉及到面积的计算、等腰三角形的性质、作图、解直角三角形、最值问题，理解题意、正确作出辅助线是解题的关键11．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝12cm，点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
11．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝12cm，点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？