2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市九年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. a23=a5B. a2⋅a4=a8C. a6÷a3=a2D. ab3=a3b3
2.下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为( )
A. 5x+6y=165x+y=6y+xB. 5x+6y=164x+y=5y+x
C. 6x+5y=166x+y=5y+xD. 6x+5y=165x+y=4y+x
4.把y=2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是
．( )
A. 0,1B. 0,−2C. −1,0D. 1,0
5.如图是由一些边长为1的等边三角形组成的网格，其中A、B、D、E均是等边三角形的顶点，延长AB交DE于点C，则DCCE的值为( )
A. 33B. 32C. 22D. 12
6.如图1，点E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发以相同的速度运动，其中，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止．设点P出发xs时，▵BPQ的面积为ycm2，y与x的函数关系如图2所示(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论中正确的有
( )
①BE=BC；②P，Q的运动速度都是2cm/s；③AE=8cm；④当x=16时，y=30．
A. ①③B. ①④C. ①②④D. ②③④
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.−2的绝对值是________．
8.分解因式：2x2−8x=________．
9.已知一种流感病毒的细胞直径约为120纳米(1纳米=10−9米)，那么用科学记数法表示该病毒的直径约为_____米．
10.当x______时，式子 x+1有意义．
11.已知圆锥的底面半径是2，母线长6，则它的侧面展开图的面积为___________．
12.一组数据2，−4，x，6，−8的众数为6，则这组数据的中位数为______．
13.已知a是方程x2−3x−5=0一个根，则代数式2a2−6a的值为_____．
14.一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象如图所示，则当x________时，y115.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°，BC= 3，则⊙O的半径等于______．
16.如图，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A(−3,0)，对称轴为直线x= −1，则(a+b)(4a−2b+1)的值为____________．
17.如图，在△ABO的顶点A在函数y=kx(x>0)的图像上∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为________．
18.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，点E是CD上一点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，若DE=2CE，则CFBF=_______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算化简：
(1)−20240−13−1+ 9−tan45∘；
(2)a2−2a+1a2−1÷a−1a2+a−3．
20.(1)解方程：1x−2+2=1−x2−x； (2)解不等式组：2(x+1)>5x−7x+103>2x．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
(1)求证：△ABE≌△CAF；
(2)若CF=5，BE=2，求EF的长．
22.(本小题8分)
为庆祝中国共产党建党100周年，某区组织了学生参加党史知识竞赛，并从中抽取了200名学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计，根据成绩分成如下5组：A.50.5～60.5，B.60.5～70.5，C.70.5～80.5，D.80.5～90.5，E.90.5～100.5.并绘制成两个统计图．
(1)频数分布直方图中的a=____，b=____；
(2)在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；
(3)求E组共有多少人？该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
23.(本小题8分)
为弘扬中华传统文化，扬中市近期举办了中小学生“汉字诗词听写大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)甲参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是______；
(2)甲、乙两人组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好甲抽中“唐诗”且乙抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
24.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的4×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A,B,C,D,E都是格点，P是CE上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1，先画点F，使四边形DCEF为平行四边形，连接FP，再画FP的中点G；
(2)如图2，若P是CE与网格线的交点，先画点P绕点C逆时针旋转90∘的对应点Q，再在BD上画点H，使得∠BHE=∠DHQ．
25.(本小题8分)
如图，小明想测量斜坡CD旁一棵垂直于地面AE的树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE⊥AE，______，求AB的长．
给出下列条件：①DE=10m；②EC=10 3m：③AE=20 3m；
请在3个条件中选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上(填序号)，并解决该问题．
26.(本小题8分)
如图，AB为半⊙O的直径，P点从B点开始沿着半圆逆时针运动到A点，在运动中，作∠CAP=∠PAB，且PC⊥AC，已知AB=10．
(1)当P点不与A，B点重合时，求证：CP为⊙O切线；
(2)当PB=6时，AC与⊙O交于D点，求AD的长：
(3)P点在运动过程中，当PA与AC的差最大时，直接写出此时PB的弧长．
27.(本小题8分)
如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到△FBE．
(1)如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是______；
(2)若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE(不写作法，保留作图痕迹).连接DF，则∠EDF=______°；
(3)如图3，连接CF，DF，若∠CFD=90°，求AE的长．
28.(本小题8分)
已知，抛物线y=ax2−2ax+c与x轴交于A，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)接AC，BC，PC，若∠PCB=∠ACO，求直线PC的解析式
(3)如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP、BP分别交y轴于E、F两点，请问CECF的值是否为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐项进行计算即可得．
【详解】解：A．a23=a6 ，故A选项错误；
B.a2⋅a4=a6 ，故B选项错误；
C.a6÷a3=a3 ，故C选项错误；
D.ab3=a3b3，正确，
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此不选项符合题意．
故选C．
3.【答案】B
【解析】【分析】设雀每只x两，燕每只y两，根据“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
5x+6y=164x+y=5y+x．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】由一次函数平移性质，可求得平移后的一次函数，从而完成求解．
【详解】y=2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后得：
y=2x−2
当y=0时，x=1
∴y=2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是1,0
故选：D．
5.【答案】D
【解析】【分析】证明△CBE∽△BAF，根据相似三角形的性质求得CE=23，即可求得CD=13，由此即可求得DCCE的值．
【详解】由题意可得，BE//AF，
∴∠CBE=∠BAF，
∵∠CEB=∠BFA=60°，
∴△CBE∽△BAF，
∴CEBF=BEAF，
即CE1=23，
∴CE=23，
∴CD=13，
∴DCCE=1323=12．
故选D．
6.【答案】B
【解析】【分析】①由图2得，当Q运动到C点处，当P运动到E点处时，P、Q都运动了10s，即可求解；②由图①得，P、Q都运动了时间x=10，S▵BPQ=S▵BEC=40，设速度为vcm/s，即可求解；③由图2得，可求P从E运动到D的时间，求出ED，即可求解；④设NF的解析式为y=kx+b，求出解析式后，即可求解．
【详解】解：①如图
∵动点P，Q同时从点B出发以相同的速度运动，
由图2得，当Q运动到C点处，当P运动到E点处时，
P、Q都运动了10s，
∴BE=BC，
故①正确；
②由图①得，当Q运动到C点处，当P运动到E点处时，
P、Q都运动了时间x=10，S▵BPQ=S▵BEC=40，
∴12BC⋅CD=40，
设速度为vcm/s，则有BC=10v，
由图2得，P从D运动到C所用时间为8s，
∴CD=8v，
∴12×10v×8v=40，
解得v=1，
故②错误；
③由图2得，P从E运动到D的时间为14−10=4s，
∴ED=4×1=4cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10×1=10，
∴AE=AD−ED
=10−4=6cm，
故③错误；
④如图
设NF的解析式为y=kx+b，由图得经过N14,40，F22,0，则有
14k+b=4022k+b=0,
解得：k=−5b=110,
∴y=−5x+110，
当x=16时，
y=−5×16+110=30，
故④正确；
故选：B．
7.【答案】2
【解析】【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题的关键．
根据−2的绝对值为−2，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，−2的绝对值为−2=2，
故答案为：2．
8.【答案】2x(x−4)
【解析】【分析】直接提取公因式即可得出答案．
【详解】2x2−8x=2x(x−4)
故答案为：2x(x−4)
9.【答案】1.20×10−7
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【详解】解：120纳米这个数用科学记数法表示为：120纳米=1.20×10−7米，
故答案为：1.20×10−7．
10.【答案】≥−1
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．
【详解】解：x+1≥0，
解得x≥−1．
故答案为：≥−1．
11.【答案】12π
【解析】【分析】先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式求解．
【详解】解：由半径为2可得圆锥的底面周长为4π，
∴侧面展开图的面积为12×4π×6=12π，
故答案为：12π．
12.【答案】2
【解析】【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】∵数据2，−4，x，6，−8的众数为6，
∴x=6，
则数据重新排列为−4、−8、2、6、6，
所以中位数为2．
故答案为：2．
13.【答案】10
【解析】【分析】根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出a2−3a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵a是方程x2−3x−5=0的一个根，
∴a2−3a−5=0，
整理得，a2−3a=5，
∴2a2−6a=2(a2−3a)
=2×5
=10．
故答案是：10．
14.【答案】>1##大于1
【解析】【分析】根据当一次函数y1=k1x+b1的图象在一次函数y2=k2x+b2的图象下方时，即y1【详解】由图象可知当x>1时，一次函数y1=k1x+b1的图象在一次函数y2=k2x+b2的图象下方，即此时y1故答案为：>1．
15.【答案】 3
【解析】【详解】试题分析：连接OB，OC，根据圆周角定理可求得∠BOC=60°，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出OB=BC= 3．
考点：圆周角定理
16.【答案】−1
【解析】【详解】【分析】由“对称轴是直线x=−1，且经过点P(−3,0)”可知抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，代入抛物线方程即可解得．
【详解】因为抛物线对称轴x=−1且经过点P(−3,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，
代入抛物线解析式y=ax2+bx+1中，得a+b+1=0．
所以a+b=−1，
又因为−b2a=−1，
所以2a−b=0，
所以(a+b)(4a−2b+1)=−1(0+1)=−1
故正确答案为：−1
17.【答案】18
【解析】【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
【详解】∵NQ // MP // OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴ANAM=12,ANAO=13，
∴S▵ANQS▵AMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴S▵ANQ3+S▵ANQ=14，
∴S△ANQ=1，
∵1S▵AOB=ANAO2=19，
∴S△AOB=9，
∴k=2S△AOB=18，
故答案为：18．
18.【答案】717
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形判定和性质，菱形的性质等知识．过点A作AP⊥CD交CD延长线于点P，延长EF交AB延长线于点G，过点E作EH⊥AB交AB延长线于点H，则AP=EH,PE=AH，设CE=x，则DE=2CE=2x，在Rt▵APE中，利用锐角三角函数可得PD=32x，EH=AP=32 3x，AH=PE=72x，从而得到tan∠GEH=tan∠EAH=3 37，进而得到HG=2714x，BG=177x，再由▵CEF∽▵BGF，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD交CD延长线于点P，延长EF交AB延长线于点G，过点E作EH⊥AB交AB延长线于点H，则AP=EH,PE=AH，
设CE=x，则DE=2CE=2x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=3x，AB/​/CD，
∴∠ADP=∠BAD=60∘,∠EAH=∠DEA，
∴PD=AD×cs∠ADP=32x，EH=AP=AD×sin∠ADP=32 3x，
∴AH=PE=72x，
∴tan∠EAH=EHAH=3 37，
∵EF⊥AE，即∠AEF=90∘，
∴∠AEH+∠GEH=∠AEH+∠EAH=90∘，
∴∠GEH=∠EAH，
∴tan∠GEH=tan∠EAH=3 37，
∴HG=EH×tan∠GEH=2714x，
∴BG=AH+HG−AB=177x，
∵AB/​/CD，
∴▵CEF∽▵BGF，
∴CFBF=CEBG=x177x=717．
故答案为：717
19.【答案】【小问1详解】
解：原式=−1−3+3−1
=−2；
【小问2详解】
原式=(a−1)2(a+1)(a−1)×a(a+1)a−1−3
=a−3．

【解析】【分析】本题考查实数的运算，分式的运算．
(1)先算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的锐角三角函数，再算加减即可；
(2)先把除法改为乘法并分解因式，再约分即可．
20.【答案】详解：(1)方程两边同乘x−2，得1+2(x−2)=x−1，
解得x=2，
经检验，x=2是增根，原方程无解．
(2)解：2x+1>5x−7①x+103>2x②．
由①得：x<3，
由②得：x<2，
∴不等式的解集为x<2．

【解析】【详解】分析：(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
21.【答案】【小问1详解】
证明：∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B=∠FAC=90°−∠BAE，
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠CFA∠B=∠FACAB=CA,
∴△ABE≌△CAF(AAS)；
【小问2详解】
解：∵△ABE≌△CAF，CF=5，BE=2，
∴AF=BE=2，AE=CF=5，
∴EF=AE−AF=5−2=3，
∴EF的长为3．

【解析】【分析】(1)由BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F得∠AEB=∠CFA=90°，而∠BAC=90°，根据同角的余角相等可证明∠B=∠FAC，还有AB=CA，即可证明△ABE≌△CAF；
(2)由△ABE≌△CAF，根据全等三角形的性质即可求解．
22.【答案】解：(1)a=200×8%=16，b=200×20%=40，
故答案为：16，40；
(2)n=360×70200=126；
(3)200−16−40−200×25%−70=24(人)，
1200×24200=144(人)，
答：E组有24人，估计全区获得一等奖的人数是144人．

【解析】【分析】(1)分别用总人数乘以A、B等级对应百分比即可得出a、b的值；
(2)用360乘以D组人数占被调查人数的比例即可；
(3)根据各分组人数之和等于被调查人数求解即可得E组人数；用总人数乘以样本中不低于91分的人数所占比例即可．
23.【答案】【小问1详解】
解：甲参加“单人组”，随机抽取1种，一个有4种等可能的情况，其中恰好抽中“三字经”的有1种，故其概率为14；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种情况，其中恰好甲抽中“唐诗”且乙抽中“宋词”的有1种，故其概率为112．

【解析】【分析】本题考查画树状图求概率．
(1)直接用概率公式求解即可；
(2)先画树状图展示所有的可能情况，再找出符合题意的情况即可．
24.【答案】【小问1详解】
解：如图1，点F、G即为所求；
【小问2详解】
解：如图2，点Q、H即为所求．

【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质即可画出点F，连接BM，与FP相交于点G，由网格可知BM/​/CE，因为点B为EF的中点，所以BG为△EFP的中位线，故点G为FP的中点；
(2)取格点N，连接CN，交网格于点Q，根据网格可证明▵BCE≌▵DCN，得到∠BCE=∠DCN，进而可得∠PCQ=90∘，再利用由三角形全等可得CP=CQ；连接格点A、T，与网格相交于点K，连接EK，与BD相交于点H，由正方形的性质可得∠KOD=∠QOD=45∘，进而可得∠KOH=∠QOH=135∘，即可证到▵KOH≌▵QOH，即得到∠KHO=∠QHO，又因为∠BHE=∠KHO，故∠BHE=∠QHO，即∠BHE=∠DHQ；
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和正方形的性质是解题的关键．
25.【答案】解：选择①DE=10m，理由如下：
在Rt△CDE中，
∵CD=20m，DE=10m，
∴sin∠DCE=1020=12，
∴∠DCE=30°．
∵∠ACB=60°，DF//AE，
∴∠BGF=60°
∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．
∵∠BDF=30°，
∴∠DBF=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BC=CDtan30∘=20 33=20 3(m)，
∴AB=BC⋅sin60∘=20 3× 32=30(m)．
答：AB的长为30m．
故答案为：①．

【解析】【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBF=60°，由DF//AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
26.【答案】【小问1详解】
证明：连接OP，
∵OA=OP，
∴∠PAB=∠OPA，
∵∠CAP=∠PAB，
∴∠OPA=∠CAP，
∴OP//AC，
∵PC⊥AC，
∴PC⊥OP，
∴CP为圆O的切线；
【小问2详解】
连接BD交OP于点E，
∵AB为圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵AB=10，PB=6，
∴AP= 102−62=8，
∵∠CAP=∠PAB，∠APB=∠ACP=90°，
∴ΔAPB∼ΔACP，
∴ACAP=APAB，即AC8=810
解得：AC=6.4，
∵AB为圆O的直径，
∴AD⊥BD，
∴PC//BD，
∵∠POB=∠OAP+∠OPA=∠OAP+∠PAC=∠BAC，
∴OP//AC，
∴四边形PCDE为平行四边形，
∵∠C=90°，
∴四边形PCDE为矩形，
∵AO=BO，OE//AD，
∴2OE=AD，
设AD=x，
则OE=12x，PE=OP−OE=5−12x，CD=PE=5−12x，
∴5−12x+x=6.4，
解得x=2.8，
即AD=2.8
【小问3详解】
设AP=x，
∵ΔAPB∼ΔACP
∴ACAP=APAB，即ACx=x10
∴AC=110x2，
∴PA−AC=x−110x2=−110x−52+52
∴当x=5时，即AP=5时，PA−AC的值最大，
∴cs∠PAB=APAB=510=12，
∴∠PAB=60°，
∴∠POB=120°，
∴弧长PB⌢为120π×5180=103π．

【解析】【分析】(1)连接OP，可证OP//AC，结合PC⊥AC，即可证明；
(2)连接BD交OP于点E，先证明ΔAPB∼ΔACP，得出AC=6.4，再证明四边形为矩形，列出方程求解即可；
(3)设AP=x，由ΔAPB∼ΔACP得出AC=110x2，得出PA−PC关于x的二次函数，即可进行求解得出最值．
27.【答案】解：正方形ABCD中，∠ADB=45∘，∠A=90∘
由折叠的性质可得，AE=EF，∠EFB=∠A=90∘
∴∠EFD=90∘，
∴▵EFD为等腰直角三角形，即DF=FE，
由勾股定理可得： 2EF=DE，即DE= 2AE，
【小问2详解】
解：作图如下：
则△FBE为所求的三角形，
由题意可得：MN垂直平分CD，MN垂直平分AB，
点F在MN上，则AF=BF，
由折叠的性质可得，AB=BF
∴▵ABF为等边三角形，AF=AB=AD
∴∠BAF=60∘，▵ADF为等腰三角形
∴∠DAF=30∘，
∴∠EDF=12(180∘−30∘)=75∘；
【小问3详解】
解：取CD边的中点为O，连接BO，FO，如图：
∵∠CFD=90°
∴OF=CO=OD=2．
∵BC=BA=BF，BO=BO，
∴△BCO≌△BFO(SSS)．
∴∠BFO=∠BCO=90°．
∴∠EFB+∠BFO=180°．
∴点E，F，O三点共线．
设AE=EF=x，则DE=4−x．
在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2．
∴22+4−x2=2+x2
解这个方程，得x=43.即AE的长是43．
方法二：延长BF交AD于G.如图：
由题意可得：AB=BF=BC
∴∠BFC=∠BCF，∠DFC=∠ADC=∠BCD=90∘
∴∠GFD+∠BFC=∠DCF+∠FDC=∠FDC+∠GDF=90∘
∴∠GFD=∠GDF，
∴FG=DG，
设DG=FG=x，则AG=4−x，BG=4+x，
Rt△ABG中，由勾股定理可得：(4−x)2+42=(4+x)2，解得x=1，
设AE=EF=m，EG=3−m，
在Rt△EFG中，由勾股定理可得：m2+12=(3−m)2，解得m=43

【解析】【分析】(1)根据折叠的性质和正方形的性质，求解即可；
(2)先作出CD的垂直平分线MN，以B为圆点，以BA长为半径画弧，交MN于点F(正方形内部的点)，连接BF，作∠ABF的角平分线，交AD于点E，连接EF，即可，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求解即可；
(3)方法一：取CD边的中点为O，连接BO，FO，通过证明△BCO≌△BFO得到点E，F，O三点共线，设AE=EF=x，勾股定理求解即可；
方法二：延长BF交AD于G.先证明FG=DG，再在Rt△ABG中应用勾股定理可求解．
28.【答案】【小问1详解】
解：将B3,0、C0,3代入y=ax2−2ax+c，
∴9a−6a+c=0c=3，解得a=−1c=3,
∴y=−x2+2x+3．
【小问2详解】
函数的对称轴为直线：x=−b2a=−−2aa=2，
∵点B的坐标为(3,0)，
∴点A的坐标为−1,0，
∵C0,3，B3,0，
∴OA=1，OC=3，BC= OB2+OC2=3 2，
∴tan∠ACO=13，
①当点P在第四象限时，过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，如图所示：
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠BCM=13=BMBC，
∴BM= 2，
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∴∠NBM=45°，
∴MN=NB=1，
∴M2,−1，
设直线CM的解析式为y=kx+b，
∴b=32k+b=−1,
解得k=−2b=3,
∴直线PC的解析式为y=−2x+3，
②当点P在第一象限时，过点B作BC⊥BG交于点G，过点G作GH⊥x于H，如图所示：
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠BCG=13=BGBC=BG3 2，
∴BG= 2，
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∴∠GBH=45°，
∴GH=BH= BC22=1，
∴点G的坐标为(4,1)，
设直线PC的解析式为y=kx+b，点C0,3和G(4,1)都在直线PC上，
则3=b1=4k+b，解得b=3k=−12,
∴直线PC的解析式为：y=−12x+3，
综上所述：直线PC的解析式为y=−12x+3或y=−2x+3．
【小问3详解】
CECF的值是为定值13，理由如下：
设Pt,−t2+2t+3，(−1∴tk1+b1=−t2+2t+3−k1+b1=0,
∴k1=3−tb1=3−t,
∴y=3−tx+3−t，
∴E0,3−t，
∴CE=−t，
设直线BP的解析式为y=k2x+b2，
∴k2t+b2=−t2+2t+33k2+b2=0,
∴k2=−t−1b2=3t+3,
∴y=−t−1x+3t+3，
∴F0,3t+3，
∴CF=−3t，
∴CECF=13
∴CECF的值是为定值13．

【解析】【分析】(1)将B3,0、C0,3代入解析式y=ax2−2ax+c解得a、c的值即可求解．
(2)由题意：由题意得，tan∠ACO=13，①当点P在第四象限时，过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，则tan∠BCM=13=BMBC求出BM= 2，再由∠NBM=45°，求出M2,−1；②当点P在第一象限时，过点B作BC⊥BG交于点G，过点G作GH⊥x于H，tan∠BCG=13=BGBC=BG3 2，求得BG= 2，再由∠GBH=45°可求得G(4,1)进而可求解．
(3)设Pt,−t2+2t+3，分别用待定系数法求出直线AP，直线BP的解析式，进而可求出CE和CF的长，即可求解．