初中数学湘教版（2024）九年级下册圆的对称性精品课后测评

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A.夯实基础
题型一 圆的基本概念
1．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点为圆心B．以长为半径
C．以点为圆心，长为半径D．经过已知点
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；
B、只确定圆的半径，不可以确定圆；
C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；
D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；
故选：C．
2．下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】解：直径是弦，故①正确，
半圆是弧，故②正确，
半径相等的圆是等圆，故③正确，
同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故④错误，
平面上不共线的三点能确定一个圆，故⑤错误，
正确的各数为3，
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．大于半圆的弧叫做优弧
B．长度相等的两条弧叫做等弧
C．过圆心的线段是直径
D．直径一定大于弦
【答案】A
【分析】此题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意；
B、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意；
C、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
4．下列说法中，正确的个数为（ ）
①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案．
【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确；
②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误；
③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误；
④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误；
⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确；
⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确
∴正确的说法有①⑤⑥，共3个．
故选：C．
5．如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段AB，，CD都是的弦
B．线段经过圆心O，线段是直径
C．
D．弦AB把圆分成两条弧，其中是劣弧
【答案】B
【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断．
【详解】解：A．线段AB，都是的弦，CD不是，所以A选项不符合题意；
B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意；
C．当点D为AB的中点时，，所以C选项不符合题意；
D． 为优弧，所以D选项不符合题意．
故选：B．
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合
D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
【答案】B
【分析】本题主要考查圆的对称性，掌握圆的轴对称和旋转不变性是解题的关键．
【详解】解：A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确；
B. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误；
C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合，说法正确；
D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确；
故选：B．
7．如图，在 中，，，， 是 的外接圆，则下列说法正确的个数是 （ ）
① 和 都是劣弧；
②是 中最长的弦；
③，， 三点能确定一个圆；
④ 的半径为 ．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及劣弧的定义，弦长，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关的知识．根据劣弧的定义，弦长，勾股定理逐一判断即可．
【详解】① 和 都用两个字母表示，是小于半圆的弧，是劣弧，故①正确；
②，是 的直径，又直径是圆中最长的弦，故②正确；
③过同一条直线上的三个点不能作圆，故③错误；
④ ，，，， 的半径为 ，故④正确．
故选: C．
题型二 求圆中弦的条数及圆中最长的弦
8．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有共三条，
故选：B．
9．如图，在中，弦的条数是（ ）
A．2B．3C．4D．以上均不正确
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦．
根据圆的弦的定义解答．
【详解】在中，有弦、弦、弦、弦，
共有4条弦．
故选：C．
10．如图，圆的弦中最长的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长，
【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是．
故选：．
【点睛】本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键．
11．已知的半径是，则中最长弦长是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】解：∵的半径是，
∴中最长弦长是．
故选：C．
12．已知的半径为，则中弦AB的长度不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据直径是圆的最大的弦解答，即可．
【详解】解：∵的半径为，
∴的直径为，
∴中弦AB的长度小于等于，
故选：D．
13．已知中最长的弦为，则的半径为（ ）．
A．2B．3C．6D．12
【答案】B
【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键．
根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果．
【详解】解：中最长的弦长为，
的直径的长为，
的半径为．
故选B．
14．A、B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直径最大，一般弦，解答即可．
本题考查了圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
【详解】解：根据圆的性质，得最大是圆的直径，为12，最小是一般弦，大于零即．
故选C．
题型三 求一点到圆上点距离的最值
15．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接，，证明，推出，点在以为圆心，4为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，4为半径的上，
，
，
的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
16．如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．9D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键：
利用直角三角形30度角的性质及勾股定理求出，根据折叠的性质得到，推出的周长，当最短时，的周长最小，以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短，由此得到答案．
【详解】∵在中，，
∴，，
由翻折得：，
的周长，
则当最短时，的周长最小，
以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短，
∴，
∴的周长，
故选：B．
17．平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径作，已知点，N是上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．以上都不正确
【答案】B
【分析】
本题考查轴对称——最短路径问题，圆的有关性质．解题的关键是掌握求圆外一点到圆上的点的最大值距离以及最小距离．
作点关于x轴对称的点，连接，则，连接，由圆外一点的性质可知，当点P，点N在线段上时，有最小值，为，求出即可解决问题．
【详解】作点关于x轴对称的点，连接，
则，，
连接，
由圆外一点的性质可知，当点P，点N在线段上时，有最小值，此时．
∵，，
∴，
∴，
即的最小值为．
故选：B
18．如图，正方形的边长为2，以为半径作圆，为弧上的一点，过点作于点，连接、．
(1)求证：；
(2)连接，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，正方形的性质；
（1）根据正方形的性质以及圆的性质可得，，根据三角形内角和定理得出，等量代换即可得证；
（2）连接、交于点，连接，证明进而得出，则，进而可得当、、三点共线时，最小，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
，
，即，
，
，
，
，
；
（2）连接、交于点，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
当、、三点共线且时，最小，
当、、三点共线时，最小，
此时，
，
的最小值为．
题型四 判断点与圆的位置关系
19．已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上
C．点P在外D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键．据此即可求解．
【详解】解：∵的半径为4，，且
∴点P在内，
故选：A．
20．在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外B．点在上
C．点在内D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离半径，则点在圆内；点到圆心的距离半径，则点在圆上；点到圆心的距离半径，则点在圆外；结合的半径为，点到圆心的距离为即可得到答案，熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．
【详解】解：的半径为，且点到圆心的距离为，
点与的位置关系是“点在上”，
故选：B．
21．如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ）
A．点，均在内B．点，均在外
C．点在内，点在外D．以上选项都不正确
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵、分别是上的高和中线，
∴，
∴，
∴，
∵是以点为圆心，3为半径的圆，，，
∴点，均在外，
故选：B．
22．在中，，，，以点C为圆心，6为半径作圆，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在上B．点A在内
C．点A在外D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理及点与圆的关系，根据勾股定理求出，根据点与圆的位置关系得到与半径大小关系判断即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，
∵的半径为6，
∴，
∴点A在内，
故选：B．
题型五 利用点与圆的位置关系求半径
23．已知点在外，，那么的半径有可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断，先设半径为，再根据点与圆的位置关系解答即可，解题的关键是熟记若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
【详解】解：设半径为，
∵点在外，
∴，
则选项符合题意，
故选：．
24．已知圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差等于圆的直径是解题关键．将最大距离与最小距离作差，进而求解即可．
【详解】解：圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为，
圆的半径为，
故选：C．
25．如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解．
【详解】解：设的半径为，即，则，
∵点C在内
∴，即，解得：，
连接，
在中，
当时，
解得：
∵点P是边上的一个动点，，点B在外
∴
∴，结合选项可得的半径可以是
故选：C．
26．的半径为r，点P到圆心的距离为8，若点P在外，则（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外．根据点与圆的位置关系判断求解即可．
【详解】解：由题意，；
故选D．
27．如图，在中，，，，是斜边上的中线．
(1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围；
(2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关键．
（1）利用勾股定理可得，根据直角三角形的性质得，进而根据点与圆的位置关系即可得答案；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案．
【详解】（1）解：，，，
．
∵是斜边上的中线．
∴，
点，，中有两个点在为，有一个点在外，，
；
（2）解：是斜边上的中线，，
．
点，，都在上，
．
题型六 圆的面积与周长问题
28．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
【答案】A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
【详解】解：由题意得
解得：，
解得：，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
29．两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（ ）．
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，根据圆的周长公式即可解答．
【详解】解：根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，即校园的直径为，所以另一个轮子的周长是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆的周长公式，由大轮子转一圈、小轮子转3圈得到大轮的直径是小轮直径的3倍是解题的关键．
30．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）

A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
【详解】解：因为四边形内角和为，
所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积，
即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
B.提高能力
31．一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查圆的基本性质，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：当此点在圆内；当此点在圆外；分别求出半径值即可．
【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则：
此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离
有两种情况：
当此点在圆内时，如图所示，
半径；
当此点在圆外时，如图所示，
半径；
故圆的半径为或
故选：．
32．如图，在三角形中，，，，是高线，是中线．
(1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？
【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外
(2)
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键；
（1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可；
（2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，
半径，
， ，，
点在圆A上，点在圆A内，在圆A外；
（2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，，
，即，
圆A的半径的取值范围为．
33．如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了圆的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键，连接，由等边对等角得，， 进而得．再根据直角三角形的两锐角互余即可得解。
，从而得到答案．
【详解】解：连接．
，
．
，
．
．
，
．
，即．
．
34．[模型建立]
如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离．

[问题解决]
请就图①中为何最长进行证明．
[初步应用]
（1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为 ．
（2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是 ．
[拓展延伸]
如图，AB为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为 ．
【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）或；（2）；[拓展延伸]
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；
[初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；
（2）分两种情况讨论：①点在外，②点在内，根据线段的和差即可求解；
连接，交于点，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答；
[拓展延伸] 取的中点，连接，，过点作，可得是的中位线，则点在为圆心，为半径的圆上运动．在中，得出，进而可得的最大值为．
【详解】解：[问题解决]
如图，点为上任意一点，连接，，

当点与点不重合时，
∵在中，，
又，
∴，即，
当点与点重合时，，
∴综上可得，，
∵点为上任意一点，
∴的长是点到上的点的最长距离．
[初步应用]
（1）若点在外，如图①，
则，，
∴，
∴的半径为；
若点在内，如图②，
则，，
∴，
∴的半径为；
综上所述，的半径为或．
故答案为：或
（2）连接，交于点，由[模型建立]可得的长是点到上的点的最短距离，
的最小值是的长
∵在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
[拓展延伸]如图所示，
取的中点，连接，，过点作
∵点Q是线段的中点，
∴，
∴点在为圆心，为半径的圆上运动，
∴当在上，线段取得最大值，
∵
∴，
∴，
在中，
∴的最大值为
故答案为：．