安徽省合肥市第七中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含解析含答案解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 圆的圆心和半径分别为（ ）
A. ，2B. ，4C. ，2D. ，4
【答案】C
【解析】
【分析】
将圆的方程转化为标准方程形式，直接判断即可.
【详解】由题可知：圆即
所以该圆的圆心为，半径为
故选：C
2. 若直线：与：平行，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行列方程计算即可.
【详解】由题意，，解得或，
当时，直线：，：，两直线平行；
当时，：，：，两直线重合.
综上所述，.
故选：A
3. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案.
【详解】，又为中点，
故选：C
4. 已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A. [－2，0)∪(0，]B. (－∞，－]∪[2，＋∞)
C. [－2，]D. (－∞，－2]∪[，＋∞)
【答案】D
【解析】
【分析】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果.
【详解】根据题意，作出图形如下图：
直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，
所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是.
故选：D.
5. 在空间直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间点到直线距离公式求解即可.
【详解】由，，，
则，
则，，
所以点到直线的距离为.
故选：B
6. 当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
以为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BP与AD1所成角的取值范围．
【详解】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则，
，，
故 ，
对于函数 ，有：
，，
故，又，
故.故选.
【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查异面直线所成角的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.
【详解】由题意可知，
因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：D
8. 在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，，，，，然后算出，，即可.
【详解】
不妨设，，，，，
所以，所以
所以
设平面法向量为
则有，即，即
所以可取
所以，
同理可得，
因为，
所以，故，
故选：D
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角.
B. 设是空间中一组基底，则也是空间的一组基底.
C. 若，则存在唯一的实数，使.
D. 向量，，，若向量，，共面，则实数的值为1.
【答案】ABC
【解析】
【分析】举例判断AC；根据共面向量的定义求解判断BD.
【详解】对于A，当与方向相同时，且都不为零向量时满足，
但与夹角为0，故A错误；
对于B，由于是空间中的一组基底，则不共面，
因为，所以共面，
所以不是空间的一组基底，故B错误；
对于C，当时，，但不存在唯一的实数，使，故C错误；
对于D，若向量，，共面，则，
即，
则，解得，故D正确.
故选：ABC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限.
B. 斜率为，在轴截距为3的直线方程为.
C. 直线关于对称的直线方程是.
D. 对任意的，直线与直线有公共点.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，结合一次函数的特征可得，进而判断即可；对于B，根据斜截式方程求解判断即可；对于C，先求出直线与的交点，再求出直线上一点的对称点，进而求解判断即可；对于D，由题设可得直线恒过定点，而在直线上，进而判断即可.
【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限，
则，所以点在第二象限，故A正确；
对于B，斜率为，在轴截距为3的直线方程为，故B错误；
对于C，联立，解得，
则直线与的交点为，
取直线上一点，设其关于直线对称点为，
则，解得，即对称点为，
则所求直线的斜率为，
则所求直线的方程为，即，故C错误；
对于D，直线，即，
令，解得，则直线恒过定点，
而在直线上，
所以对任意的，直线与直线有公共点，故D正确.
故选：AD
11. 如图，正三棱柱中，，点P线段上（不含端点），则（ ）
A. 不存在点P，使得
B. 面积的最小值为
C. 的最小值为
D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断AB；把放置于同一平面内，计算两点间距离判断C；利用等体积法计算判断D.
【详解】在正三棱柱中，取BC的中点O，连接OA，
则，又底面ABC，则，
又，平面，
所以平面，在平面内作，
以O为原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
设，则，，
设，则，
所以，，则.
对于A，，，
要使，则，解得，
所以当时，存在点P，使得，故A不正确；
对于B，，，
设，则，
所以，
则，
因为，所以当时，取得最小值，故B正确；
对于C，将和沿展开在同一平面内，如图，
连接交于点T，可知，当点P与点T重合时取得最小值，
依题意，，，
则，，
所以，
在中，由余弦定理，得，
则，即的最小值为，故C不正确；
对于D，，故D正确．
故选：BD.
【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若空间向量，，则在上的投影向量的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的公式及空间向量的数量积运算即可得到结果.
【详解】由，，
则，，
所以在上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
13. 平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据得出，利用点到直线的距离可得答案.
【详解】设，则由，
因为，所以，
的最小值为点到线段的距离，
最小值为.
故答案为：
14. 如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，为内部一动点，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，．
①直线与直线是异面直线；
②为定值；
③三棱锥的外接球表面积的最小值为；
④当时，平面与平面的夹角大小为．
则以上结论中所有正确结论的序号是______．
【答案】②③
【解析】
【分析】根据，即可判断②；由题意可知两两垂直，由②结合基本不等式求出三棱锥的外接球半径的最小值，即可判断③；当时，为的中心，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断④；当为的中心时，，利用向量法证明，即可判断①.
【详解】对于②，设，
由题意，
即，
所以，
即为定值，故②正确；
对于③，设三棱锥的外接球的半径为，
由题意可知两两垂直，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，即的最小值为，
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故③正确；
对于④，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，所以，
此时，为的中心，
则，
因为，所以平面，
故即为平面的一个法向量，
而，
设平面的一个法向量为，
则有，可取，
则，
所以平面PQR与平面OBC所成的锐二面角的余弦值为，故④错误，
由④可知，当为的中心时，，
，则，
所以，
所以直线PR与直线BC共面，故①错误.
故答案为：②③.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 直线l经过两直线：和：的交点.
（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
（2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）联立方程组，求得两直线的交点坐标，利用垂直关系求得斜率，结合点斜式方程，即可求解；
（2）分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解.
【小问1详解】
解：联立方程组，解得交点，
又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，即.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则点到直线的距离为，求得，
故直线的方程为，即，
综上可得，直线的方程为或.
16. 如图，在六面体中，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点．

（1）证明：平面．
（2）若，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意可得，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）空间直角坐标系，求平面AMF的法向量，利用空间向量求点到面的距离.
【小问1详解】
因为，，都垂直于平面，则.
取的中点，连接，，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
可得，
且平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
连接，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
可得，，.
设平面的法向量为，则，
取，得，，可得.
故点到平面的距离.
17. 已知圆C过点，，且圆心在上，
（1）求圆C的方程；
（2）已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）130
【解析】
【分析】（1）由圆心在弦的中垂线上，联立方程组即可求得；
（2）设，用距离公式表示，转化为圆外一点与圆上一点的距离的最值问题即可求解.
【小问1详解】
，，由中点坐标公式得MN的中点坐标为，
，
的中垂线方程为：，即，
，
，，
圆的方程为
【小问2详解】
设，
，
即点P到原点O的距离的平方，
，
，
18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，的长度为或
【解析】
【分析】（1）通过证明，来证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案.
【小问1详解】
因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，所以平面， 平面，
所以， 又已知，且都在面内，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得， 解得或， 即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：
①数乘运算：；
②加法运算：；
③数量积运算：；
④向量的模：，
对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
（1）对于，判断下列各组向量是否线性相关：
①；
②；
（2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；
（3）证明：对于中的任意两个元素，均有，
【答案】（1）①线性相关，②线性相关
（2）线性无关，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解；
（3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证.
【小问1详解】
对于①，假设与线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，即，
可取，所以线性相关，
对于②，假设线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，得，
可取，所以线性相关.
【小问2详解】
假设线性相关，
则存在不全为零的实数，
使得，
则，
因为线性无关，
所以，得，矛盾，
所以向量线性无关.
【小问3详解】
设，
则，
所以，
又，
所以
，
当且仅当同时成立时，等号成立，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解.