安徽省亳州市蒙城县实验永兴中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省亳州市蒙城县实验永兴中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共3页。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. =( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.
【详解】因为,
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.
2. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.
【详解】∵，，
∴.
故选：C.
3. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算即可.
【详解】因，则，
则.
故选：A
4. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的部分图象得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，可得的解析式，将可得的值.
【详解】由图象可得函数的最小正周期为，则，
又，则，
则，，则，，
，则，，则，
.
故选：D.
5. 已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助正切型函数的图象性质计算即可得.
详解】当时，，
则由题意可得在上有3个实数根，
即可得，
解得，即的取值范围是.
故选：C.
6. 若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量公式得，结合，利用数量积的运算律求得，代入数量积的夹角公式即可得解.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以，
又，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：A
7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】在中，由余弦定理求得，根据是的平分线，得，所以，在中应用余弦定理求得b，即可求得.
【详解】在中，，
即，，
因为是的平分线，所以即，所以
在中，
即即，解得.
在中，，
所以
故选：A.
8. 已知扇形的半径为r，弧长为l，若该扇形的周长与其面积的数值相等，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知：，，整理可得，代入结合二次函数运算求解.
【详解】由题意可知：，，
整理可得，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数，则（ ）
A.
B. 函数在区间上为增函数
C. 是函数的图象的一个对称中心
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：代入结合诱导公式运算求解；对于B：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于C：代入检验结合正弦函数对称性分析判断；对于D：可知为最小值，即可得判断.
【详解】因为，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：因为，则，
且正弦函数在内不单调，
所以函数在区间上不单调，故B错误；
对于选项C：因为，
所以是函数的图象的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：因为为最小值，
所以，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知任意两个不共线向量、，，，，，则（ ）
A. B. 、、三点共线
C. 若，则点为的中点D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用共线向量的基本定理可判断B选项；分析可知，求出的值，可判断C选项；利用平面向量垂直的数量积表示可判断D选项.
【详解】对于A选项，，
，
所以，，
无法判断的符号，无法确定与的大小关系，A错；
对于B选项，由题意可得，
，
所以，，故、、三点共线，B对；
对于C选项，若为的中点，则，
因为，，
所以，，解得，C错；
对于D选项，若，则，故，D对
故选：BD.
11. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点，当运动秒后，则以下说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，点P与点Q重合
D. 当点与点重合时，点的坐标可以为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据任意角的定义求出运动秒后，点的坐标，则可判断ABC选项；D利用诱导公式化简，即可结合C选项判断.
【详解】运动秒后，点，
由题意可知，点的初始位置为，
则运动秒后，
则，
则时，，故A正确；
时，，
故B错误；
当时，，
即，故C正确；
因，
则由C选项可知，秒后点与点在点处重合，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 化成弧度是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用弧度与角度之间的转化规则计算.
【详解】因，则.
故答案为：
13. 已知命题p：若为第一象限角，且，则，能说明命题p为假命题的一组的值可以是__________，__________．
【答案】 ①. （答案不唯一）； ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】只要找到一组满足题意的角即可.
【详解】因为为第一象限角，且，
取，则且在第一象限，此时，
故命题p为假命题，满足题意，
所以的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）.
14. 已知向量，，满足：，，．m，，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】设，，设=θ∈0,π2，，根据平面向量线性运算的几何意义得出，再结合基本不等式，二倍角的正弦函数及正弦函数的值域即可求解．
【详解】设则，，，
设=θ∈0,π2，则，，
，，如图所示，
则，
由向量三角不等式得，
当且仅当共线时等号成立，此时，，
设直线的解析式为，
因在直线上，则，，
，，所以，即
又在直线上，所以，
即，当且仅当时等号成立，
又，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，即得
当且仅当，时等号成立，
，
故答案为：4．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知角顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上．
（1）若角终边上一点P的横坐标为，求和；
（2）求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知：，结合任意角三角函数的定义运算求解；
（2）由题意可知：，利用诱导公式结合齐次式问题运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：，
所以，.
【小问2详解】
由题意可知：，
所以.
16. 已知向量，．
（1）当，求x；
（2）当，求；
（3）在平面直角坐标系xOy中，，，若三角形AOB的重心G在y轴上，求x的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求，结合向量共线的坐标表示运算求解；
（2）根据向量垂直可得，进而可求模长；
（3）分析可知，根据题意结合重心坐标公式运算求解.
【小问1详解】
因为，，则，
若，则，解得.
小问2详解】
由题意可得：，
若，则，解得，
则，所以.
【小问3详解】
因为，，即，
可知三角形AOB的重心，
若在y轴上，则，所以.
17. 如图，在梯形中，．
（1）令，，用，表示，，；
（2）若，且，求，．
【答案】（1）， ，
（2），
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）首先求出，再根据数量积的运算律及得到方程，求出，最后根据及运算律计算可得.
【小问1详解】
因为，
所以，
，
；
【小问2详解】
因为，，所以，
因为，
且，
所以，
解得，
所以，
因为，，
所以
．
18. 已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
①当时，求函数的值域；
②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
【答案】（1）
（2）①；②；
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性和周期性可得，再结合正弦函数的单调性分析求解；
（2）根据图象变换可得.①以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；②整理可得，结合正弦函数图象分析判断，再结合对称性运算求解.
【小问1详解】
因为函数为奇函数，则，
且，所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，可得，
所以，
因为，则，
且在内单调递减，在内单调递增，
可得，即
所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，
①因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为；
②令，则，
因为，则，
由图象可知：与在内有4个交点，所以，
且，
可得，
所以.
19. 已知个向量，将向量按照一定顺序排成一列，可得一个向量序列、、、；定义：，，其中表示、最大的数．
（1）对于向量序列、，求、的值；
（2）设向量，，可排成两个向量序列、，和、，在、、、四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小；
（3）若为奇数且，，，，设集合，证明：集合中存在两个非空子集、，满足，，中所有向量的横坐标之和，中所有向量的纵坐标之和．
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中定义求解即可；
（2）根据定义，分别讨论当和为最小值时和，比较大小即可；
（3）不妨设①若，
因为中任意，存在；②若，由，，所以一定存在正整数，使得，可得，即可得，设，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，，满足题意．
【小问1详解】
对于向量序列、，由题中定义可得，
.
【小问2详解】
，
，
当为最小时，，
因为，，所以，
当为最小时，，
因为，，所以，
所以两种情况下均有.
【小问3详解】
不妨设，
①若，
因为中任意，所以存在为单元素集合，为的补集即可；
②若，
因为，，所以一定存在正整数，
使得，
可得，
又因为
．
设，，则
，
当且仅当时取等号，
所以，时，
，；
综上所述，存在两个非空子集、，满足题意．