安徽省亳州市蒙城县第八中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二倍角公式即可求出．
【详解】 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二倍角公式 应用，属于容易
题．
3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
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【解析】
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于 A， ，不可以作为基底，A 错误；
对于 B， ， 共线，不可以作为基底，B 错误；
对于 C， 与 为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C 正确；
对于 D， ， 共线，不可以作为基底，D 错误.
故选：C.
4. 已知 是两个单位向量，且 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求 ，再求 ，则 即可求.
【详解】已知 是两个单位向量， ，
若 ，则 ，
，
故 .
故选：B
5. 如图所示，梯形 是平面图形 ABCD 用斜二测画法画出的图形， ， ，
则平面图形 的面积为（ ）
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A. 2 B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用斜二测画法画出平面图形为直角梯形，再求面积.
【详解】如图，
作平面直角坐标系 ，使 A 与 O 重合，AD 在 x 轴上，
且 ，AB 在 y 轴上，且 ，
过 B 作 ，且 ，则四边形 ABCD 为原平面图形，为直角梯形，
其面积为 ．
故选：C．
6. 若 ， 是空间两条不同的直线， ， 是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）
A. 若 ， ，那么 B. 若 ， ，那么
C. 若 ， ，那么 D. 若 ， ，那么
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面平行的性质，线面平行的性质和判定定理逐一判断即可.
【详解】当 ， 时， 可以相交，故选项 A 不正确；
当 ， 时， ， 可以是异面直线，因此选项 B 不正确；
当 ， 时，存在 这一情况，所以选项 C 不正确；
根据面面平行的性质可知选项 D 正确，
故选：D
7. 当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
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A 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】画出两函数在 上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数 的的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有 6 个交点.
故选：C
8. 黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算
黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为 的建筑物 在它们之间的地面上的点
三点共线）处测得楼顶 ､楼顶 的仰角分别是 和 在楼顶 处测得楼顶 的仰角为
，则估算黄鹤楼的高度 为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】分别在 ， 及 应用正弦定理求解.
【详解】在 中， 则
在 中，因为 ，
所以
因为 ，所以 ，故 .
故选：C.
二､选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的部分图象，则（ ）
A.
B.
C. 点 是 图象的一个对称中心
D. 的图象向左平移 个单位后所对应的函数为偶函数
【答案】ACD
【解析】
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【分析】A 选项，根据图象得到最小正周期，从而求出 ；B 选项，代入 ，求出 ；C
选项，得到函数解析式，求出 ，故 C 正确；D 选项，求出平移后的解析式，利用函数奇偶性定
义得到答案.
详解】A 选项，由图象可得到函数最小正周期 ，故 ，
因为 ，所以 ，解得 ，A 正确；
B 选项，将 代入解析式得 ，
因为 ，解得 ，B 错误；
C 选项， ，故 ，
故点 是 图象的一个对称中心，C 正确；
D 选项， 的图象向左平移 个单位后得到 ，
因为 的定义域为 R，且 ，
故 为偶函数，D 正确.
故选：ACD
10. 如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方
体中，直线 与平面 平行的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．
【详解】对于选项 A，OQ∥AB，OQ 与平面 MNQ 是相交的位置关系，故 AB 和平面 MNQ 不平行，故 A 错
误；
对于选项 B，由于 AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知 AB∥平面 MNQ，故 B 正确；
对于选项 C，由于 AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知 AB∥平面 MNQ：故 C 正确；
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对于选项 D，由于 AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知 AB∥平面 MNQ：故 D 正确；
故选：BCD
11. 若平面向量 ， ，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则与 同向的单位向量为
C. 若 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可判断 AB 选项，再根据向量夹角公式可判断 C 选项，结合向量垂直的坐标
表示及基本不等式可判断 D 选项.
【详解】由 ， ，
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A 选项： ，
则 ，解得 ，则 ， ，
所以不存在 ，使 ，即 ， 不共线，A 选项错误；
B 选项： ，则 ，解得 ，
即 ， ， ，
所以与 同向的单位向量为 ，B 选项正确；
C 选项： 时， ，
又 与 的夹角为锐角，
则 ，解得 ，且 ，
即 ，C 选项错误；
D 选项：由 ，得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，D 选项正确；
故选：BD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 角 的终边经过点 ，则 的值为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由终边上的点求角的正余弦值，即可得答案.
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【详解】由题设 ，
所以 .
故答案为：
13. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为____．
【答案】
【解析】
【分析】由投影向量的定义及向量夹角的坐标运算求 在 上的投影向量.
【详解】由 在 上的投影向量为 ，而 ，
所以 .
故答案为： .
14. 下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S 分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】由正方体、正四面体的结构特征，结合点线、线线位置关系判断四点是否共面.
【详解】图①： ， ，故 ，即四点共面，满足；
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图②： ，若 为中点，则 ，故 ，即 共面，
而 ， ，故 ，即 共面，
且 三点不共线，故 共面，满足；
图③：由题设 ， ，故 ，则 共面，满足；
图④：若 为中点，则 ，故 ，即 共面，
而 面 ， 面 ，则 面 ，
又 ，且 三点不共线，故面 即为面 ，故 面 ，即 不共面，不
满足；
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故答案为：①②③
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求 和 ；
（2）若 ， ，求向量 和向量 的夹角的大小．
【答案】（1） ， ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由 列方程可求出 ，再由 列方程可求出 ，从而可求出 和 ；
（2）先求出向量 和向量 的坐标，再利用向量的夹角公式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故 ， ；
【小问 2 详解】
， ，
设向量 和向量 的夹角为 ，
则 ，
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因 ，所以 ，
即向量 和向量 的夹角的大小为 ．
16. 已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期及最值；
（2）令 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1） ，最大值为 ，最小值为
（2）偶函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得到 ，再利用周期公式和三角函数性
质求最值得到答案.
（2）代入计算得到 ，再根据奇偶函数的定义判断奇偶性.
【小问 1 详解】
，
故 ，
当 ，即 时，函数有最大值为 ；
当 ，即 时，函数有最小值为 .
【小问 2 详解】
，
，函数为偶函数.
17. 记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
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（1）求 A．
（2）若 ， ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【小问 1 详解】
方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数 基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
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方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
【小问 2 详解】
由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
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18. 如图，在正方体 中， 为 的中点．
（1）求证： ‖平面 ；
（2） 上是否存在一点 ，使得平面 ‖平面 ？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点 为 的中点
【解析】
【分析】（1）连接 交 于 ，连接 ，则由三角形的中位线定理得 ‖ ，再由线面平行的
判定理可证得结论；
（2）当点 为 的中点时，即满足平面 ‖平面 ，连接 ， ，可证得 ‖平面
，由（1）知 ‖平面 ，再利用面面平行的判定定理可证得结论.
【小问 1 详解】
证明：如图，连接 交 于 ，连接 ．
正方体 ，底面 为正方形， ，
为 的中点，又 为 的中点，
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是 的中位线， ‖ ，
又 平面 ， 平面 ，
‖平面 ．
【小问 2 详解】
当点 为 的中点时，即满足平面 ‖平面 ，理由如下：
连接 ， ，
为 的中点， 为 的中点， ‖ ， ，
四边形 为平行四边形， ‖ ，
又 平面 ， 平面 ，
‖平面 ．
由（1）知 ‖平面 ，
又 ， ， 平面 ，
平面 ‖平面 ．
19. 已知向量 ， ．
（1）当 时，求 x 的值；
（2）当 时，求 的值；
（3）求 在 上的单调递减区间．
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【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，根据向量数量积的坐标表示得到方程，再由二倍角公式及正弦函数的
性质计算可得；
（2）根据向量共线的坐标表示得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（3）首先求出 的坐标，再根据数量积的坐标运算及三角恒等变换公式化简函数解析式，最后根据正
弦函数的性质计算可得；
【小问 1 详解】
解：因为 ， ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ；
【小问 2 详解】
解：因为 ， ，且 ，
所以 ，即 ，所以 ；
【小问 3 详解】
解：因为 ， ，所以 ，
所以
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，
即 ，
令 ，解得 ，
所以函数在 上的单调递减区间为 ，
因为 ，所以函数在 上的单调递减区间为 ；
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