2025-2026学年江西省吉安市安福县城关中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江西省吉安市安福县城关中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关于x的方程中属于一元二次方程的是（ ）
A. x-5=0B. x2-4x-1=x2C. 2x2-x+1=0D. ax2+bx+c=0
2.正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 四个角相等B. 四条边相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等
3.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（ ）
​​​​​​​​​​​​​​
A. B. C. D.
4.如图，CD为Rt△ABC斜边AB的中线，E是AC的中点.若AC=8，CD=5，则DE的长为（ ）
A. 3
B. 5
C. 4
D. 8
5.关于x的一元二次方程（m-2）x2+4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m≤4B. m≥4C. m≥-4且m≠2D. m≤4且m≠2
6.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点M在边AB上，点P在边AC上，且满足AP=BM，过M作MN⊥BC于点N，过P作PQ⊥BC于点Q，则MN+PQ的值是（ ）
A. 3B. 4C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知（m-2）x|m|+bx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为______.
8.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是 .
9.如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 cm2．
10.如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是 .
11.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为______．
12.在边长为6的正方形ABCD中，动点M从点A出发，沿着A→B→C的路线向终点C运动，连接DM交AC于点N，连接BN.记点M运动所经过的路程为x,若要使得△AND为等腰三角形，则x的值为 .
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
（1）解方程：x（x+1）=4（x+1）.
（2）如图，在▱ABCD中，E、F分别是BA、DA延长线上的点，连接DE、BF，且AE=AF，∠E=∠F.求证：四边形ABCD是菱形.
14.(本小题6分)
二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀.张涛收集了四张节气图案的卡片：A.小满，B.芒种，C.夏至，D.小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置.

（1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.小满”的概率是______；
（2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C.夏至”的概率.
15.(本小题6分)
如图1、2，菱形ABCD的AB边上有一点E，请你仅用无刻度的直尺，在图1、2中分别作出满足下列要求的图形（保留痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，在BC边上作出点F，使△BCE≌△BAF；
（2）在图2中，在CD边上作出点G，使四边形AECG为平行四边形．
16.(本小题6分)
阅读下列关于解方程：2x2-8x-18=0的解题过程，解决下列问题.
（1）上述解题过程有误，错在步骤______（填序号），错误的原因是______；
（2）请你写出正确的解答过程.
17.(本小题6分)
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为40m的篱笆围成．已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边AB为xm
（I）用含有x的式子表示AD，并写出x的取值范围；
（Ⅱ）若苗圃园的面积为192m2平方米，求AB的长度．
18.(本小题8分)
在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
（1）证明：四边形ADCF是正方形；
（2）若，求正方形ADCF的面积.
19.(本小题8分)
在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③1；④乘法；⑤加法.将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀.
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是______；
（2）先从盒子A中任意抽出2支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率.
20.(本小题8分)
已知：方程x2-2kx+k2-1=0是关于x的一元二次方程．
（1）判断此方程根的情况，并说明理由；
（2）若a,b,c是△ABC的三边，c=5，且a,b是一元二次方程x2-2kx+k2-1=0的两根．k何值时，△ABC是等腰三角形，并写出等腰三角形的底边．
21.(本小题9分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒（t＞0）.
（1）用含t的式子表示线段的长度：PD= cm,
（2）当0＜t＜2.5时，运动时间t为 秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形.
（3）当5＜t＜10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由.
22.(本小题9分)
解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的.
例如：解方程（x2-3）2-5（x2-3）+4=0，如果设x2-3=y,用y表示x后代入（x2-3）2-5（x2-3）+4=0得：y2-5y+4=0解得y=4或y=1，即x2-3=4或1.
应用：请用换元法解下列各题：
（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值；
（2）已知a2+ab-b2=0（ab≠0），求的值；
（3）解方程：.
23.(本小题12分)
综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究.
【问题情境】
如图①，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5.将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜θ＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC与点F.
【猜想证明】
（1）当θ=90°时，四边形ABFE的形状为______；（直接写出答案）
（2）如图②，当θ=45°时，连接DE，求此时△ADE的面积；
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时BF的长度；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】-2
8.【答案】AC=BD（答案不唯一）
9.【答案】2.8
10.【答案】1
11.【答案】12
12.【答案】6或12或
13.【答案】x1=-1，x2=4；
证明：在△ADE与△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AB=AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形
14.【答案】；
．
15.【答案】解：（1）如图，点F即为所求；
（2）如图，点G即为所求．

16.【答案】③，只在方程的左边加上4，而右边没有加；
．
17.【答案】解：（I）AD=40-2x．
∵0＜40-2x≤18．
∴x的取值范围为：11≤x＜20．
（Ⅱ）根据题意得：x（40-2x）=192，
整理，得x2-20x+96=0．
解得：x1=8，x2=12．
∵11≤x＜20．
当x=8时，40-2x=40-16=24＞18
∴不合题意，舍去．
∴x=12，即AB的长度为12．
答：若苗圃园的面积为192平方米，则AB的长度为12米．
18.【答案】∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△FAE和△BDE中，
，
∴△FAE≌△BDE（AAS），
∴AF=BD，
∵BD=DC，
∴AF=DC，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，
∴，AD⊥DC，
∴四边形ADCF是正方形；
16
19.【答案】解：（1）​​​​​​​;
​​​​​​​（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的有：①②⑤，①③④，①③⑤，②①⑤，②③④，②③⑤，③①④，③①⑤，③②④，③②⑤共10种，
∴抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为=．
20.【答案】解：（1）∵Δ=（-2k）2-4×1×（k2-1）=4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程x2-2kx+k2-1=0得：x=k+1或x=k-1，
∴a≠b,
∵c=5，
∴当k+1=5时，k=4，
则k-1=3，此时底边为3；
当k-1=5时，k=6，
则k+1=7，此时底边为7．
综合上述，k的值为6或4．
21.【答案】解：（1）∵AD=10，AP=t,
∴PD=10-t,
故答案为：（10-t）．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AP∥BQ，∠A=90°，
∴当AP=BQ时，四边形PABQ是矩形，
当0＜t＜2.5时，点Q从点C向点B运动，
∴t=10-4t,
解得t=2，
故答案为：2．
（3）以P、D、Q、B为顶点的四边形有可能是平行四边形，
∵PD∥BQ，
∴当PD=BQ时，四边形BPDQ是平行四边形，
当5＜t≤7.5时，点Q从点C向点B运动，
由PD=BQ得10-t=10×3-4t,
解得t=；
当7.5＜t＜10时，点Q从点B向点C运动，
由PD=BQ得10-t=4t-10×3，
解得t=8，
综上所述，t的值为或8．
22.【答案】x2+y2=1；
=或=；
x=-1
23.【答案】正方形 BF=2或8 解：移项得，2x2-8x=18①
两边同除以2得，x2-4x=9②
配方得，x2-4x+4=9③
即，（x-2）2=9
∴x-2=3或x-2=-3④
∴x1=5，x2=-1⑤